
<p><a href="http://people.unibo.it/en/katharina.elsen">Katharina Elsen</a> ist für 6 Monate aus <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Bologna">Bologna</a> im Rahmen eines Forschungsaufenthalts nach Karlsruhe gekommen. In Ihrer Forschungsgruppe zur numerischen Geophysik sind <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Tsunami">Tsunamis</a> im Mittelmeerraum, wie beispielsweise im Raum von Italien und der Türkei, das Hauptforschungsgebiet. Ein Auslöser für Tsunamis sind <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Erdbeben">Erdbeben</a>, aber auch <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Erdrutsch">Erdrutsche</a> können der Grund für die großen Wasserwellen sein, die dann sogar eine globale Auswirkung haben können.  </p><p>Im <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Vajont-Staumauer">Varjont-Tal</a> kam es 1963 nach dem Aufstauen eines Stausees zu einem Landrutsch. Dieser führte zu einer Tsnuamiwelle im Stausee, die in ihrer Größe weit unterschätzt wurde, und zur <a href="http://www.faz.net/aktuell/gesellschaft/ungluecke/tragoedie-von-langarone-ein-tsunami-im-stausee-12607724.html">schrecklichen Tragödie von Langarone</a> führte. Solche Vorgänge können natürlich auch in Küstengebieten auftreten und die gegenüberliegenden Küsten gefährden. </p><p>Im Gegensatz zu sehr plötzlichen <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Seismik">seismischen Aktivitäten</a> können Landrutsche weit langfristigere Vorgänge sein. Auch können die sich bewegenden Landmassen aus <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Murgang">beweglichem Schlamm oder feinem Geröll</a> bestehen oder aus eher festen Bestandteilen. Dies beeinflusst stark die möglichen Modelle, und Katharina Elsen beschreibt im Gespräch mit <a href="http://www.math.kit.edu/ianm4/~thaeter/de">Gudrun Thäter</a> ihre Modelle und Forschung zu Landrutschen von Bergabschnitten, die sich eher wie ein <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Festk%C3%B6rper">Festkörper</a> als wie ein <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Fl%C3%BCssigkeit">Fluid</a> verhalten. </p><p>Die Landmassen werden in einige <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Mechanik_fester_K%C3%B6rper">Festkörper-Masseblöcke</a> aufgeteilt, die jeweils <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Massenmittelpunkt">Massenzentren</a> bzw. <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Baryzentrum">Baryzentren</a> besitzen und deren <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Rand_%28Topologie%29">Berandung</a> bekannt ist. Daraus wird die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Kinematik">individuelle Bewegung der Blöcke</a> modelliert, wie auch die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Mehrk%C3%B6rpersystem">gegenseitige Beeinflussung</a> auf verschiedene Arten. Letztlich wird dann untersucht, wie die Blöcke letztlich durch Geschwindigkeit und Form auf das Wasser wirken, um bessere Aussagen über resultierende Wellenhöhe treffen zu können. </p><p>Der erste Schritt zur Simulation ist die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Gitter_%28Geometrie%29#Dreiecksgitter">Zerlegung der gleitenden Oberflächen in Dreiecke</a>, und dann wird die Bewegung der einzelnen Massepunkte für das vereinfachte Modell durch <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Klassische_Mechanik">die klassische Newtonsche Mechanik</a> zunächst exakt berechnet. Für die Beeinflussung der Massepunkte zueinander werden verschiedene approximierende Modelle erforscht, und <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Parameterinferenzproblem">Parameter entsprechend den Beobachtungen identifiziert</a>. </p><p>Die Ansätze und Modelle fließen in eine Software zur Erdrutschsimulation, die auch im Bereich der Reibungsmodelle überarbeitet wurde: Da auf triangulisierten Oberflächen alle Funktionen und Eigenschaften dort bisher nur in <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Linearisierung">linearisierter Form</a> auftreten, können <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung#Ableitung">höhere Ableitungen</a> nur über erweiterte Modelle approximiert werden. </p><br /><h1>Literatur und Zusatzinformationen</h1> <ul><li> <a href="http://www.researchgate.net/profile/Filippo_Zaniboni/publication/259635477_Numerical_simulations_of_the_1963_Vajont_landslide_Italy_application_of_1D_Lagrangian_modelling/links/0046352fb55fd2419f000000.pdf">F. Zaniboni, S. Tinti: Numerical simulations of the 1963 Vajont landslide,  Italy: application of 1D Lagrangian modelling</a>, Natural hazards 70.1: 567-592, 2014.</li><li> <a href="http://www.researchgate.net/profile/Filippo_Zaniboni/publication/226519986_The_landslides_and_tsunamis_of_the_30th_of_December_2002_in_Stromboli_analysed_through_numerical_simulations/links/0fcfd50fd4676ed5d5000000.pdf">S. Tinti, P. Gianluca, Z. Filippo: The landslides and tsunamis of the 30th of December 2002 in Stromboli analysed through numerical simulations</a>, Bulletin of Volcanology 68.5, 462-479, 2006.</li><li> <a href="http://static2.egu.eu/media/filer_public/2013/06/20/tinti.pdf">S. Tinti: How can we defend  ourselves from the hazard of Nature in the modern society?</a>, GIFT 2013, Natural Hazards Geosciences Information for Teachers Workshop, Vienna, Austria, 2013.</li><li> <a href="http://modellansatz.de/erdbeben">Podcast Modellansatz 012: Erdbeben und optimale Versuchsplanung</a></li><li> <a href="http://modellansatz.de/lawinen">Podcast Modellansatz 015: Lawinen und Muren</a></li></ul>


Modellansatz

Modellansatz 052

Katharina Elsen ist für 6 Monate aus Bologna im Rahmen eines Forschungsaufenthalts nach Karlsruhe gekommen. In Ihrer Forschungsgruppe zur numerischen Geophysik sind Tsunamis im Mittelmeerraum, wie beispielsweise im Raum von Italien und der Türkei, das Hauptforschungsgebiet. Ein Auslöser für Tsunamis sind Erdbeben, aber auch Erdrutsche können der Grund für die großen Wasserwellen sein, die dann sogar eine globale Auswirkung haben können. Im Varjont-Tal kam es 1963 nach dem Aufstauen eines Stausees zu einem Landrutsch. Dieser führte zu einer Tsnuamiwelle im Stausee, die in ihrer Größe weit unterschätzt wurde, und zur schrecklichen Tragödie von Langarone führte. Solche Vorgänge können natürlich auch in Küstengebieten auftreten und die gegenüberliegenden Küsten gefährden. Im Gegensatz zu sehr plötzlichen seismischen Aktivitäten können Landrutsche weit langfristigere Vorgänge sein. Auch können die sich bewegenden Landmassen aus beweglichem Schlamm oder feinem Geröll bestehen oder aus eher festen Bestandteilen. Dies beeinflusst stark die möglichen Modelle, und Katharina Elsen beschreibt im Gespräch mit Gudrun Thäter ihre Modelle und Forschung zu Landrutschen von Bergabschnitten, die sich eher wie ein Festkörper als wie ein Fluid verhalten. Die Landmassen werden in einige Festkörper-Masseblöcke aufgeteilt, die jeweils Massenzentren bzw. Baryzentren besitzen und deren Berandung bekannt ist. Daraus wird die individuelle Bewegung der Blöcke modelliert, wie auch die gegenseitige Beeinflussung auf verschiedene Arten. Letztlich wird dann untersucht, wie die Blöcke letztlich durch Geschwindigkeit und Form auf das Wasser wirken, um bessere Aussagen über resultierende Wellenhöhe treffen zu können. Der erste Schritt zur Simulation ist die Zerlegung der gleitenden Oberflächen in Dreiecke, und dann wird die Bewegung der einzelnen Massepunkte für das vereinfachte Modell durch die klassische Newtonsche Mechanik zunächst exakt berechnet. Für die Beeinflussung der Massepunkte zueinander werden verschiedene approximierende Modelle erforscht, und Parameter entsprechend den Beobachtungen identifiziert. Die Ansätze und Modelle fließen in eine Software zur Erdrutschsimulation, die auch im Bereich der Reibungsmodelle überarbeitet wurde: Da auf triangulisierten Oberflächen alle Funktionen und Eigenschaften dort bisher nur in linearisierter Form auftreten, können höhere Ableitungen nur über erweiterte Modelle approximiert werden.

Erdrutsche

Modellansatz 051

An Pädagogischen Hochschulen werden Lehrerinnen und Lehrer für fast alle Schulformen ausgebildet, es gibt sie inzwischen in Deutschland nur noch in Baden-Württemberg. Beispielsweise seien die Pädagogische Hochschule Heidelberg und die Pädagogische Hochschule Karlsruhe genannt- hier in Karlsruhe gibt es zusätzlich auch eine Abteilung für Didaktik an der Fakultät für Mathematik am KIT. An den pädagogischen Hochschulen werden aber nicht nur Pädagogik und Didaktik unterrichtet, sondern auch die entsprechenden Fachrichtungen und jeweilige didaktische Konzepte in diesen Fachrichtungen. Christian Spannagel unterrichtet so als Professor für Mathematik und Informatik in den Fächern, und erzählt im Gespräch mit Sebastian Ritterbusch, wie er didaktische Konzepte für den Mathematikunterricht erforscht und aktiv erprobt. Die Frage nach Verbesserung des Mathematik-Unterrichts ist sehr aktuell: Die OECD-Studie zu Geschlechtsunterschieden in der Schule hat gerade in Mathematik Verbesserungspotential aufgezeigt, denn viele geben Mathe auf, weil sie nachweislich fälschlich glauben, sie könnten es nicht. Der zentrale Begriff ist hier die Selbstwirksamkeitserwartung, die insbesondere in Naturwissenschaften und Mathematik durch gesellschaftliche Einflüsse stark geprägt ist. Die Erforschung neuer Lehrmethoden kann aber nicht den Ersatz der bisherigen und erprobten Konzepte zum Ziel haben: So sind selbst vermeintlich alte Übungen zum Kopfrechnen und zur schriftlichen Division auch heute noch überaus wichtige Hilfen zur Vermittlung von Algorithmen, Stellenwertsystemen und auch zur Vorbereitung auf ein Studium. Das Ziel muss sein, den Fundus möglicher Vermittlungsformen zu bereichern, und für verschiedene Konzepte bessere Kombinationen der Verfahren zu finden. Ein nützliches neues Werkzeug ist die Tabellenkalkulation, mit der beispielsweise Würfelexperimente und Simulationen im Unterricht interaktiv erfahrbar gemacht werden können. Ebenso können Dynamische Geometriesysteme den Zugang zur Konstruktion und Analytischer Geometrie, wie beispielsweise den Satz des Thales, deutlich vereinfachen. Die Software GeoGebra ist ein solches System, das insbesondere auch unterschiedliche Darstellungen und Analyse der Konstruktionen ermöglicht. Leider ist es zu Zeit noch nicht möglich, dass in Klassen jederzeit an jedem Platz ein Rechner zum Einsatz interaktiver Experimente vorhanden ist. Aber auch an einem interaktiven Whiteboard können die Methoden durchgeführt werden. Die technische Ausstattung ist aber nur ein kleiner Schritt zur Einführung neuer Werkzeuge in den Unterricht, auch die Lehrerinnen und Lehrer müssen die Kompetenzen zum Einsatz der neuen Medien erlernen. Hier müssen die pädagogischen Hochschulen den Lehramtsstudierenden den Weg bereiten, damit das Lehrpersonal zu Beginn und auch in ihrer langen Lehrzeit für den Stand und die Entwicklung der Technik vorbereitet ist. Auch Wissensmanagement in der Form von Wikis haben in Schulen Einzug gehalten, so setzen Maria Eirich und Andrea Schellmann auf ein Schulwiki am Regiomontanus-Gymnasium Haßfurt und Lernpfade zum interaktiven Mathematik-Unterricht. Auch Schülerinnen und Schüler können hier selbst Quiz-Aufgaben erstellen. Michael Gieding und Andreas Schnirch haben für Geometrie-Vorlesungen an der PH Heidelberg ein Geometrie-Wiki auf dieser Technologie erstellt, das auch weiterhin für Lehrveranstaltungen für Lehramtsstudierende genutzt wird. Eine Einführung in die frühen interaktiven Elemente am CMS der Fakultät für Mathematik sind auf der Fragebogen-Seite mit einer Vielzahl von Beispielen zu finden. Gerade in Mathematik stellt die Einbindung digitaler Medien eine gewisse Hürde dar, da Formeln, Beweise, Algorithmen und Konstruktionszeichnung nicht leicht digitalisierbar sind- auch wenn das Textsatz-System LaTeX oder LyX im mathematischen Bereich mit perfektem Druckbild für fast alles verwendet werden kann, so muss man es erst erlernen- beispielsweise mit der l2kurz-Anleitung. (...)

Flipped Classroom


<p><a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Klothoide">Klothoiden</a> sind <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Kurve_%28Mathematik%29">Kurven</a>, die 1794 von <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Jakob_I._Bernoulli">Jakob I. Bernoulli</a> zuerst beschrieben wurden. Er hatte die Form eines Metallstreifens untersucht, der von einem Gewicht an einem Ende verbogen wird, während das andere Ende eingespannt ist. Als Resultat des elastischen Verhaltens  ist  dann die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Kr%C3%BCmmung">Krümmung</a> <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Proportionalit%C3%A4t">proportional</a> zur <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/L%C3%A4nge_%28Mathematik%29#L.C3.A4ngen_von_Kurven">Kurvenlänge</a>. Viele weitere Eigenschaften von Kurven mit dIeser Eigenschaft wurden dann von <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler">Leonhard Euler</a> über den Rahmen des Gedankenexperiments von Bernoulli hinaus bewiesen , wie zum Beispiel die Position der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Asymptote">asymptotischen</a> Endpunkte.</p> <p>Im Straßen- und Schienenbau sind Klothoiden ausgezeichnete <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%9Cbergangsbogen">Übergangsbögen</a> zwischen geraden Strecken und Kurven, da diese Kurve die Krümmung zwischen den beiden Abschnitten gleichmäßig anpasst. Bei der Planung von Schienentrassen wurde diese Eigenschaft vor etwa 100 Jahren schon ausgenutzt. Eine aktuelle wichtige Anwendung ist die Abbildung der Straßen in <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Fahrerassistenzsystem">Fahrassistenzsystemen</a>, wo passend <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Parameter_%28Mathematik%29">parametrisierte</a> Klothoiden große Vorteile gegenüber <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Spline">Splines</a> besitzen, wie Gotami Heller im Gespräch mit <a href="http://www.math.kit.edu/ianm4/~thaeter/de">Gudrun Thäter</a> erklärt.</p> <p>Um Klothoiden tatsächlich im Computermodell benutzen zu können, muss eine möglichst adäquate Approximation gesucht und implementiert werden, die die nötige Glattheit in der Kurve erhält.</p> <h1>Literatur und Zusatzinformationen</h1> <ul><li> <a href="http://www.hs-bochum.de/fb5/baeumker/download/ingv5_teil1.pdf">M. Bäumker: Rechenverfahren der Ingenieurvermessung</a></li><li> <a href="http://www.eecs.berkeley.edu/Pubs/TechRpts/2008/EECS-2008-111.pdf: R. Levien: The Euler spiral, a mathematical history">http://www.eecs.berkeley.edu/Pubs/TechRpts/2008/EECS-2008-111.pdf: R. Levien: The Euler spiral, a mathematical history</a>, Technical Report University of Carlifornia at Berkeley, UCB/EECS-2008-111, 2008.</li><li> <a href="http://dx.doi.org/10.1109/IVS.2002.1187944">D. Khosla: Accurate estimation of forward path geometry using two-clothoid road model</a>, Intelligent Vehicle Symposium, 2002. IEEE. Vol. 1. IEEE, 2002.</li></ul>


Modellansatz 050

Klothoiden sind Kurven, die 1794 von Jakob I. Bernoulli zuerst beschrieben wurden. Er hatte die Form eines Metallstreifens untersucht, der von einem Gewicht an einem Ende verbogen wird, während das andere Ende eingespannt ist. Als Resultat des elastischen Verhaltens ist dann die Krümmung proportional zur Kurvenlänge. Viele weitere Eigenschaften von Kurven mit dIeser Eigenschaft wurden dann von Leonhard Euler über den Rahmen des Gedankenexperiments von Bernoulli hinaus bewiesen , wie zum Beispiel die Position der asymptotischen Endpunkte. Im Straßen- und Schienenbau sind Klothoiden ausgezeichnete Übergangsbögen zwischen geraden Strecken und Kurven, da diese Kurve die Krümmung zwischen den beiden Abschnitten gleichmäßig anpasst. Bei der Planung von Schienentrassen wurde diese Eigenschaft vor etwa 100 Jahren schon ausgenutzt. Eine aktuelle wichtige Anwendung ist die Abbildung der Straßen in Fahrassistenzsystemen, wo passend parametrisierte Klothoiden große Vorteile gegenüber Splines besitzen, wie Gotami Heller im Gespräch mit Gudrun Thäter erklärt. Um Klothoiden tatsächlich im Computermodell benutzen zu können, muss eine möglichst adäquate Approximation gesucht und implementiert werden, die die nötige Glattheit in der Kurve erhält.

Klothoiden


<p>Gabriel Thäter ist im Rahmen eines <a href="http://www.schule-bw.de/schularten/gymnasium/bogy/">BOGY-Praktikums</a> zum Institut gekommen, um einen Eindruck von der Forschungstätigkeit in der angewandten Mathematik zu erhalten. Dazu befasste er sich mit der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Simulation">Simulation</a>, <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Auslegung_%28Technik%29">Auslegung</a> und <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Optimum">Optimierung</a> von <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Wasserrakete">Wasserraketen</a>, die durch <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Impulserhaltungssatz">Impulserhaltung</a> ihre <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Beschleunigung">Beschleunigung</a> erhalten. Sein Interesse an der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Raketentechnik">Raketentechnik</a> entstand durch die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Kerbal_Space_Program">Kerbal Space Program</a> Simulation, in der Raketen und Flugzeuge zur Erfüllung verschiedener Aufträge aufgebaut werden. </p><p>Die Wasserraketen unterscheiden sich unter anderem durch ihre <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Bauform">Bauform</a>, dem zur Befüllung zur Verfügung stehenden <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Volumen">Volumen</a>, wie viel Wasser darin mit welchem <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Druck_%28Physik%29">Druck</a> eingefüllt wird und welche <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/D%C3%BCse">Düse</a> verbaut wurde. Der erste Ansatz die Auswirkung der Düse durch den Druckunterschied mit einer <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Laminare_Str%C3%B6mung">laminaren Strömung</a> zu berechnen, führte zu unrealistischen Ergebnissen, was auf Basis der hohen <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Reynolds-Zahl">Reynolds-Zahl</a> zu erwarten war. Ein Ansatz über ein <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Turbulente_Str%C3%B6mung">turbulentes Strömungsmodell</a> führte zu sinnvollen Werten für die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/R%C3%BCcksto%C3%9F">Rückstoßgeschwindigkeit</a> in <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Diskretisierung">diskretisierter</a> zeitlicher Abhängigkeit. </p><p>Die Berechnung der Steighöhe ist besonders durch die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Gravitation">Schwerkraft</a> und den <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Str%C3%B6mungswiderstand">Luftwiderstand</a> abhängig. Neben der Berücksichtigung des sich stark verändernden Gewichts, ist die Bestimmung des geeigneten <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Str%C3%B6mungswiderstandskoeffizient">cW-Wert</a>s für den Strömungswiderstand eine große Herausforderung. Neben dem Vergleich mit einfachen Körpern wie Zylindern und Kugeln konnte eine <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Parameter_identification_problem">Parameteridentifikation</a> aus experimentellen Messwerten den cW-Wert sinnvoll bestimmen. </p><p>Die praktische Ausführung des Experiments verfolgt man am Besten bei unseren Kollegen bei <a href="http://methodisch-inkorrekt.de">Methodisch Inkorrekt</a>, die beim 31C3 ihre <a href="http://youtu.be/YgPIElakaDw?t=31m20s">Wasserrakete live im Sendezentrum</a> zündeten. Natürlich gibt es auch <a href="http://www.mobypicture.com/user/Astro_Minis/view/17152748">reine Luftraketen, die beeindruckende Höhen erreichen können</a>. </p><h1>Literatur und Zusatzinformationen</h1> <ul><li> <a href="http://epubs.siam.org/doi/pdf/10.1137/S0036144598348223">J. Prusa: Hydrodynamics of a water rocket</a>, SIAM review 42.4: 719-726, 2000.</li><li> <a href="http://iopscience.iop.org/0143-0807/30/5/012/pdf/0143-0807_30_5_012.pdf">R. Barrio-Perotti, et al: Experimental evaluation of the drag coefficient of water rockets by a simple free-fall test</a>, European Journal of Physics 30.5: 1039, 2009.</li><li> <a href="http://www.dlr.de/schoollab/Portaldata/24/Resources/dokumente/la/Bauanleitung_Wasserrakete_10_www1.pdf">Bauanleitung Wasserrakete</a> und <a href="http://www.dlr.de/schoollab/Portaldata/24/Resources/dokumente/la/Bauanleitung_Startrampe10_www2.pdf">Bauanleitung Startrampe</a> vom <a href="http://www.dlr.de/schoollab/Desktopdefault.aspx/tabid-1985/2833_read-4370/">School-Lab zu Raketenantrieben</a> des <a href="http://www.dlr.de/">Deutschen Zentrums für Luft und Raumfahrt</a>.</li><li> <a href="http://www.raumfahrt-wuerzburg.de/luftraketen.html">Raumfahrt Würzburg: Bauanleitung Luftraketen</a></li></ul>


Modellansatz 049

Gabriel Thäter ist im Rahmen eines BOGY-Praktikums zum Institut gekommen, um einen Eindruck von der Forschungstätigkeit in der angewandten Mathematik zu erhalten. Dazu befasste er sich mit der Simulation, Auslegung und Optimierung von Wasserraketen, die durch Impulserhaltung ihre Beschleunigung erhalten. Sein Interesse an der Raketentechnik entstand durch die Kerbal Space Program Simulation, in der Raketen und Flugzeuge zur Erfüllung verschiedener Aufträge aufgebaut werden. Die Wasserraketen unterscheiden sich unter anderem durch ihre Bauform, dem zur Befüllung zur Verfügung stehenden Volumen, wie viel Wasser darin mit welchem Druck eingefüllt wird und welche Düse verbaut wurde. Der erste Ansatz die Auswirkung der Düse durch den Druckunterschied mit einer laminaren Strömung zu berechnen, führte zu unrealistischen Ergebnissen, was auf Basis der hohen Reynolds-Zahl zu erwarten war. Ein Ansatz über ein turbulentes Strömungsmodell führte zu sinnvollen Werten für die Rückstoßgeschwindigkeit in diskretisierter zeitlicher Abhängigkeit. Die Berechnung der Steighöhe ist besonders durch die Schwerkraft und den Luftwiderstand abhängig. Neben der Berücksichtigung des sich stark verändernden Gewichts, ist die Bestimmung des geeigneten cW-Werts für den Strömungswiderstand eine große Herausforderung. Neben dem Vergleich mit einfachen Körpern wie Zylindern und Kugeln konnte eine Parameteridentifikation aus experimentellen Messwerten den cW-Wert sinnvoll bestimmen. Die praktische Ausführung des Experiments verfolgt man am Besten bei unseren Kollegen bei Methodisch Inkorrekt, die beim 31C3 ihre Wasserrakete live im Sendezentrum zündeten. Natürlich gibt es auch reine Luftraketen, die beeindruckende Höhen erreichen können.

Wasserraketen


<p>Die Gründer <a href="http://nuberisim.de/fppg.html">Carlos Falquez, Iris Pantle und Balazs Pritz</a> aus dem <a href="http://www.kit.edu/">Karlsruher Institut für Technologie (KIT)</a>, befassen sich mit Verfahren für <a href="http://nuberisim.de/index.html#acoustics">Strömungslärmprognose</a> und bieten diese Ingenieurbüros und Unternehmen zur Nutzung auf ihrer <a href="http://nuberisim.de/">Cloud-Simulationsplattform NUBERISIM</a> an. Während für viele <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Str%C3%B6mungslehre">Strömungen</a> die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Navier-Stokes-Gleichungen#Navier-Stokes-Gleichungen_f.C3.BCr_inkompressible_Fluide">inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen</a> ausreichen, kommen hier <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Navier-Stokes-Gleichungen#Navier-Stokes-Gleichungen_f.C3.BCr_kompressible_Fluide">kompressible Gleichungen</a> zum Einsatz. Dies ändert das Gleichungssystem von einem <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Elliptische_partielle_Differentialgleichung">dominant elliptischen</a> zu einem <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Differentialgleichung#Hyperbolische_partielle_Differentialgleichungen">dominant hyperbolischen System</a>, dem die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Numerische_Mathematik">numerischen Verfahren</a> Rechnung tragen müssen.  </p> <p>Der Definition des Simulationsgebiets und den an dessen Rändern festzulegenden <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Randbedingung">Randbedingungen</a> kommt hier eine besondere Bedeutung zu: Beides muss aufeinander abgestimmt sein, jede ins Simulationsgebiet einlaufende Störung besitzt selbst wieder die Größenordnung <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Schall">akustischer Wellen</a> und kann daher vom eigentlichen Simulationsergebnis, dem durch die Strömung erzeugten Schall, schlecht getrennt werden.</p> <p>Daneben ergeben sich weitere Herausforderungen, wie den Einsatz von <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Finite-Volumen-Verfahren#Verfahren_H.C3.B6herer_Ordnung">Verfahren höherer Ordnung</a>, um die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Dispersion_%28Physik%29">Wellendispersion</a> zu bewahren, deren Erhaltung in einer typischen Strömungssimulation normalerweise weder forciert wird noch das Ergebnis signifikant verbessern würde.</p> <p>Schließlich sind solche Verfahren hoch-instationär, so dass sich für realistische Fragestellungen äußerst lange Rechenzeiten ergeben. Dadurch wurden sie in der Vergangenheit nur in der akademischen Forschung untersucht und angewendet. Der Schritt zur kommerziellen Nutzung schien lange undenkbar. Durch moderne Parallelisierungstechniken und <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Cloud_Computing">Cloud-Systeme</a> jedoch steht plötzlich auch kleineren Unternehmen wie z.B. Ingenieursdienstleitern ausreichend Rechenkapazität zur Verfügung – theoretisch, denn der Zugang hierzu ist immer noch Eingeweihten vorbehalten.</p> <p>Darum haben die Gründer die Idee entwickelt, solche Verfahren nicht nur als Software, sondern als Plattform einschließlich Nutzeroberfläche anzubieten, gerade so wie bei einer konventionellen Software – nur eben über einen Browser anzusteuern. Die Plattform wird voraussichtlich im März zugänglich gemacht. </p> <h1>Literatur und Zusatzinformationen</h1> <ul><li> <a href="http://www.nuberisim.de">Falquez, Pantle und Pritz GbR: Nubersim.de</a></li><li> <a href="http://www.amazon.de/Str%C3%B6mungsakustik-Basis-akustischer-Analogie-URANS/dp/3936231826">Iris Pantle: Strömungsakustik auf der Basis akustischer Analogie mit LES und URANS</a>, Der Andere Verlag, ISBN 978-3936231823, 2002.</li><li> <a href="http://www.cfd.tu-berlin.de/Lehre/CAA/script-pub/CAA_Script.pdf">Christoph Richter, Łukasz Panek, Norbert Schönwald, Mei Zhuang: Numerische Methoden in der Strömungsakustik – CAA</a>, Vorlesungsskript, TU Berlin, 2005.</li></ul>


Modellansatz 048

Die Gründer Carlos Falquez, Iris Pantle und Balazs Pritz aus dem Karlsruher Institut für Technologie (KIT), befassen sich mit Verfahren für Strömungslärmprognose und bieten diese Ingenieurbüros und Unternehmen zur Nutzung auf ihrer Cloud-Simulationsplattform NUBERISIM an. Während für viele Strömungen die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen ausreichen, kommen hier kompressible Gleichungen zum Einsatz. Dies ändert das Gleichungssystem von einem dominant elliptischen zu einem dominant hyperbolischen System, dem die numerischen Verfahren Rechnung tragen müssen. Der Definition des Simulationsgebiets und den an dessen Rändern festzulegenden Randbedingungen kommt hier eine besondere Bedeutung zu: Beides muss aufeinander abgestimmt sein, jede ins Simulationsgebiet einlaufende Störung besitzt selbst wieder die Größenordnung akustischer Wellen und kann daher vom eigentlichen Simulationsergebnis, dem durch die Strömung erzeugten Schall, schlecht getrennt werden. Daneben ergeben sich weitere Herausforderungen, wie den Einsatz von Verfahren höherer Ordnung, um die Wellendispersion zu bewahren, deren Erhaltung in einer typischen Strömungssimulation normalerweise weder forciert wird noch das Ergebnis signifikant verbessern würde. Schließlich sind solche Verfahren hoch-instationär, so dass sich für realistische Fragestellungen äußerst lange Rechenzeiten ergeben. Dadurch wurden sie in der Vergangenheit nur in der akademischen Forschung untersucht und angewendet. Der Schritt zur kommerziellen Nutzung schien lange undenkbar. Durch moderne Parallelisierungstechniken und Cloud-Systeme jedoch steht plötzlich auch kleineren Unternehmen wie z.B. Ingenieursdienstleitern ausreichend Rechenkapazität zur Verfügung – theoretisch, denn der Zugang hierzu ist immer noch Eingeweihten vorbehalten. Darum haben die Gründer die Idee entwickelt, solche Verfahren nicht nur als Software, sondern als Plattform einschließlich Nutzeroberfläche anzubieten, gerade so wie bei einer konventionellen Software – nur eben über einen Browser anzusteuern. Die Plattform wird voraussichtlich im März zugänglich gemacht.

Strömungslärm


<p><a href="http://www.joachim-breitner.de/">Joachim Breitner</a> veranstaltete im <a href="http://fablab-karlsruhe.de/">FabLab Karlsruhe</a> einen <a href="http://fablab-karlsruhe.de/nachrichten/138-eigene-tip-toi-produkte-basteln">Workshop</a> auf dem er unter anderem seinen <a href="http://www.joachim-breitner.de/blog/669-Ein_Tiptoi-Taschenrechner">Taschenrechner auf Papier</a> vorstellte. Den Rechner hat er mit einem speziellen <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Digitalstift">Digitalstift</a> realisiert, <a href="http://www.mikrocontroller.net/topic/214479">dessen genaue Funktionsweise analysiert wurde</a>.</p> <p>Im Workshop ging es speziell um den <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Tiptoi">Tiptoi-Stift</a>, der auf dem Papier ein fast unsichtbares Punktemuster analysiert. Dieses Punktemuster macht das Papier zu <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Digitales_Papier">digitalem Papier</a>. Hier werden immer im <a href="https://github.com/entropia/tip-toi-reveng/blob/master/docs/The_Code.pdf?raw=true">Code 16 Punkte zu einem Block</a> zusammengefasst, von denen die Punkte am linken und oberen Rand zur Erkennung, und die <a href="http://tinyurl.com/oid-decoder">restlichen neun Punkte die eigentliche Information als Zahl</a> mit Prüfbits beinhalten. Dabei entsprechen vier Punkte etwa einem Millimeter und daher sind die Muster, die sich auf den aktiven Bereichen wiederholen, mit dem Auge kaum zu erkennen.</p> <p>Die Funktionen des Stifts werden als GME-Dateien wie auf einen <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/USB-Stick">USB-Stick</a> kopiert, und diese konnten in einem längeren Prozess zum Großteil analysiert werden. Zunächst wurden die im freien <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Vorbis">Ogg Vorbis-Format</a> kodierten Tondateien gefunden, die über eine einfache <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Monoalphabetische_Substitution">Substitutions-Chiffre</a> verschleiert wurden. Im Folge der weiteren Analyse wurden die Programme zu den Papiermustern gefunden, und aus diesen konnte die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Maschinensprache">Maschinensprache</a> der Stifte im Großteil bestimmt werden. Das System reagiert auf gescannte Codes, und kann dann verschiedene Aktionen wie das Abspielen von Audio, Variablen setzen, Rechnungen durchführen und Variablen abfragen.</p> <p>Ein Rätsel verblieb, warum die berechneten Werte aus den Papiercodes nicht mit den Kennungen in den Programmen übereinstimmten. Dies konnte man durch Wechsel des Stifts in einen Debug-Modus durch Drücken der Minus-Taste beim Anschalten und anschließend der Plus-Taste nachvollziehen, denn dann liest der Stift die in der Maschinensprache verwendeten Codes auf Chinesisch vor. Zum Verständnis braucht man da nur eine <a href="http://www.nsonic.de/chinesisch/anfaenger/tag1/tag1.htm">Tabelle der chinesischen Zahlen von 1 bis 10</a>. Aber auch diese Zuordnung konnte inzwischen analysiert und gelöst werden. </p> <p>Damit können nun komplett eigene Seiten mit Papier-Code und zugehörigen GME-Programmen von jedem selbst erstellt werden, dazu wurde das <a href="http://tttool.entropia.de/">tttool</a> entwickelt, mit dem sowohl die Programme in einer speziellen Sprache, wie auch die zugehörigen Punktemuster erzeugt werden können. Das Erstellen druckbarer Seiten erfordert dann nur noch ein geeignetes Grafikprogramm und passende Hintergrundbilder, wie Joachim Breitner im Gespräch mit <a href="http://www.math.kit.edu/ianm4/~ritterbusch/de">Sebastian Ritterbusch</a> darlegt.</p> <h1>Literatur und Zusatzinformationen</h1> <ul><li> <a href="http://tttool.entropia.de/">J.Breitner: tttool, Das Schweizer Taschenmesser für den Tiptoi-Bastler</a></li><li> <a href="https://lists.nomeata.de/mailman/listinfo/tiptoi">Mailingliste für das tttool</a></li><li> <a href="http://fablab-karlsruhe.de">FabLab Karlsruhe e.V.</a></li><li> <a href="https://entropia.de/Hauptseite">Entropia e.V. Karlsruhe</a></li></ul>


Modellansatz 047

Joachim Breitner veranstaltete im FabLab Karlsruhe einen Workshop auf dem er unter anderem seinen Taschenrechner auf Papier vorstellte. Den Rechner hat er mit einem speziellen Digitalstift realisiert, dessen genaue Funktionsweise analysiert wurde. Im Workshop ging es speziell um den Tiptoi-Stift, der auf dem Papier ein fast unsichtbares Punktemuster analysiert. Dieses Punktemuster macht das Papier zu digitalem Papier. Hier werden immer im Code 16 Punkte zu einem Block zusammengefasst, von denen die Punkte am linken und oberen Rand zur Erkennung, und die restlichen neun Punkte die eigentliche Information als Zahl mit Prüfbits beinhalten. Dabei entsprechen vier Punkte etwa einem Millimeter und daher sind die Muster, die sich auf den aktiven Bereichen wiederholen, mit dem Auge kaum zu erkennen. Die Funktionen des Stifts werden als GME-Dateien wie auf einen USB-Stick kopiert, und diese konnten in einem längeren Prozess zum Großteil analysiert werden. Zunächst wurden die im freien Ogg Vorbis-Format kodierten Tondateien gefunden, die über eine einfache Substitutions-Chiffre verschleiert wurden. Im Folge der weiteren Analyse wurden die Programme zu den Papiermustern gefunden, und aus diesen konnte die Maschinensprache der Stifte im Großteil bestimmt werden. Das System reagiert auf gescannte Codes, und kann dann verschiedene Aktionen wie das Abspielen von Audio, Variablen setzen, Rechnungen durchführen und Variablen abfragen. Ein Rätsel verblieb, warum die berechneten Werte aus den Papiercodes nicht mit den Kennungen in den Programmen übereinstimmten. Dies konnte man durch Wechsel des Stifts in einen Debug-Modus durch Drücken der Minus-Taste beim Anschalten und anschließend der Plus-Taste nachvollziehen, denn dann liest der Stift die in der Maschinensprache verwendeten Codes auf Chinesisch vor. Zum Verständnis braucht man da nur eine Tabelle der chinesischen Zahlen von 1 bis 10. Aber auch diese Zuordnung konnte inzwischen analysiert und gelöst werden. Damit können nun komplett eigene Seiten mit Papier-Code und zugehörigen GME-Programmen von jedem selbst erstellt werden, dazu wurde das tttool entwickelt, mit dem sowohl die Programme in einer speziellen Sprache, wie auch die zugehörigen Punktemuster erzeugt werden können. Das Erstellen druckbarer Seiten erfordert dann nur noch ein geeignetes Grafikprogramm und passende Hintergrundbilder, wie Joachim Breitner im Gespräch mit Sebastian Ritterbusch darlegt.

Papierrechner


<p>Sebastian Lerch befasst sich mit der Vorhersage von Extremereignissen, zum Beispiel bei <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Unwetter">Stürmen und extrem starken Regenfällen</a> und deren Auswirkung auf Fluten oder auch bei <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/B%C3%B6rsenkrach">Ausnahmeereignissen in der Finanzindustrie</a>. Das Dilemma ist dabei, dass die öffentliche Bewertung oft nur nach eventuell nicht vorhergesagten Katastrophen erfolgt, wie bei dem <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Erdbeben_von_L%E2%80%99Aquila_2009">Erdbeben von L’Aquila</a>, das sogar zur in erster Instanz <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Erdbeben_von_L%E2%80%99Aquila_2009#Prozess_gegen_Erdbebenexperten">Verurteilung von Wissenschaftlern</a> führte. Tatsächlich gibt es Fälle erfolgreicher <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Erdbebenvorhersage">Erdbebenvorhersage</a>, doch leider sind dies nur seltene Ereignisse.</p> <p>Die grundsätzliche Schwierigkeit liegt darin, ein angemessenes Modell für die Risikobewertung zu finden, auch wenn manche Ereignisse nur selten oder in bestimmter Umgebung sogar noch nie aufgetreten sind, und so kaum Daten vorliegen. Die Lösung liegt darin auf <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Probabilistische_Aussage">probabilistische Vorhersagen</a> zu setzen. Hier wird kein deterministischer fester Wert vorhergesagt, sondern die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Verteilungsfunktion">stochastische Verteilung</a>, in der man die Wahrscheinlichkeit für alle Ereignisse definiert. </p> <p>Verschiedene probabilistische Vorhersagen können mit Hilfe des <a href="http://www.eumetcal.org/resources/ukmeteocal/temp/msgcal/www/english/msg/ver_prob_forec/uos3b/uos3b_ko1.htm">Continuous Rank Probability Score (CRPS)</a> zu Beobachtungen verglichen und evaluiert werden. Die CRPS ist dabei ein Vertreter der <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Scoring_rule">Proper Scoring Rules</a>, da die wahre Verteilung diesen Score tatsächlich maximiert.</p> <p>Eine Herausforderung verbleibt die Frage nach einer geeigneten Vermittlung von probabilistischen Aussagen, wie sie uns in der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Niederschlagswahrscheinlichkeit">Regenwahrscheinlichkeit</a> täglich in der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Wettervorhersage">Wettervorhersage</a> begegnet, und leider selten richtig verstanden wird.</p> <h1>Literatur und Zusatzinformationen</h1> <ul><li> <a href="http://www.nr.no/~thordis/files/Lerch2012.pdf">S. Lerch: Verification of probabilistic forecasts for rare and extreme events</a>, Diplomarbeit, 2012.</li><li> <a href="http://arxiv.org/pdf/1305.2026">S. Lerch, T. L. Thorarinsdottir: Comparison of nonhomogeneous regression models for probabilistic wind speed forecasting</a>, arXiv preprint arXiv:1305.2026, 2013.</li><li> <a href="http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.143.879&amp;rep=rep1&amp;type=pdf">T. Gneiting, A. E. Raftery: Strictly proper scoring rules, prediction, and estimation</a>, Journal of the American Statistical Association 102.477: 359-378, 2007.</li><li> <a href="http://www.nr.no/~thordis/files/verification.pdf">T. L. Thorarinsdottir, T. Gneiting, S. Lerch, N. Gissibl, N. Paths and pitfalls in prediction verification</a>, Vortrag Norges Bank, 2013.</li></ul>


Modellansatz 046

Sebastian Lerch befasst sich mit der Vorhersage von Extremereignissen, zum Beispiel bei Stürmen und extrem starken Regenfällen und deren Auswirkung auf Fluten oder auch bei Ausnahmeereignissen in der Finanzindustrie. Das Dilemma ist dabei, dass die öffentliche Bewertung oft nur nach eventuell nicht vorhergesagten Katastrophen erfolgt, wie bei dem Erdbeben von L’Aquila, das sogar zur in erster Instanz Verurteilung von Wissenschaftlern führte. Tatsächlich gibt es Fälle erfolgreicher Erdbebenvorhersage, doch leider sind dies nur seltene Ereignisse. Die grundsätzliche Schwierigkeit liegt darin, ein angemessenes Modell für die Risikobewertung zu finden, auch wenn manche Ereignisse nur selten oder in bestimmter Umgebung sogar noch nie aufgetreten sind, und so kaum Daten vorliegen. Die Lösung liegt darin auf probabilistische Vorhersagen zu setzen. Hier wird kein deterministischer fester Wert vorhergesagt, sondern die stochastische Verteilung, in der man die Wahrscheinlichkeit für alle Ereignisse definiert. Verschiedene probabilistische Vorhersagen können mit Hilfe des Continuous Rank Probability Score (CRPS) zu Beobachtungen verglichen und evaluiert werden. Die CRPS ist dabei ein Vertreter der proper Scoring Rules, da die wahre Verteilung diesen Score tatsächlich maximiert. Eine Herausforderung verbleibt die Frage nach einer geeigneten Vermittlung von probabilistischen Aussagen, wie sie uns in der Regenwahrscheinlichkeit täglich in der Wettervorhersage begegnet, und leider selten richtig verstanden wird.

Extremereignisse


<p>Bei der stochastischen <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Analyse">Analyse</a> von <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Kaufverhalten">Kaufverhalten</a> konzentriert man sich besonders auf die Aspekte des Kaufzeitpunkts, der Produktwahl und der Kaufmenge, um im Wettbewerb einen Vorteil gegenüber der Konkurrenz zu erhalten. Kristina Cindric führt im Gespräch mit <a href="http://www.math.kit.edu/ianm4/~thaeter/de">Gudrun Thäter</a> aus, wie sie auf Basis <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Big_Data">großer Datenmengen</a> von <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Anonymisierung_und_Pseudonymisierung">anonymisierten</a> Vertragsabschlüssen über ein Jahr Analysen erstellt, Modelle entworfen, trainiert und die entstehenden <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Prognose">Prognosen</a> getestet hat.</p> <p>Die auftretenden <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Stochastik">stochastischen</a> <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Mathematisches_Modell">Modelle</a> können sehr vielseitig sein: So kann der Kaufzeitpunkt beispielsweise durch einen <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Stochastischer_Prozess">stochastischen Prozess</a> mit <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialverteilung">exponentieller Verteilung</a> modelliert werden, für die Produktwahl kann ein <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Markow-Kette">Markow-Prozess</a> die wahrscheinlichsten nächsten Käufe abbilden. Ein zentrales Konzept für die Analyse und das Training von Modellen ist dann die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Sch%C3%A4tzfunktion">Parameterschätzung</a>, die die tatsächliche Ausgestaltung der Modelle aus den Daten bestimmt.</p> <h1>Literatur und Zusatzinformationen</h1> <ul><li> <a href="http://www.statistik.lmu.de/institut/lehrstuhl/semwiso/stochastische-prozesse/material/skript5.pdf">L. Fahrmeir, G. Raßer, T. Kneib: Stochastische Prozesse</a>, Institut für Statistik, Ludwig-Maximilians-Universität München, 2010.</li><li> <a href="http://books.google.de/books?id=415Nk0gUcCcC&amp;lpg=PP2&amp;dq=Ibe%2C%20O.%20C.%20(2009)%2C%20Markov%20Processes%20for%20Stochastic%20Modeling%2C%20Academic%20Press%2C%20Amsterdam.&amp;lr&amp;pg=PP2#v=onepage&amp;q&amp;f=false">O. C. Ibe: Markov Processes for Stochastic Modeling</a>, Academic Press, Amsterdam, 2009.</li><li> <a href="http://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&amp;arnumber=1274911">L. Yan, R. H. Wolniewicz, R. Dodier: Predicting Customer Behavior in Telecommunications</a>, IEEE Computer Society 19, 50-58, 2004.</li><li> <a href="http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0261517710001561">J.  Xia, P. Zeephongsekul, D. Packer: Spatial and temporal modelling of  tourist movements using Semi-Markov processes</a>, Tourism Management 32,  844-851, 2010.</li><li> <a href="http://publikationen.ub.uni-frankfurt.de/files/1080/EblingChristine.pdf">C.  Ebling, Dynamische Aspekte im Kaufverhalten: Die Determinanten von  Kaufzeitpunkt, Marken- und Mengenwahl</a>, Inaugural-Dissertation, Johann  Wolfgang Goethe-Universität Frankfurt am Main, 2007.</li><li> <a href="http://www.fzi.de">Forschungszentrum Informatik (FZI)</a></li></ul>


Modellansatz 045

Bei der stochastischen Analyse von Kaufverhalten konzentriert man sich besonders auf die Aspekte des Kaufzeitpunkts, der Produktwahl und der Kaufmenge, um im Wettbewerb einen Vorteil gegenüber der Konkurrenz zu erhalten. Kristina Cindric führt im Gespräch mit Gudrun Thäter aus, wie sie auf Basis großer Datenmengen von anonymisierten Vertragsabschlüssen über ein Jahr Analysen erstellt, Modelle entworfen, trainiert und die entstehenden Prognosen getestet hat. Die auftretenden stochastischen Modelle können sehr vielseitig sein: So kann der Kaufzeitpunkt beispielsweise durch einen stochastischen Prozess mit exponentieller Verteilung modelliert werden, für die Produktwahl kann ein Markow-Prozess die wahrscheinlichsten nächsten Käufe abbilden. Ein zentrales Konzept für die Analyse und das Training von Modellen ist dann die Parameterschätzung, die die tatsächliche Ausgestaltung der Modelle aus den Daten bestimmt.

Kaufverhalten


<a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrie">Geometrie</a> und <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Analysis">Analysis</a> sind auf den ersten Blick zwei sehr unterschiedliche Disziplinen in der Mathematik. Wie sie jedoch wunderbar zusammenpassen, erläutert <a href="http://www.math.kit.edu/iana1/~lamm/de">Prof. Dr. Tobias Lamm </a> im Gespräch mit <a href="http://www.math.kit.edu/ianm4/~thaeter/de">Gudrun Thäter</a>.</p> <p>Ein klassisches Beispiel für die geometrische Analysis ist das <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Isoperimetrische_Ungleichung#Das_Problem_der_Dido">Problem der Dido</a>: Wie kann man bei festgelegtem Umfang ein möglichst großes Gebiet abstecken? Es geht also darum den <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Fl%C3%A4cheninhalt">Flächeninhalt</a> unter einer <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Nebenbedingung">Nebenbedingung</a> zu maximieren, und das ist ein typisches <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Variationsrechnung">Variationsproblem</a>, das stark von der gegebenen <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrie">Geometrie</a> abhängt. Ein anderes Beispiel sind <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Minimalfl%C3%A4che">Minimalflächen</a>, wie man sie beim <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Olympiastadion_M%C3%BCnchen">Olympiastadion in München</a> und <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Seifenblase">Seifenblasen</a> sehen kann.</p> <p>Überraschenderweise sind Minimalflächen nicht immer <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Eindeutigkeit">eindeutig</a>. Ein Weg dies zu analysieren geht über die Beschreibung des Problems durch <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Differentialgleichung">Partielle Differentialgleichungen</a>. Oft kann man über das <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Maximumprinzip_%28Mathematik%29">Maximumsprinzip</a> die Eindeutigkeit beweisen: Bei <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Linearit%C3%A4t">linearen</a> <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Elliptische_partielle_Differentialgleichung">elliptischen partiellen Differentialgleichungen</a> sagt das Prinzip aus, dass das Maximum entweder auf dem <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Rand_(Topologie)">Rand</a> angenommen wird oder <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Konstante_Funktion">konstant</a> ist. Betrachtet man nun die Differenz zweier angenommen unterschiedlicher Lösungen zu gleichen Randwerten, so folgt, dass die Differenz wegen der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Linearit%C3%A4t">Linearität</a> auch eine Lösung ist, und wegen des Maximumprinzips konstant 0 ist. Damit waren als Resultat dieses <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Widerspruchsbeweis">Widerspruchbeweises</a> die zwei Lösungen identisch. Bei allgemeineren, u.a. nicht-linearen, Problemstellungen muss dieses Prinzip nicht unbedingt gelten, und so kann es zu mehreren Lösungen zur gleichen Aufgabenstellung kommen.</p> <p>Aktuelle Forschungsbereiche in der geometrischen Analysis sind der mittlere Krümmungsfluss und die geometrische Evolutionsgleichung im Allgemeinen. Ebenso geht es um die Frage, mit welcher minimalen Regularität für die Anfangsdaten, noch eine Lösung rekonstruiert werden kann. Ein weiteres Forschungsgebiet sind die recht jungen <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Willmore-Energie">Willmore-Flächen</a>.</p> <p>Das Willmore-Funktional ist sehr eng verwandt zur <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Willmore-Energie">Plattengleichung</a>, d.h. der Approximation des Durchbiegens von Platten. Es hat aber auch Anwendungen in der Zellbiologie in der Modellierung der Form der Zellen. Letztlich kommt es auch in der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Allgemeine_Relativit%C3%A4tstheorie">allgemeinen Relativitätstheorie</a> zum Einsatz.</p> <p>Sehr aktuell ist der Beweis der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9-Vermutung">Poincaré-Vermutung</a>, die 2002 von <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Grigori_Jakowlewitsch_Perelman">Perelman</a> bewiesen werden konnte.</p> <h1>Literatur und Zusatzinformationen</h1> <ul><li> <a href="http://www.math.kit.edu/iana1/~lamm/seite/lecturenotes/media/geometricvariationalproblems.pdf">T. Lamm: Geometric Variational Problems</a>, Vorlesung gehalten an der FU Berlin, 2007.</li><li> <a href="http://arxiv.org/pdf/0902.1488.pdf">H. Koch, T. Lamm: Geometric flows with rough initial data</a>,  Asian Journal of Mathematics 16.2: 209-235, 2012.</li><li> <a href="http://arxiv.org/pdf/0903.1277.pdf">T. Lamm, J. Metzger, F. Schulze: Foliations of asymptotically flat manifolds by surfaces of Willmore type</a>, Mathematische Annalen 350.1: 1-78, 2011.</li></ul>


Modellansatz 044

Geometrie und Analysis sind auf den ersten Blick zwei sehr unterschiedliche Disziplinen in der Mathematik. Wie sie jedoch wunderbar zusammenpassen, erläutert Prof. Dr. Tobias Lamm im Gespräch mit Gudrun Thäter. Ein klassisches Beispiel für die geometrische Analysis ist das Problem der Dido: Wie kann man bei festgelegtem Umfang ein möglichst großes Gebiet abstecken? Es geht also darum den Flächeninhalt unter einer Nebenbedingung zu maximieren, und das ist ein typisches Variationsproblem, das stark von der gegebenen Geometrie abhängt. Ein anderes Beispiel sind Minimalflächen, wie man sie beim Olympiastadion in München und Seifenblasen sehen kann. Überraschenderweise sind Minimalflächen nicht immer eindeutig. Ein Weg dies zu analysieren geht über die Beschreibung des Problems durch Partielle Differentialgleichungen. Oft kann man über das Maximumsprinzip die Eindeutigkeit beweisen: Bei linearen elliptischen partiellen Differentialgleichungen sagt das Prinzip aus, dass das Maximum entweder auf dem Rand angenommen wird oder konstant ist. Betrachtet man nun die Differenz zweier angenommen unterschiedlicher Lösungen zu gleichen Randwerten, so folgt, dass die Differenz wegen der Linearität auch eine Lösung ist, und wegen des Maximumprinzips konstant 0 ist. Damit waren als Resultat dieses Widerspruchbeweises die zwei Lösungen identisch. Bei allgemeineren, u.a. nicht-linearen, Problemstellungen muss dieses Prinzip nicht unbedingt gelten, und so kann es zu mehreren Lösungen zur gleichen Aufgabenstellung kommen. Aktuelle Forschungsbereiche in der geometrischen Analysis sind der mittlere Krümmungsfluss und die geometrische Evolutionsgleichung im Allgemeinen. Ebenso geht es um die Frage, mit welcher minimalen Regularität für die Anfangsdaten, noch eine Lösung rekonstruiert werden kann. Ein weiteres Forschungsgebiet sind die recht jungen Willmore-Flächen. Das Willmore-Funktional ist sehr eng verwandt zur Plattengleichung, d.h. der Approximation des Durchbiegens von Platten. Es hat aber auch Anwendungen in der Zellbiologie in der Modellierung der Form der Zellen. Letztlich kommt es auch in der allgemeinen Relativitätstheorie zum Einsatz. Sehr aktuell ist der Beweis der Poincaré-Vermutung, die 2002 von Perelman bewiesen werden konnte.

Geometrische Analysis


<p>Auch <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Evakuierungssimulation">Menschenströme</a> können mathematisch beschrieben und mit geeigneten Modellen auch simuliert werden. Damit können große Veranstaltungen im Vorfeld besser geplant und ausgelegt werden, damit Engpässe oder sogar <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Ungl%C3%BCck_bei_der_Loveparade_2010">Katastrophen wie bei der Love-Parade 2010</a> möglichst verhindert werden. Henrieke Benner hat dazu die Parameter für die Simulation von Fußgängern im Gegenstrom kalibriert und spricht mit Gudrun Thäter über die Verfahren, Herausforderungen und Erkenntnisse.</p><p>Mathematisch betrachtet sie die Fußgänger in einem <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Mikroskopisch_und_makroskopisch">mikroskopisch</a>en Modell, wo jede Person als eigenes Objekt simuliert wird. Entsprechend der Situation wirken nun virtuelle <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Kraft">Kräfte</a> auf diese Objekte, so verhindert eine virtuelle Abstoßungskraft zwischen zwei Personen, dass diese zusammenstoßen. </p><p>Die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/PTV_Planung_Transport_Verkehr#Produkte">betrachtete Simulation</a> wird durch eine Vielzahl von <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Parameter_%28Mathematik%29">Parametern</a> konfiguriert, die mit realen Experimenten <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Kalibrierung">kalibriert</a> werden müssen. Dies kann durch eine <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Optimierung_%28Mathematik%29">Optimierung</a> der Parameter gelöst werden, die die Simulation den Experimenten möglichst weitgehend annähert. </p><h1>Literatur und Zusatzinformationen</h1> <ul><li> <a href="http://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-37656-6">H.-J.  Bungartz, S. Zimmer, M. Buchholz, D. Pflüger: Modellbildung und  Simulation: Eine anwendungsorientierte Einführung</a>, Springer Verlag,  2013.</li><li> <a href="http://arxiv.org/pdf/0903.0149">U. Chattaraj, A. Seyfried, P. Chakroborty: Comparison of pedestrian fundamental diagram across cultures</a>, Advances in complex systems, 12(03), 393-405, 2009.</li><li> <a href="http://arxiv.org/pdf/0810.4587">A. Johansson, D. Helbing, P. K. Shukla: Specification of the social force  pedestrian model by evolutionary adjustment to video tracking data</a>, Advances in complex systems, 10(supp02), 271-288, 2007.</li><li> <a href="http://www.epjdatascience.com/content/pdf/epjds7.pdf">D. Helbing, P. Mukerji: Crowd disasters as systemic failures: analysis of the Love Parade disaster</a>, EPJ Data Science 1:7, 2012.</li><li> <a href="http://vision-traffic.ptvgroup.com/de/produkte/ptv-viswalk/">PTV Viswalk Software</a></li></ul>


Modellansatz 043

Auch Menschenströme können mathematisch beschrieben und mit geeigneten Modellen auch simuliert werden. Damit können große Veranstaltungen im Vorfeld besser geplant und ausgelegt werden, damit Engpässe oder sogar Katastrophen wie bei der Love-Parade 2010 möglichst verhindert werden. Henrieke Benner hat dazu die Parameter für die Simulation von Fußgängern im Gegenstrom kalibriert und spricht mit Gudrun Thäter über die Verfahren, Herausforderungen und Erkenntnisse. Mathematisch betrachtet sie die Fußgänger in einem mikroskopischen Modell, wo jede Person als eigenes Objekt simuliert wird. Entsprechend der Situation wirken nun virtuelle Kräfte auf diese Objekte, so verhindert eine virtuelle Abstoßungskraft zwischen zwei Personen, dass diese zusammenstoßen. Die betrachtete Simulation wird durch eine Vielzahl von Parametern konfiguriert, die mit realen Experimenten kalibriert werden müssen. Dies kann durch eine Optimierung der Parameter gelöst werden, die die Simulation den Experimenten möglichst weitgehend annähert.

Fußgänger


<a href="http://www.uni-frankfurt.de/50278800/Zachhuber">Jonathan Zachhuber</a> war zum <a href="http://www.mathematik.uni-karlsruhe.de/iag3/~herrlich/seite/weihnachts-workshops/">12. Weihnachtsworkshop zur Geometrie und Zahlentheorie</a> zurück an seine <a href="http://www.math.kit.edu/iag3/">Alma Mater nach Karlsruhe</a> gekommen und sprach mit <a href="http://www.math.kit.edu/ianm4/~thaeter/de">Gudrun Thäter</a> über <a href="http://www.uni-frankfurt.de/50569555/PCMI.pdf">Teichmüllerkurven</a>.</p> <p><a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Kurve_%28Mathematik%29">Kurven</a> sind zunächst sehr elementare ein-dimensionale mathematische Gebilde, die über den <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl">komplexen Zahlen</a> gleich viel reichhaltiger erscheinen, da sie im Sinne der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Funktionentheorie">Funktionentheorie</a> als <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsche_Fl%C3%A4che">Riemannsche Fläche</a> verstanden werden können und manchmal faszinierende <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Algebraische_Topologie">topologische Eigenschaften</a> besitzen.</p> <p>Ein wichtiges Konzept ist dabei das Verkleben von Flächen. Aus einem Rechteck kann man durch Verkleben der gegenüberliegenden Seiten zu einem Torus gelangen (<a href="http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Torus_from_rectangle.gif">Animation von Kieff zum Verkleben, veröffentlicht als Public Domain</a>): <br /> <a href="http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Torus_from_rectangle.gif#mediaviewer/File:Torus_from_rectangle.gif"><img class="imgcenter" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/60/Torus_from_rectangle.gif" alt="Torus from rectangle von Kieff" title="Torus from rectangle von Kieff" /></a></p> <p><a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Polynom">Polynome</a> in mehreren Variablen bieten eine interessante Art Kurven als Nullstellenmengen zu beschreiben: Die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Nullstelle">Nullstelle</a>n-<a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Menge_%28Mathematik%29">Menge</a> des Polynoms <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$p%28x%2Cy%29%3Dx%5E2%2By%5E2-1$&amp;sig=1857162f567186db01988ac4d10e93d6" alt="p(x,y)=x^2+y^2-1" title="p(x,y)=x^2+y^2-1" style="vertical-align: middle"  /> ergibt über den reellen Zahlen den <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Einheitskreis">Einheitskreis</a>. Durch Ändern von <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Koeffizient">Koeffizienten</a> kann man die Kurve verformen, und so ist die Nullstellenmenge von <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$q%28x%2Cy%29%3D2x%5E2%2By%5E2-1$&amp;sig=7ee3966fcea936e5ff6c4a7e535393ef" alt="q(x,y)=2x^2+y^2-1" title="q(x,y)=2x^2+y^2-1" style="vertical-align: middle"  /> eine <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Ellipse">Ellipse</a>. Über den komplexen Zahlen können diese einfachen Kurven dann aber auch als <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Mannigfaltigkeit">Mannigfaltigkeiten</a> interpretiert werden, die über <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Atlas_%28Mathematik%29">Karten</a> und <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Atlas_%28Mathematik%29">Atlanten</a> beschrieben werden können. Das ist so wie bei einer <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Stra%C3%9Fenkarte">Straßenkarte</a>, mit der wir uns lokal gut orientieren können. Im Umland oder anderen Städten braucht man weitere Karten, und alle Karten zusammen ergeben bei vollständiger Abdeckung den <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Stra%C3%9Fenatlas">Straßenatlas</a>.</p> <p>Auch wenn die entstehenden abstrakten Beschreibungen nicht immer anschaulich sind, so erleichtern die komplexen Zahlen den Umgang mit Polynomen in einem ganz wichtigen Punkt: Der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Algebra">Fundamentalsatz der Algebra</a> besagt, dass der Grad des Polynoms gleich der Anzahl der Nullstellen in ihrer <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Vielfachheit">Vielfachheit</a> ist. Also hat nun jedes nichtkonstante Polynom mindestens eine Nullstelle, und über den Grad des Polynoms wissen wir, wie viele Punkte sich in der Nullstellenmenge bewegen können, wenn wir an den Koeffizienten Veränderungen vornehmen.</p> <p>Eine gute Methode die entstehenden Flächen zu charakterisieren ist die Bestimmung möglicher geschlossener Kurven, und so gibt es beim Torus beispielsweise zwei unterschiedliche geschlossene Kurven. Die so enstehende <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalgruppe">Fundamentalgruppe</a> bleibt unter einfachen Deformationen der Flächen erhalten, und ist daher eine <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Invariante_%28Mathematik%29">Invariante</a>, die hilft die Fläche topologisch zu beschreiben. Eine weitere wichtige topologische Invariante ist das <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Geschlecht_%28Fl%C3%A4che%29">Geschlecht</a> der Fläche.</p> <p>Die Teichmüllerkurven entstehen nun z.B. durch das Verändern von einem Koeffizienten in den Polynomen, die uns durch Nullstellenmengen Kurven beschreiben- sie sind sozusagen Kurven von Kurven. Die entstehenden Strukturen kann man als <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Moduli_space">Modulraum</a> beschreiben, und so diesen Konstruktionen einen Parameterraum mit geometrischer Struktur zuordnen. Speziell entstehen Punkte auf Teichmüllerkurven gerade beim Verkleben von gegenüberliegenden parallelen Kanten eines Polygons; durch <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Scherung_%28Geometrie%29">Scherung</a> erhält man eine Familie von Kurven, die in seltenen Fällen selbst eine Kurve ist. Ein Beispiel ist das Rechteck, das durch Verkleben zu einem Torus wird, aber durch Scherung um ganz spezielle Faktoren zu einem ganz anderen Ergebnis führen kann.</p> <p>Die durch Verklebung entstandenen Flächen kann man als <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Translationsfl%C3%A4che">Translationsflächen</a> in den Griff bekommen. Hier liefert die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Symmetrie_%28Geometrie%29#Translationssymmetrie">Translationssymmetrie</a> die Methode um äquivalente Punkte zu identifizieren. Für die weitere Analyse werden dann auch <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Differentialform">Differentialformen</a> eingesetzt. Translationen sind aber nur ein Beispiel für mögliche Symmetrien, denn auch Rotationen können Symmetrien erzeugen. Da die Multiplikation in den komplexen Zahlen auch als Drehstreckung verstanden werden kann, sind hier Rotationen als komplexe <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Isomorphismus">Isomorphismen</a> ganz natürlich, und das findet man auch in den <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Einheitswurzel#Einheitswurzeln_in_den_komplexen_Zahlen">Einheitswurzeln</a> wieder.</p> <h1>Literatur und Zusatzinformationen</h1> <ul><li> <a href="http://arxiv.org/abs/math/0609392">A. Zorich: Flat Surfaces</a>, Frontiers in Number Theory, Physics and Geometry, On Random Matrices, Zeta Functions, and Dynamical Systems, Ed. by P. Cartier, B. Julia, P. Moussa, and P. Vanhove. Vol. 1. Berlin:  pp. 439–586, Springer-Verlag, 2006.</li><li> <a href="http://www.uni-frankfurt.de/50569555/PCMI.pdf">M. Möller: Teichmüller Curves, Mainly from the Viewpoint of Algebraic Geometry</a>, IAS/Park City Mathematics Series, 2011.</li><li> <a href="https://www1.uni-frankfurt.de/fb/fb12/mathematik/ag/personen/zachhuber/da_zachhuber.pdf">J.  Zachhuber: Avoidance of <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$%5Cmathcal%7BL%7Din%5E1_3$&amp;sig=213af652d0bbc498b69931bf91754a9a" alt="\mathcal{L}in^1_3" title="\mathcal{L}in^1_3" style="vertical-align: middle" width="28" height="14" /> by  Teichmüller Curves in a Stratum of  <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$%5Cmathcal%7BM%7D_%7B4%2C2%7D$&amp;sig=021fd29ada7800d7a7d13232ee872cac" alt="\mathcal{M}_{4,2}" title="\mathcal{M}_{4,2}" style="vertical-align: middle" width="30" height="14" /></a>, Diplomarbeit an der  Fakultät für Mathematik am Karlsruher Institut für Technologie (KIT),  2013.</li><li> <a href="http://www.math.harvard.edu/~ctm/papers/home/text/papers/bild/bild.pdf">C. McMullen: Billiards and Teichmüller curves on Hilbert modular surfaces</a>, Journal of the AMS 16.4, pp. 857–885, 2003.</li><li> <a href="http://www.math.harvard.edu/~ctm/papers/home/text/papers/prym/prym.pdf">C. McMullen: Prym varieties and Teichmüller curves</a>, Duke Math. J. 133.3, pp. 569–590,  2006.</li><li> <a href="http://www.math.harvard.edu/~ctm/papers/home/text/papers/abel/abel.pdf">C. McMullen: Dynamics of SL(2,R) over moduli space in genus two</a>, Ann. of Math. (2) 165, no. 2, 397–456,  2007.</li><li> <a href="http://www.math.harvard.edu/~ctm/papers/index.html">Weitere Paper von C. McMullen</a>, u.a. <a href="http://www.math.harvard.edu/~ctm/papers/home/text/papers/icm14/icm14.pdf">The mathematical work of Maryam Mirzakhani</a></li><li> Podcast: <a href="http://modellansatz.de/topologie">Modellansatz 040: Topologie mit Prof. Dr. Wolfgang Lück</a></li></ul>


Modellansatz 042

Jonathan Zachhuber war zum 12. Weihnachtsworkshop zur Geometrie und Zahlentheorie zurück an seine Alma Mater nach Karlsruhe gekommen und sprach mit Gudrun Thäter über Teichmüllerkurven. Kurven sind zunächst sehr elementare ein-dimensionale mathematische Gebilde, die über den komplexen Zahlen gleich viel reichhaltiger erscheinen, da sie im Sinne der Funktionentheorie als Riemannsche Fläche verstanden werden können und manchmal faszinierende topologische Eigenschaften besitzen. Ein wichtiges Konzept ist dabei das Verkleben von Flächen. Aus einem Rechteck kann man durch Verkleben der gegenüberliegenden Seiten zu einem Torus gelangen. Polynome in mehreren Variablen bieten eine interessante Art Kurven als Nullstellenmengen zu beschreiben: Die Nullstellen-Menge des Polynoms p(x,y)=x^2+y^2-1 ergibt über den reellen Zahlen den Einheitskreis. Durch Ändern von Koeffizienten kann man die Kurve verformen, und so ist die Nullstellenmenge von q(x,y)=2x^2+y^2-1 eine Ellipse. Über den komplexen Zahlen können diese einfachen Kurven dann aber auch als Mannigfaltigkeiten interpretiert werden, die über Karten und Atlanten beschrieben werden können. Das ist so wie bei einer Straßenkarte, mit der wir uns lokal gut orientieren können. Im Umland oder anderen Städten braucht man weitere Karten, und alle Karten zusammen ergeben bei vollständiger Abdeckung den Straßenatlas. Auch wenn die entstehenden abstrakten Beschreibungen nicht immer anschaulich sind, so erleichtern die komplexen Zahlen den Umgang mit Polynomen in einem ganz wichtigen Punkt: Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass der Grad des Polynoms gleich der Anzahl der Nullstellen in ihrer Vielfachheit ist. Also hat nun jedes nichtkonstante Polynom mindestens eine Nullstelle, und über den Grad des Polynoms wissen wir, wie viele Punkte sich in der Nullstellenmenge bewegen können, wenn wir an den Koeffizienten Veränderungen vornehmen. Eine gute Methode die entstehenden Flächen zu charakterisieren ist die Bestimmung möglicher geschlossener Kurven, und so gibt es beim Torus beispielsweise zwei unterschiedliche geschlossene Kurven. Die so enstehende Fundamentalgruppe bleibt unter einfachen Deformationen der Flächen erhalten, und ist daher eine Invariante, die hilft die Fläche topologisch zu beschreiben. Eine weitere wichtige topologische Invariante ist das Geschlecht der Fläche. Die Teichmüllerkurven entstehen nun z.B. durch das Verändern von einem Koeffizienten in den Polynomen, die uns durch Nullstellenmengen Kurven beschreiben- sie sind sozusagen Kurven von Kurven. Die entstehenden Strukturen kann man als Modulraum beschreiben, und so diesen Konstruktionen einen Parameterraum mit geometrischer Struktur zuordnen. Speziell entstehen Punkte auf Teichmüllerkurven gerade beim Verkleben von gegenüberliegenden parallelen Kanten eines Polygons; durch Scherung erhält man eine Familie von Kurven, die in seltenen Fällen selbst eine Kurve ist. Ein Beispiel ist das Rechteck, das durch Verkleben zu einem Torus wird, aber durch Scherung um ganz spezielle Faktoren zu einem ganz anderen Ergebnis führen kann. Die durch Verklebung entstandenen Flächen kann man als Translationsflächen in den Griff bekommen. Hier liefert die Translationssymmetrie die Methode um äquivalente Punkte zu identifizieren. Für die weitere Analyse werden dann auch Differentialformen eingesetzt. Translationen sind aber nur ein Beispiel für mögliche Symmetrien, denn auch Rotationen können Symmetrien erzeugen. Da die Multiplikation in den komplexen Zahlen auch als Drehstreckung verstanden werden kann, sind hier Rotationen als komplexe Isomorphismen ganz natürlich, und das findet man auch in den Einheitswurzeln wieder.

Teichmüllerkurven


<a href="https://lvb.wiwi.hu-berlin.de/members/personalpages/wh">Prof. Dr. Wolfgang Härdle</a> war im Rahmen des <a href="http://ts2014.math.kit.edu/">Workshop zu High Dimensional, High Frequency and Spatial Data</a> in Karlsruhe und sprach mit <a href="http://www.math.kit.edu/ianm4/~thaeter/de">Gudrun Thäter</a> über sein Forschungsgebiet. Er befasst sich an der <a href="http://www.hu-berlin.de/">Humboldt-Universität zu Berlin</a> mit der Bewertung von <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Risiko">Risiken</a> und ist am Lehrstuhl der Nachfolger von <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Ladislaus_von_Bortkewitsch">Ladislaw Bodjevich</a>, der unter anderem für seine Arbeiten zum <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Gesetz_der_kleinen_Zahlen">Gesetz der kleinen Zahlen</a> berühmt geworden ist: Es sagt aus, dass auch wenn alle 37 Roulette-Zahlen gleich wahrscheinlich sind, nach 37 Würfen im Durchschnitt nur etwa 2/3 der Zahlen aufgetreten sind. Damit steht es nur scheinbar in gewissem Kontrast zum <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Gesetz_der_gro%C3%9Fen_Zahlen">Gesetz der großen Zahlen</a>, das bestimmt, wie die Auftrittshäufigkeit sich für viele Würfe der Gleichverteilung annähert. </p><p>Das Flanken-<a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Ma%C3%9Ftheorie">Maß</a> ist eine Eigenschaft von <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Gewinn-_und_Verlustrechnung">Profit and Loss (PnL, GuV)-Funktionen</a> oder <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Zufallsvariable">Zufallsvariablen</a>, die die Dicke von Flanken oder Entferntheit von seltenen Ereignissen modelliert. Schon Ladislaw Bodjevich hat erkannt, dass das die Bewertung von <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Extremwerttheorie">Extremrisiken</a> und wenige vorhandene Daten einen Widerspruch darstellt. Die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung">Normalverteilung</a> ist die Grenzverteilung gewichteter Zufallsgrößen, wenn der Grenzwert existiert, also bei vielen Ereignissen das Gesetz der großen Zahlen zum Einsatz kommen kann. Bei wenigen Ereignissen gelangt man zur <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Poisson-Verteilung">Poisson-Verteilung</a>. </p><p>Obwohl sie theoretisch viele Prozesse gut beschreiben sollte, funktioniert die Normalverteilung in der Realität aus vielen Gründen oft schlechter als erwartet: Sich verändernde Prozesse können Mischverhältnisse von an sich normal-verteilten Bestandteilen verändern, ebenso kann sich die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Volatilit%C3%A4t">Volatilität</a> bzw. die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Streuung_%28Statistik%29">Streuung</a> um den <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Erwartungswert">Erwartungswert</a> über die Zeit verändern. Es kann aber auch eine vollkommene andere <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsverteilung">Verteilung</a> vorliegen wie zum Beispiel die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Extremwertverteilung">Extremwertverteilung</a>, <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Weibull-Verteilung">Weibull-Verteilung</a> mit algebraisch abfallenden Tails oder der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Pareto-Verteilung">Pareto-Verteilung</a>. Leider ist die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenz_%28Stochastik%29">stochastische Konvergenz</a> von Extermwertverteilungen sehr schlecht, und erschwert so <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Prognose">Vorhersagen und Bewertungen</a>. </p><p>So wurden <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Strukturiertes_Finanzprodukt">strukturierte Finanzprodukte</a> mit <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Multivariate_Verfahren">multivariaten Modellen</a> und einer Normalverteilungsannahme viel zu vereinfacht modelliert. So waren <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Collateralized_Debt_Obligation">CDO</a>-Produkte daher vor der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Finanzkrise_ab_2007">Finanzkrise ab 2007</a> viel zu billig und hatten einen beträchtlichen Anteil an der Krise. </p><p>Die Risikobewertung ist aber nicht nur für die Bewertung von <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Katastrophe">Katastrophen</a>-<a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Verzinsliches_Wertpapier">Bonds</a> für <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Versicherer">Versicherungen</a> gegen <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Erdbeben">Erdbeben</a> wichtig, sondern auch für die Analyse von <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Elektroenzephalografie">EEG</a> von Kindern. Sie hilft aber auch den <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Menschlicher_Fehler">Risikofaktor Mensch</a> im Sinne der <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Behavioral_economics">Behaviour Finance</a> zu verstehen. </p><h1>Literatur und Zusatzinformationen</h1> <ul><li> <a href="http://www.springer.com/statistics/business%2C+economics+%26+finance/book/978-3-642-16520-7">J. Franke, W. Härdle, C. Hafner: Statistics of Financial Markets</a>, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2004.</li><li> <a href="http://eu.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-1118269039.html">J. Hull: Risk Management and Financial Institutions</a>, John Wiley &amp; Sons, 2012.</li><li> <a href="http://www.siam.org/students/siuro/vol5/S01174.pdf">J. Leider: A Quantile Regression Study of Climate Change in Chicago, 1960-2010</a>, SIAM Undergraduate Research Online (SIURO) Vol. 5, 2012.</li><li> <a href="https://lvb.wiwi.hu-berlin.de/members/personalpages/wh">Publikationen, Vorträge und Papers von Wolfgang Härdle</a></li></ul>


Modellansatz 041

Prof. Dr. Wolfgang Härdle war im Rahmen des Workshop zu High Dimensional, High Frequency and Spatial Data in Karlsruhe und sprach mit Gudrun Thäter über sein Forschungsgebiet. Er befasst sich an der Humboldt-Universität zu Berlin mit der Bewertung von Risiken und ist am Lehrstuhl der Nachfolger von Ladislaw Bodjevich, der unter anderem für seine Arbeiten zum Gesetz der kleinen Zahlen berühmt geworden ist: Es sagt aus, dass auch wenn alle 37 Roulette-Zahlen gleich wahrscheinlich sind, nach 37 Würfen im Durchschnitt nur etwa 2/3 der Zahlen aufgetreten sind. Damit steht es nur scheinbar in gewissem Kontrast zum Gesetz der großen Zahlen, das bestimmt, wie die Auftrittshäufigkeit sich für viele Würfe der Gleichverteilung annähert. Das Flanken-Maß ist eine Eigenschaft von Profit and Loss (PnL, GuV)-Funktionen oder Zufallsvariablen, die die Dicke von Flanken oder Entferntheit von seltenen Ereignissen modelliert. Schon Ladislaw Bodjevich hat erkannt, dass das die Bewertung von Extremrisiken und wenige vorhandene Daten einen Widerspruch darstellt. Die Normalverteilung ist die Grenzverteilung gewichteter Zufallsgrößen, wenn der Grenzwert existiert, also bei vielen Ereignissen das Gesetz der großen Zahlen zum Einsatz kommen kann. Bei wenigen Ereignissen gelangt man zur Poisson-Verteilung. Obwohl sie theoretisch viele Prozesse gut beschreiben sollte, funktioniert die Normalverteilung in der Realität aus vielen Gründen oft schlechter als erwartet: Sich verändernde Prozesse können Mischverhältnisse von an sich normal-verteilten Bestandteilen verändern, ebenso kann sich die Volatilität bzw. die Streuung um den Erwartungswert über die Zeit verändern. Es kann aber auch eine vollkommene andere Verteilung vorliegen wie zum Beispiel die Extremwertverteilung, Weibull-Verteilung mit algebraisch abfallenden Tails oder der Pareto-Verteilung. Leider ist die stochastische Konvergenz von Extermwertverteilungen sehr schlecht, und erschwert so Vorhersagen und Bewertungen. So wurden strukturierte Finanzprodukte mit multivariaten Modellen und einer Normalverteilungsannahme viel zu vereinfacht modelliert. So waren CDO-Produkte daher vor der Finanzkrise ab 2007 viel zu billig und hatten einen beträchtlichen Anteil an der Krise. Die Risikobewertung ist aber nicht nur für die Bewertung von Katastrophen-Bonds für Versicherungen gegen Erdbeben wichtig, sondern auch für die Analyse von EEG von Kindern. Sie hilft aber auch den Risikofaktor Mensch im Sinne der Behaviour Finance zu verstehen.

Risikobewertung

Bei genauem Hinsehen finden wir die Naturwissenschaft und besonders Mathematik überall in unserem Leben, vom Wasserhahn über die automatischen Temporegelungen an Autobahnen, in der Medizintechnik bis hin zum Mobiltelefon. Woran die Forscher, Absolventen und Lehrenden in Karlsruhe gerade tüfteln, erfahren wir hier aus erster Hand.

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