<a href="http://www.joachim-breitner.de/">Joachim Breitner</a> veranstaltete im <a href="http://fablab-karlsruhe.de/">FabLab Karlsruhe</a> einen <a href="http://fablab-karlsruhe.de/nachrichten/138-eigene-tip-toi-produkte-basteln">Workshop</a> auf dem er unter anderem seinen <a href="http://www.joachim-breitner.de/blog/669-Ein_Tiptoi-Taschenrechner">Taschenrechner auf Papier</a> vorstellte. Den Rechner hat er mit einem speziellen <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Digitalstift">Digitalstift</a> realisiert, <a href="http://www.mikrocontroller.net/topic/214479">dessen genaue Funktionsweise analysiert wurde</a>. Im Workshop ging es speziell um den <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Tiptoi">Tiptoi-Stift</a>, der auf dem Papier ein fast unsichtbares Punktemuster analysiert. Dieses Punktemuster macht das Papier zu <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Digitales_Papier">digitalem Papier</a>. Hier werden immer im <a href="https://github.com/entropia/tip-toi-reveng/blob/master/docs/The_Code.pdf?raw=true">Code 16 Punkte zu einem Block</a> zusammengefasst, von denen die Punkte am linken und oberen Rand zur Erkennung, und die <a href="http://tinyurl.com/oid-decoder">restlichen neun Punkte die eigentliche Information als Zahl</a> mit Prüfbits beinhalten. Dabei entsprechen vier Punkte etwa einem Millimeter und daher sind die Muster, die sich auf den aktiven Bereichen wiederholen, mit dem Auge kaum zu erkennen. Die Funktionen des Stifts werden als GME-Dateien wie auf einen <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/USB-Stick">USB-Stick</a> kopiert, und diese konnten in einem längeren Prozess zum Großteil analysiert werden. Zunächst wurden die im freien <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Vorbis">Ogg Vorbis-Format</a> kodierten Tondateien gefunden, die über eine einfache <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Monoalphabetische_Substitution">Substitutions-Chiffre</a> verschleiert wurden. Im Folge der weiteren Analyse wurden die Programme zu den Papiermustern gefunden, und aus diesen konnte die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Maschinensprache">Maschinensprache</a> der Stifte im Großteil bestimmt werden. Das System reagiert auf gescannte Codes, und kann dann verschiedene Aktionen wie das Abspielen von Audio, Variablen setzen, Rechnungen durchführen und Variablen abfragen. Ein Rätsel verblieb, warum die berechneten Werte aus den Papiercodes nicht mit den Kennungen in den Programmen übereinstimmten. Dies konnte man durch Wechsel des Stifts in einen Debug-Modus durch Drücken der Minus-Taste beim Anschalten und anschließend der Plus-Taste nachvollziehen, denn dann liest der Stift die in der Maschinensprache verwendeten Codes auf Chinesisch vor. Zum Verständnis braucht man da nur eine <a href="http://www.nsonic.de/chinesisch/anfaenger/tag1/tag1.htm">Tabelle der chinesischen Zahlen von 1 bis 10</a>. Aber auch diese Zuordnung konnte inzwischen analysiert und gelöst werden. Damit können nun komplett eigene Seiten mit Papier-Code und zugehörigen GME-Programmen von jedem selbst erstellt werden, dazu wurde das <a href="http://tttool.entropia.de/">tttool</a> entwickelt, mit dem sowohl die Programme in einer speziellen Sprache, wie auch die zugehörigen Punktemuster erzeugt werden können. Das Erstellen druckbarer Seiten erfordert dann nur noch ein geeignetes Grafikprogramm und passende Hintergrundbilder, wie Joachim Breitner im Gespräch mit <a href="http://www.math.kit.edu/ianm4/~ritterbusch/de">Sebastian Ritterbusch</a> darlegt. <h1>Literatur und Zusatzinformationen</h1> <ul><li> <a href="http://tttool.entropia.de/">J.Breitner: tttool, Das Schweizer Taschenmesser für den Tiptoi-Bastler</a></li><li> <a href="https://lists.nomeata.de/mailman/listinfo/tiptoi">Mailingliste für das tttool</a></li><li> <a href="http://fablab-karlsruhe.de">FabLab Karlsruhe e.V.</a></li><li> <a href="https://entropia.de/Hauptseite">Entropia e.V. Karlsruhe</a></li></ul>

Modellansatz

Modellansatz 047

Joachim Breitner veranstaltete im FabLab Karlsruhe einen Workshop auf dem er unter anderem seinen Taschenrechner auf Papier vorstellte. Den Rechner hat er mit einem speziellen Digitalstift realisiert, dessen genaue Funktionsweise analysiert wurde. Im Workshop ging es speziell um den Tiptoi-Stift, der auf dem Papier ein fast unsichtbares Punktemuster analysiert. Dieses Punktemuster macht das Papier zu digitalem Papier. Hier werden immer im Code 16 Punkte zu einem Block zusammengefasst, von denen die Punkte am linken und oberen Rand zur Erkennung, und die restlichen neun Punkte die eigentliche Information als Zahl mit Prüfbits beinhalten. Dabei entsprechen vier Punkte etwa einem Millimeter und daher sind die Muster, die sich auf den aktiven Bereichen wiederholen, mit dem Auge kaum zu erkennen. Die Funktionen des Stifts werden als GME-Dateien wie auf einen USB-Stick kopiert, und diese konnten in einem längeren Prozess zum Großteil analysiert werden. Zunächst wurden die im freien Ogg Vorbis-Format kodierten Tondateien gefunden, die über eine einfache Substitutions-Chiffre verschleiert wurden. Im Folge der weiteren Analyse wurden die Programme zu den Papiermustern gefunden, und aus diesen konnte die Maschinensprache der Stifte im Großteil bestimmt werden. Das System reagiert auf gescannte Codes, und kann dann verschiedene Aktionen wie das Abspielen von Audio, Variablen setzen, Rechnungen durchführen und Variablen abfragen. Ein Rätsel verblieb, warum die berechneten Werte aus den Papiercodes nicht mit den Kennungen in den Programmen übereinstimmten. Dies konnte man durch Wechsel des Stifts in einen Debug-Modus durch Drücken der Minus-Taste beim Anschalten und anschließend der Plus-Taste nachvollziehen, denn dann liest der Stift die in der Maschinensprache verwendeten Codes auf Chinesisch vor. Zum Verständnis braucht man da nur eine Tabelle der chinesischen Zahlen von 1 bis 10. Aber auch diese Zuordnung konnte inzwischen analysiert und gelöst werden. Damit können nun komplett eigene Seiten mit Papier-Code und zugehörigen GME-Programmen von jedem selbst erstellt werden, dazu wurde das tttool entwickelt, mit dem sowohl die Programme in einer speziellen Sprache, wie auch die zugehörigen Punktemuster erzeugt werden können. Das Erstellen druckbarer Seiten erfordert dann nur noch ein geeignetes Grafikprogramm und passende Hintergrundbilder, wie Joachim Breitner im Gespräch mit Sebastian Ritterbusch darlegt.

Papierrechner

Sebastian Lerch befasst sich mit der Vorhersage von Extremereignissen, zum Beispiel bei <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Unwetter">Stürmen und extrem starken Regenfällen</a> und deren Auswirkung auf Fluten oder auch bei <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/B%C3%B6rsenkrach">Ausnahmeereignissen in der Finanzindustrie</a>. Das Dilemma ist dabei, dass die öffentliche Bewertung oft nur nach eventuell nicht vorhergesagten Katastrophen erfolgt, wie bei dem <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Erdbeben_von_L%E2%80%99Aquila_2009">Erdbeben von L’Aquila</a>, das sogar zur in erster Instanz <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Erdbeben_von_L%E2%80%99Aquila_2009#Prozess_gegen_Erdbebenexperten">Verurteilung von Wissenschaftlern</a> führte. Tatsächlich gibt es Fälle erfolgreicher <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Erdbebenvorhersage">Erdbebenvorhersage</a>, doch leider sind dies nur seltene Ereignisse. Die grundsätzliche Schwierigkeit liegt darin, ein angemessenes Modell für die Risikobewertung zu finden, auch wenn manche Ereignisse nur selten oder in bestimmter Umgebung sogar noch nie aufgetreten sind, und so kaum Daten vorliegen. Die Lösung liegt darin auf <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Probabilistische_Aussage">probabilistische Vorhersagen</a> zu setzen. Hier wird kein deterministischer fester Wert vorhergesagt, sondern die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Verteilungsfunktion">stochastische Verteilung</a>, in der man die Wahrscheinlichkeit für alle Ereignisse definiert. Verschiedene probabilistische Vorhersagen können mit Hilfe des <a href="http://www.eumetcal.org/resources/ukmeteocal/temp/msgcal/www/english/msg/ver_prob_forec/uos3b/uos3b_ko1.htm">Continuous Rank Probability Score (CRPS)</a> zu Beobachtungen verglichen und evaluiert werden. Die CRPS ist dabei ein Vertreter der <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Scoring_rule">Proper Scoring Rules</a>, da die wahre Verteilung diesen Score tatsächlich maximiert. Eine Herausforderung verbleibt die Frage nach einer geeigneten Vermittlung von probabilistischen Aussagen, wie sie uns in der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Niederschlagswahrscheinlichkeit">Regenwahrscheinlichkeit</a> täglich in der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Wettervorhersage">Wettervorhersage</a> begegnet, und leider selten richtig verstanden wird. <h1>Literatur und Zusatzinformationen</h1> <ul><li> <a href="http://www.nr.no/~thordis/files/Lerch2012.pdf">S. Lerch: Verification of probabilistic forecasts for rare and extreme events</a>, Diplomarbeit, 2012.</li><li> <a href="http://arxiv.org/pdf/1305.2026">S. Lerch, T. L. Thorarinsdottir: Comparison of nonhomogeneous regression models for probabilistic wind speed forecasting</a>, arXiv preprint arXiv:1305.2026, 2013.</li><li> <a href="http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.143.879&amp;rep=rep1&amp;type=pdf">T. Gneiting, A. E. Raftery: Strictly proper scoring rules, prediction, and estimation</a>, Journal of the American Statistical Association 102.477: 359-378, 2007.</li><li> <a href="http://www.nr.no/~thordis/files/verification.pdf">T. L. Thorarinsdottir, T. Gneiting, S. Lerch, N. Gissibl, N. Paths and pitfalls in prediction verification</a>, Vortrag Norges Bank, 2013.</li></ul>

Modellansatz 046

Sebastian Lerch befasst sich mit der Vorhersage von Extremereignissen, zum Beispiel bei Stürmen und extrem starken Regenfällen und deren Auswirkung auf Fluten oder auch bei Ausnahmeereignissen in der Finanzindustrie. Das Dilemma ist dabei, dass die öffentliche Bewertung oft nur nach eventuell nicht vorhergesagten Katastrophen erfolgt, wie bei dem Erdbeben von L’Aquila, das sogar zur in erster Instanz Verurteilung von Wissenschaftlern führte. Tatsächlich gibt es Fälle erfolgreicher Erdbebenvorhersage, doch leider sind dies nur seltene Ereignisse. Die grundsätzliche Schwierigkeit liegt darin, ein angemessenes Modell für die Risikobewertung zu finden, auch wenn manche Ereignisse nur selten oder in bestimmter Umgebung sogar noch nie aufgetreten sind, und so kaum Daten vorliegen. Die Lösung liegt darin auf probabilistische Vorhersagen zu setzen. Hier wird kein deterministischer fester Wert vorhergesagt, sondern die stochastische Verteilung, in der man die Wahrscheinlichkeit für alle Ereignisse definiert. Verschiedene probabilistische Vorhersagen können mit Hilfe des Continuous Rank Probability Score (CRPS) zu Beobachtungen verglichen und evaluiert werden. Die CRPS ist dabei ein Vertreter der proper Scoring Rules, da die wahre Verteilung diesen Score tatsächlich maximiert. Eine Herausforderung verbleibt die Frage nach einer geeigneten Vermittlung von probabilistischen Aussagen, wie sie uns in der Regenwahrscheinlichkeit täglich in der Wettervorhersage begegnet, und leider selten richtig verstanden wird.

Extremereignisse

Bei der stochastischen <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Analyse">Analyse</a> von <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Kaufverhalten">Kaufverhalten</a> konzentriert man sich besonders auf die Aspekte des Kaufzeitpunkts, der Produktwahl und der Kaufmenge, um im Wettbewerb einen Vorteil gegenüber der Konkurrenz zu erhalten. Kristina Cindric führt im Gespräch mit <a href="http://www.math.kit.edu/ianm4/~thaeter/de">Gudrun Thäter</a> aus, wie sie auf Basis <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Big_Data">großer Datenmengen</a> von <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Anonymisierung_und_Pseudonymisierung">anonymisierten</a> Vertragsabschlüssen über ein Jahr Analysen erstellt, Modelle entworfen, trainiert und die entstehenden <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Prognose">Prognosen</a> getestet hat. Die auftretenden <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Stochastik">stochastischen</a> <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Mathematisches_Modell">Modelle</a> können sehr vielseitig sein: So kann der Kaufzeitpunkt beispielsweise durch einen <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Stochastischer_Prozess">stochastischen Prozess</a> mit <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialverteilung">exponentieller Verteilung</a> modelliert werden, für die Produktwahl kann ein <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Markow-Kette">Markow-Prozess</a> die wahrscheinlichsten nächsten Käufe abbilden. Ein zentrales Konzept für die Analyse und das Training von Modellen ist dann die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Sch%C3%A4tzfunktion">Parameterschätzung</a>, die die tatsächliche Ausgestaltung der Modelle aus den Daten bestimmt. <h1>Literatur und Zusatzinformationen</h1> <ul><li> <a href="http://www.statistik.lmu.de/institut/lehrstuhl/semwiso/stochastische-prozesse/material/skript5.pdf">L. Fahrmeir, G. Raßer, T. Kneib: Stochastische Prozesse</a>, Institut für Statistik, Ludwig-Maximilians-Universität München, 2010.</li><li> <a href="http://books.google.de/books?id=415Nk0gUcCcC&amp;lpg=PP2&amp;dq=Ibe%2C%20O.%20C.%20(2009)%2C%20Markov%20Processes%20for%20Stochastic%20Modeling%2C%20Academic%20Press%2C%20Amsterdam.&amp;lr&amp;pg=PP2#v=onepage&amp;q&amp;f=false">O. C. Ibe: Markov Processes for Stochastic Modeling</a>, Academic Press, Amsterdam, 2009.</li><li> <a href="http://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&amp;arnumber=1274911">L. Yan, R. H. Wolniewicz, R. Dodier: Predicting Customer Behavior in Telecommunications</a>, IEEE Computer Society 19, 50-58, 2004.</li><li> <a href="http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0261517710001561">J. Xia, P. Zeephongsekul, D. Packer: Spatial and temporal modelling of tourist movements using Semi-Markov processes</a>, Tourism Management 32, 844-851, 2010.</li><li> <a href="http://publikationen.ub.uni-frankfurt.de/files/1080/EblingChristine.pdf">C. Ebling, Dynamische Aspekte im Kaufverhalten: Die Determinanten von Kaufzeitpunkt, Marken- und Mengenwahl</a>, Inaugural-Dissertation, Johann Wolfgang Goethe-Universität Frankfurt am Main, 2007.</li><li> <a href="http://www.fzi.de">Forschungszentrum Informatik (FZI)</a></li></ul>

Modellansatz 045

Bei der stochastischen Analyse von Kaufverhalten konzentriert man sich besonders auf die Aspekte des Kaufzeitpunkts, der Produktwahl und der Kaufmenge, um im Wettbewerb einen Vorteil gegenüber der Konkurrenz zu erhalten. Kristina Cindric führt im Gespräch mit Gudrun Thäter aus, wie sie auf Basis großer Datenmengen von anonymisierten Vertragsabschlüssen über ein Jahr Analysen erstellt, Modelle entworfen, trainiert und die entstehenden Prognosen getestet hat. Die auftretenden stochastischen Modelle können sehr vielseitig sein: So kann der Kaufzeitpunkt beispielsweise durch einen stochastischen Prozess mit exponentieller Verteilung modelliert werden, für die Produktwahl kann ein Markow-Prozess die wahrscheinlichsten nächsten Käufe abbilden. Ein zentrales Konzept für die Analyse und das Training von Modellen ist dann die Parameterschätzung, die die tatsächliche Ausgestaltung der Modelle aus den Daten bestimmt.

Kaufverhalten

<a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrie">Geometrie</a> und <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Analysis">Analysis</a> sind auf den ersten Blick zwei sehr unterschiedliche Disziplinen in der Mathematik. Wie sie jedoch wunderbar zusammenpassen, erläutert <a href="http://www.math.kit.edu/iana1/~lamm/de">Prof. Dr. Tobias Lamm </a> im Gespräch mit <a href="http://www.math.kit.edu/ianm4/~thaeter/de">Gudrun Thäter</a>. Ein klassisches Beispiel für die geometrische Analysis ist das <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Isoperimetrische_Ungleichung#Das_Problem_der_Dido">Problem der Dido</a>: Wie kann man bei festgelegtem Umfang ein möglichst großes Gebiet abstecken? Es geht also darum den <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Fl%C3%A4cheninhalt">Flächeninhalt</a> unter einer <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Nebenbedingung">Nebenbedingung</a> zu maximieren, und das ist ein typisches <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Variationsrechnung">Variationsproblem</a>, das stark von der gegebenen <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrie">Geometrie</a> abhängt. Ein anderes Beispiel sind <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Minimalfl%C3%A4che">Minimalflächen</a>, wie man sie beim <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Olympiastadion_M%C3%BCnchen">Olympiastadion in München</a> und <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Seifenblase">Seifenblasen</a> sehen kann. Überraschenderweise sind Minimalflächen nicht immer <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Eindeutigkeit">eindeutig</a>. Ein Weg dies zu analysieren geht über die Beschreibung des Problems durch <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Differentialgleichung">Partielle Differentialgleichungen</a>. Oft kann man über das <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Maximumprinzip_%28Mathematik%29">Maximumsprinzip</a> die Eindeutigkeit beweisen: Bei <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Linearit%C3%A4t">linearen</a> <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Elliptische_partielle_Differentialgleichung">elliptischen partiellen Differentialgleichungen</a> sagt das Prinzip aus, dass das Maximum entweder auf dem <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Rand_(Topologie)">Rand</a> angenommen wird oder <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Konstante_Funktion">konstant</a> ist. Betrachtet man nun die Differenz zweier angenommen unterschiedlicher Lösungen zu gleichen Randwerten, so folgt, dass die Differenz wegen der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Linearit%C3%A4t">Linearität</a> auch eine Lösung ist, und wegen des Maximumprinzips konstant 0 ist. Damit waren als Resultat dieses <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Widerspruchsbeweis">Widerspruchbeweises</a> die zwei Lösungen identisch. Bei allgemeineren, u.a. nicht-linearen, Problemstellungen muss dieses Prinzip nicht unbedingt gelten, und so kann es zu mehreren Lösungen zur gleichen Aufgabenstellung kommen. Aktuelle Forschungsbereiche in der geometrischen Analysis sind der mittlere Krümmungsfluss und die geometrische Evolutionsgleichung im Allgemeinen. Ebenso geht es um die Frage, mit welcher minimalen Regularität für die Anfangsdaten, noch eine Lösung rekonstruiert werden kann. Ein weiteres Forschungsgebiet sind die recht jungen <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Willmore-Energie">Willmore-Flächen</a>. Das Willmore-Funktional ist sehr eng verwandt zur <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Willmore-Energie">Plattengleichung</a>, d.h. der Approximation des Durchbiegens von Platten. Es hat aber auch Anwendungen in der Zellbiologie in der Modellierung der Form der Zellen. Letztlich kommt es auch in der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Allgemeine_Relativit%C3%A4tstheorie">allgemeinen Relativitätstheorie</a> zum Einsatz. Sehr aktuell ist der Beweis der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9-Vermutung">Poincaré-Vermutung</a>, die 2002 von <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Grigori_Jakowlewitsch_Perelman">Perelman</a> bewiesen werden konnte. <h1>Literatur und Zusatzinformationen</h1> <ul><li> <a href="http://www.math.kit.edu/iana1/~lamm/seite/lecturenotes/media/geometricvariationalproblems.pdf">T. Lamm: Geometric Variational Problems</a>, Vorlesung gehalten an der FU Berlin, 2007.</li><li> <a href="http://arxiv.org/pdf/0902.1488.pdf">H. Koch, T. Lamm: Geometric flows with rough initial data</a>, Asian Journal of Mathematics 16.2: 209-235, 2012.</li><li> <a href="http://arxiv.org/pdf/0903.1277.pdf">T. Lamm, J. Metzger, F. Schulze: Foliations of asymptotically flat manifolds by surfaces of Willmore type</a>, Mathematische Annalen 350.1: 1-78, 2011.</li></ul>

Modellansatz 044

Geometrie und Analysis sind auf den ersten Blick zwei sehr unterschiedliche Disziplinen in der Mathematik. Wie sie jedoch wunderbar zusammenpassen, erläutert Prof. Dr. Tobias Lamm im Gespräch mit Gudrun Thäter. Ein klassisches Beispiel für die geometrische Analysis ist das Problem der Dido: Wie kann man bei festgelegtem Umfang ein möglichst großes Gebiet abstecken? Es geht also darum den Flächeninhalt unter einer Nebenbedingung zu maximieren, und das ist ein typisches Variationsproblem, das stark von der gegebenen Geometrie abhängt. Ein anderes Beispiel sind Minimalflächen, wie man sie beim Olympiastadion in München und Seifenblasen sehen kann. Überraschenderweise sind Minimalflächen nicht immer eindeutig. Ein Weg dies zu analysieren geht über die Beschreibung des Problems durch Partielle Differentialgleichungen. Oft kann man über das Maximumsprinzip die Eindeutigkeit beweisen: Bei linearen elliptischen partiellen Differentialgleichungen sagt das Prinzip aus, dass das Maximum entweder auf dem Rand angenommen wird oder konstant ist. Betrachtet man nun die Differenz zweier angenommen unterschiedlicher Lösungen zu gleichen Randwerten, so folgt, dass die Differenz wegen der Linearität auch eine Lösung ist, und wegen des Maximumprinzips konstant 0 ist. Damit waren als Resultat dieses Widerspruchbeweises die zwei Lösungen identisch. Bei allgemeineren, u.a. nicht-linearen, Problemstellungen muss dieses Prinzip nicht unbedingt gelten, und so kann es zu mehreren Lösungen zur gleichen Aufgabenstellung kommen. Aktuelle Forschungsbereiche in der geometrischen Analysis sind der mittlere Krümmungsfluss und die geometrische Evolutionsgleichung im Allgemeinen. Ebenso geht es um die Frage, mit welcher minimalen Regularität für die Anfangsdaten, noch eine Lösung rekonstruiert werden kann. Ein weiteres Forschungsgebiet sind die recht jungen Willmore-Flächen. Das Willmore-Funktional ist sehr eng verwandt zur Plattengleichung, d.h. der Approximation des Durchbiegens von Platten. Es hat aber auch Anwendungen in der Zellbiologie in der Modellierung der Form der Zellen. Letztlich kommt es auch in der allgemeinen Relativitätstheorie zum Einsatz. Sehr aktuell ist der Beweis der Poincaré-Vermutung, die 2002 von Perelman bewiesen werden konnte.

Geometrische Analysis

Auch <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Evakuierungssimulation">Menschenströme</a> können mathematisch beschrieben und mit geeigneten Modellen auch simuliert werden. Damit können große Veranstaltungen im Vorfeld besser geplant und ausgelegt werden, damit Engpässe oder sogar <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Ungl%C3%BCck_bei_der_Loveparade_2010">Katastrophen wie bei der Love-Parade 2010</a> möglichst verhindert werden. Henrieke Benner hat dazu die Parameter für die Simulation von Fußgängern im Gegenstrom kalibriert und spricht mit Gudrun Thäter über die Verfahren, Herausforderungen und Erkenntnisse.Mathematisch betrachtet sie die Fußgänger in einem <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Mikroskopisch_und_makroskopisch">mikroskopisch</a>en Modell, wo jede Person als eigenes Objekt simuliert wird. Entsprechend der Situation wirken nun virtuelle <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Kraft">Kräfte</a> auf diese Objekte, so verhindert eine virtuelle Abstoßungskraft zwischen zwei Personen, dass diese zusammenstoßen. Die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/PTV_Planung_Transport_Verkehr#Produkte">betrachtete Simulation</a> wird durch eine Vielzahl von <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Parameter_%28Mathematik%29">Parametern</a> konfiguriert, die mit realen Experimenten <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Kalibrierung">kalibriert</a> werden müssen. Dies kann durch eine <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Optimierung_%28Mathematik%29">Optimierung</a> der Parameter gelöst werden, die die Simulation den Experimenten möglichst weitgehend annähert. <h1>Literatur und Zusatzinformationen</h1> <ul><li> <a href="http://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-37656-6">H.-J. Bungartz, S. Zimmer, M. Buchholz, D. Pflüger: Modellbildung und Simulation: Eine anwendungsorientierte Einführung</a>, Springer Verlag, 2013.</li><li> <a href="http://arxiv.org/pdf/0903.0149">U. Chattaraj, A. Seyfried, P. Chakroborty: Comparison of pedestrian fundamental diagram across cultures</a>, Advances in complex systems, 12(03), 393-405, 2009.</li><li> <a href="http://arxiv.org/pdf/0810.4587">A. Johansson, D. Helbing, P. K. Shukla: Specification of the social force pedestrian model by evolutionary adjustment to video tracking data</a>, Advances in complex systems, 10(supp02), 271-288, 2007.</li><li> <a href="http://www.epjdatascience.com/content/pdf/epjds7.pdf">D. Helbing, P. Mukerji: Crowd disasters as systemic failures: analysis of the Love Parade disaster</a>, EPJ Data Science 1:7, 2012.</li><li> <a href="http://vision-traffic.ptvgroup.com/de/produkte/ptv-viswalk/">PTV Viswalk Software</a></li></ul>

Modellansatz 043

Auch Menschenströme können mathematisch beschrieben und mit geeigneten Modellen auch simuliert werden. Damit können große Veranstaltungen im Vorfeld besser geplant und ausgelegt werden, damit Engpässe oder sogar Katastrophen wie bei der Love-Parade 2010 möglichst verhindert werden. Henrieke Benner hat dazu die Parameter für die Simulation von Fußgängern im Gegenstrom kalibriert und spricht mit Gudrun Thäter über die Verfahren, Herausforderungen und Erkenntnisse. Mathematisch betrachtet sie die Fußgänger in einem mikroskopischen Modell, wo jede Person als eigenes Objekt simuliert wird. Entsprechend der Situation wirken nun virtuelle Kräfte auf diese Objekte, so verhindert eine virtuelle Abstoßungskraft zwischen zwei Personen, dass diese zusammenstoßen. Die betrachtete Simulation wird durch eine Vielzahl von Parametern konfiguriert, die mit realen Experimenten kalibriert werden müssen. Dies kann durch eine Optimierung der Parameter gelöst werden, die die Simulation den Experimenten möglichst weitgehend annähert.

Fußgänger

<a href="http://www.uni-frankfurt.de/50278800/Zachhuber">Jonathan Zachhuber</a> war zum <a href="http://www.mathematik.uni-karlsruhe.de/iag3/~herrlich/seite/weihnachts-workshops/">12. Weihnachtsworkshop zur Geometrie und Zahlentheorie</a> zurück an seine <a href="http://www.math.kit.edu/iag3/">Alma Mater nach Karlsruhe</a> gekommen und sprach mit <a href="http://www.math.kit.edu/ianm4/~thaeter/de">Gudrun Thäter</a> über <a href="http://www.uni-frankfurt.de/50569555/PCMI.pdf">Teichmüllerkurven</a>. <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Kurve_%28Mathematik%29">Kurven</a> sind zunächst sehr elementare ein-dimensionale mathematische Gebilde, die über den <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl">komplexen Zahlen</a> gleich viel reichhaltiger erscheinen, da sie im Sinne der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Funktionentheorie">Funktionentheorie</a> als <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsche_Fl%C3%A4che">Riemannsche Fläche</a> verstanden werden können und manchmal faszinierende <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Algebraische_Topologie">topologische Eigenschaften</a> besitzen. Ein wichtiges Konzept ist dabei das Verkleben von Flächen. Aus einem Rechteck kann man durch Verkleben der gegenüberliegenden Seiten zu einem Torus gelangen (<a href="http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Torus_from_rectangle.gif">Animation von Kieff zum Verkleben, veröffentlicht als Public Domain</a>): <a href="http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Torus_from_rectangle.gif#mediaviewer/File:Torus_from_rectangle.gif"><img class="imgcenter" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/60/Torus_from_rectangle.gif" alt="Torus from rectangle von Kieff" title="Torus from rectangle von Kieff" /></a> <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Polynom">Polynome</a> in mehreren Variablen bieten eine interessante Art Kurven als Nullstellenmengen zu beschreiben: Die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Nullstelle">Nullstelle</a>n-<a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Menge_%28Mathematik%29">Menge</a> des Polynoms <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$p%28x%2Cy%29%3Dx%5E2%2By%5E2-1$&amp;sig=1857162f567186db01988ac4d10e93d6" alt="p(x,y)=x^2+y^2-1" title="p(x,y)=x^2+y^2-1" style="vertical-align: middle" /> ergibt über den reellen Zahlen den <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Einheitskreis">Einheitskreis</a>. Durch Ändern von <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Koeffizient">Koeffizienten</a> kann man die Kurve verformen, und so ist die Nullstellenmenge von <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$q%28x%2Cy%29%3D2x%5E2%2By%5E2-1$&amp;sig=7ee3966fcea936e5ff6c4a7e535393ef" alt="q(x,y)=2x^2+y^2-1" title="q(x,y)=2x^2+y^2-1" style="vertical-align: middle" /> eine <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Ellipse">Ellipse</a>. Über den komplexen Zahlen können diese einfachen Kurven dann aber auch als <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Mannigfaltigkeit">Mannigfaltigkeiten</a> interpretiert werden, die über <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Atlas_%28Mathematik%29">Karten</a> und <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Atlas_%28Mathematik%29">Atlanten</a> beschrieben werden können. Das ist so wie bei einer <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Stra%C3%9Fenkarte">Straßenkarte</a>, mit der wir uns lokal gut orientieren können. Im Umland oder anderen Städten braucht man weitere Karten, und alle Karten zusammen ergeben bei vollständiger Abdeckung den <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Stra%C3%9Fenatlas">Straßenatlas</a>. Auch wenn die entstehenden abstrakten Beschreibungen nicht immer anschaulich sind, so erleichtern die komplexen Zahlen den Umgang mit Polynomen in einem ganz wichtigen Punkt: Der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Algebra">Fundamentalsatz der Algebra</a> besagt, dass der Grad des Polynoms gleich der Anzahl der Nullstellen in ihrer <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Vielfachheit">Vielfachheit</a> ist. Also hat nun jedes nichtkonstante Polynom mindestens eine Nullstelle, und über den Grad des Polynoms wissen wir, wie viele Punkte sich in der Nullstellenmenge bewegen können, wenn wir an den Koeffizienten Veränderungen vornehmen. Eine gute Methode die entstehenden Flächen zu charakterisieren ist die Bestimmung möglicher geschlossener Kurven, und so gibt es beim Torus beispielsweise zwei unterschiedliche geschlossene Kurven. Die so enstehende <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalgruppe">Fundamentalgruppe</a> bleibt unter einfachen Deformationen der Flächen erhalten, und ist daher eine <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Invariante_%28Mathematik%29">Invariante</a>, die hilft die Fläche topologisch zu beschreiben. Eine weitere wichtige topologische Invariante ist das <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Geschlecht_%28Fl%C3%A4che%29">Geschlecht</a> der Fläche. Die Teichmüllerkurven entstehen nun z.B. durch das Verändern von einem Koeffizienten in den Polynomen, die uns durch Nullstellenmengen Kurven beschreiben- sie sind sozusagen Kurven von Kurven. Die entstehenden Strukturen kann man als <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Moduli_space">Modulraum</a> beschreiben, und so diesen Konstruktionen einen Parameterraum mit geometrischer Struktur zuordnen. Speziell entstehen Punkte auf Teichmüllerkurven gerade beim Verkleben von gegenüberliegenden parallelen Kanten eines Polygons; durch <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Scherung_%28Geometrie%29">Scherung</a> erhält man eine Familie von Kurven, die in seltenen Fällen selbst eine Kurve ist. Ein Beispiel ist das Rechteck, das durch Verkleben zu einem Torus wird, aber durch Scherung um ganz spezielle Faktoren zu einem ganz anderen Ergebnis führen kann. Die durch Verklebung entstandenen Flächen kann man als <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Translationsfl%C3%A4che">Translationsflächen</a> in den Griff bekommen. Hier liefert die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Symmetrie_%28Geometrie%29#Translationssymmetrie">Translationssymmetrie</a> die Methode um äquivalente Punkte zu identifizieren. Für die weitere Analyse werden dann auch <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Differentialform">Differentialformen</a> eingesetzt. Translationen sind aber nur ein Beispiel für mögliche Symmetrien, denn auch Rotationen können Symmetrien erzeugen. Da die Multiplikation in den komplexen Zahlen auch als Drehstreckung verstanden werden kann, sind hier Rotationen als komplexe <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Isomorphismus">Isomorphismen</a> ganz natürlich, und das findet man auch in den <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Einheitswurzel#Einheitswurzeln_in_den_komplexen_Zahlen">Einheitswurzeln</a> wieder. <h1>Literatur und Zusatzinformationen</h1> <ul><li> <a href="http://arxiv.org/abs/math/0609392">A. Zorich: Flat Surfaces</a>, Frontiers in Number Theory, Physics and Geometry, On Random Matrices, Zeta Functions, and Dynamical Systems, Ed. by P. Cartier, B. Julia, P. Moussa, and P. Vanhove. Vol. 1. Berlin: pp. 439–586, Springer-Verlag, 2006.</li><li> <a href="http://www.uni-frankfurt.de/50569555/PCMI.pdf">M. Möller: Teichmüller Curves, Mainly from the Viewpoint of Algebraic Geometry</a>, IAS/Park City Mathematics Series, 2011.</li><li> <a href="https://www1.uni-frankfurt.de/fb/fb12/mathematik/ag/personen/zachhuber/da_zachhuber.pdf">J. Zachhuber: Avoidance of <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$%5Cmathcal%7BL%7Din%5E1_3$&amp;sig=213af652d0bbc498b69931bf91754a9a" alt="\mathcal{L}in^1_3" title="\mathcal{L}in^1_3" style="vertical-align: middle" width="28" height="14" /> by Teichmüller Curves in a Stratum of <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$%5Cmathcal%7BM%7D_%7B4%2C2%7D$&amp;sig=021fd29ada7800d7a7d13232ee872cac" alt="\mathcal{M}_{4,2}" title="\mathcal{M}_{4,2}" style="vertical-align: middle" width="30" height="14" /></a>, Diplomarbeit an der Fakultät für Mathematik am Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2013.</li><li> <a href="http://www.math.harvard.edu/~ctm/papers/home/text/papers/bild/bild.pdf">C. McMullen: Billiards and Teichmüller curves on Hilbert modular surfaces</a>, Journal of the AMS 16.4, pp. 857–885, 2003.</li><li> <a href="http://www.math.harvard.edu/~ctm/papers/home/text/papers/prym/prym.pdf">C. McMullen: Prym varieties and Teichmüller curves</a>, Duke Math. J. 133.3, pp. 569–590, 2006.</li><li> <a href="http://www.math.harvard.edu/~ctm/papers/home/text/papers/abel/abel.pdf">C. McMullen: Dynamics of SL(2,R) over moduli space in genus two</a>, Ann. of Math. (2) 165, no. 2, 397–456, 2007.</li><li> <a href="http://www.math.harvard.edu/~ctm/papers/index.html">Weitere Paper von C. McMullen</a>, u.a. <a href="http://www.math.harvard.edu/~ctm/papers/home/text/papers/icm14/icm14.pdf">The mathematical work of Maryam Mirzakhani</a></li><li> Podcast: <a href="http://modellansatz.de/topologie">Modellansatz 040: Topologie mit Prof. Dr. Wolfgang Lück</a></li></ul>

Modellansatz 042

Jonathan Zachhuber war zum 12. Weihnachtsworkshop zur Geometrie und Zahlentheorie zurück an seine Alma Mater nach Karlsruhe gekommen und sprach mit Gudrun Thäter über Teichmüllerkurven. Kurven sind zunächst sehr elementare ein-dimensionale mathematische Gebilde, die über den komplexen Zahlen gleich viel reichhaltiger erscheinen, da sie im Sinne der Funktionentheorie als Riemannsche Fläche verstanden werden können und manchmal faszinierende topologische Eigenschaften besitzen. Ein wichtiges Konzept ist dabei das Verkleben von Flächen. Aus einem Rechteck kann man durch Verkleben der gegenüberliegenden Seiten zu einem Torus gelangen. Polynome in mehreren Variablen bieten eine interessante Art Kurven als Nullstellenmengen zu beschreiben: Die Nullstellen-Menge des Polynoms p(x,y)=x^2+y^2-1 ergibt über den reellen Zahlen den Einheitskreis. Durch Ändern von Koeffizienten kann man die Kurve verformen, und so ist die Nullstellenmenge von q(x,y)=2x^2+y^2-1 eine Ellipse. Über den komplexen Zahlen können diese einfachen Kurven dann aber auch als Mannigfaltigkeiten interpretiert werden, die über Karten und Atlanten beschrieben werden können. Das ist so wie bei einer Straßenkarte, mit der wir uns lokal gut orientieren können. Im Umland oder anderen Städten braucht man weitere Karten, und alle Karten zusammen ergeben bei vollständiger Abdeckung den Straßenatlas. Auch wenn die entstehenden abstrakten Beschreibungen nicht immer anschaulich sind, so erleichtern die komplexen Zahlen den Umgang mit Polynomen in einem ganz wichtigen Punkt: Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass der Grad des Polynoms gleich der Anzahl der Nullstellen in ihrer Vielfachheit ist. Also hat nun jedes nichtkonstante Polynom mindestens eine Nullstelle, und über den Grad des Polynoms wissen wir, wie viele Punkte sich in der Nullstellenmenge bewegen können, wenn wir an den Koeffizienten Veränderungen vornehmen. Eine gute Methode die entstehenden Flächen zu charakterisieren ist die Bestimmung möglicher geschlossener Kurven, und so gibt es beim Torus beispielsweise zwei unterschiedliche geschlossene Kurven. Die so enstehende Fundamentalgruppe bleibt unter einfachen Deformationen der Flächen erhalten, und ist daher eine Invariante, die hilft die Fläche topologisch zu beschreiben. Eine weitere wichtige topologische Invariante ist das Geschlecht der Fläche. Die Teichmüllerkurven entstehen nun z.B. durch das Verändern von einem Koeffizienten in den Polynomen, die uns durch Nullstellenmengen Kurven beschreiben- sie sind sozusagen Kurven von Kurven. Die entstehenden Strukturen kann man als Modulraum beschreiben, und so diesen Konstruktionen einen Parameterraum mit geometrischer Struktur zuordnen. Speziell entstehen Punkte auf Teichmüllerkurven gerade beim Verkleben von gegenüberliegenden parallelen Kanten eines Polygons; durch Scherung erhält man eine Familie von Kurven, die in seltenen Fällen selbst eine Kurve ist. Ein Beispiel ist das Rechteck, das durch Verkleben zu einem Torus wird, aber durch Scherung um ganz spezielle Faktoren zu einem ganz anderen Ergebnis führen kann. Die durch Verklebung entstandenen Flächen kann man als Translationsflächen in den Griff bekommen. Hier liefert die Translationssymmetrie die Methode um äquivalente Punkte zu identifizieren. Für die weitere Analyse werden dann auch Differentialformen eingesetzt. Translationen sind aber nur ein Beispiel für mögliche Symmetrien, denn auch Rotationen können Symmetrien erzeugen. Da die Multiplikation in den komplexen Zahlen auch als Drehstreckung verstanden werden kann, sind hier Rotationen als komplexe Isomorphismen ganz natürlich, und das findet man auch in den Einheitswurzeln wieder.

Teichmüllerkurven

<a href="https://lvb.wiwi.hu-berlin.de/members/personalpages/wh">Prof. Dr. Wolfgang Härdle</a> war im Rahmen des <a href="http://ts2014.math.kit.edu/">Workshop zu High Dimensional, High Frequency and Spatial Data</a> in Karlsruhe und sprach mit <a href="http://www.math.kit.edu/ianm4/~thaeter/de">Gudrun Thäter</a> über sein Forschungsgebiet. Er befasst sich an der <a href="http://www.hu-berlin.de/">Humboldt-Universität zu Berlin</a> mit der Bewertung von <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Risiko">Risiken</a> und ist am Lehrstuhl der Nachfolger von <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Ladislaus_von_Bortkewitsch">Ladislaw Bodjevich</a>, der unter anderem für seine Arbeiten zum <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Gesetz_der_kleinen_Zahlen">Gesetz der kleinen Zahlen</a> berühmt geworden ist: Es sagt aus, dass auch wenn alle 37 Roulette-Zahlen gleich wahrscheinlich sind, nach 37 Würfen im Durchschnitt nur etwa 2/3 der Zahlen aufgetreten sind. Damit steht es nur scheinbar in gewissem Kontrast zum <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Gesetz_der_gro%C3%9Fen_Zahlen">Gesetz der großen Zahlen</a>, das bestimmt, wie die Auftrittshäufigkeit sich für viele Würfe der Gleichverteilung annähert. Das Flanken-<a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Ma%C3%9Ftheorie">Maß</a> ist eine Eigenschaft von <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Gewinn-_und_Verlustrechnung">Profit and Loss (PnL, GuV)-Funktionen</a> oder <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Zufallsvariable">Zufallsvariablen</a>, die die Dicke von Flanken oder Entferntheit von seltenen Ereignissen modelliert. Schon Ladislaw Bodjevich hat erkannt, dass das die Bewertung von <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Extremwerttheorie">Extremrisiken</a> und wenige vorhandene Daten einen Widerspruch darstellt. Die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung">Normalverteilung</a> ist die Grenzverteilung gewichteter Zufallsgrößen, wenn der Grenzwert existiert, also bei vielen Ereignissen das Gesetz der großen Zahlen zum Einsatz kommen kann. Bei wenigen Ereignissen gelangt man zur <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Poisson-Verteilung">Poisson-Verteilung</a>. Obwohl sie theoretisch viele Prozesse gut beschreiben sollte, funktioniert die Normalverteilung in der Realität aus vielen Gründen oft schlechter als erwartet: Sich verändernde Prozesse können Mischverhältnisse von an sich normal-verteilten Bestandteilen verändern, ebenso kann sich die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Volatilit%C3%A4t">Volatilität</a> bzw. die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Streuung_%28Statistik%29">Streuung</a> um den <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Erwartungswert">Erwartungswert</a> über die Zeit verändern. Es kann aber auch eine vollkommene andere <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsverteilung">Verteilung</a> vorliegen wie zum Beispiel die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Extremwertverteilung">Extremwertverteilung</a>, <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Weibull-Verteilung">Weibull-Verteilung</a> mit algebraisch abfallenden Tails oder der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Pareto-Verteilung">Pareto-Verteilung</a>. Leider ist die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenz_%28Stochastik%29">stochastische Konvergenz</a> von Extermwertverteilungen sehr schlecht, und erschwert so <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Prognose">Vorhersagen und Bewertungen</a>. So wurden <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Strukturiertes_Finanzprodukt">strukturierte Finanzprodukte</a> mit <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Multivariate_Verfahren">multivariaten Modellen</a> und einer Normalverteilungsannahme viel zu vereinfacht modelliert. So waren <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Collateralized_Debt_Obligation">CDO</a>-Produkte daher vor der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Finanzkrise_ab_2007">Finanzkrise ab 2007</a> viel zu billig und hatten einen beträchtlichen Anteil an der Krise. Die Risikobewertung ist aber nicht nur für die Bewertung von <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Katastrophe">Katastrophen</a>-<a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Verzinsliches_Wertpapier">Bonds</a> für <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Versicherer">Versicherungen</a> gegen <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Erdbeben">Erdbeben</a> wichtig, sondern auch für die Analyse von <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Elektroenzephalografie">EEG</a> von Kindern. Sie hilft aber auch den <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Menschlicher_Fehler">Risikofaktor Mensch</a> im Sinne der <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Behavioral_economics">Behaviour Finance</a> zu verstehen. <h1>Literatur und Zusatzinformationen</h1> <ul><li> <a href="http://www.springer.com/statistics/business%2C+economics+%26+finance/book/978-3-642-16520-7">J. Franke, W. Härdle, C. Hafner: Statistics of Financial Markets</a>, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2004.</li><li> <a href="http://eu.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-1118269039.html">J. Hull: Risk Management and Financial Institutions</a>, John Wiley &amp; Sons, 2012.</li><li> <a href="http://www.siam.org/students/siuro/vol5/S01174.pdf">J. Leider: A Quantile Regression Study of Climate Change in Chicago, 1960-2010</a>, SIAM Undergraduate Research Online (SIURO) Vol. 5, 2012.</li><li> <a href="https://lvb.wiwi.hu-berlin.de/members/personalpages/wh">Publikationen, Vorträge und Papers von Wolfgang Härdle</a></li></ul>

Modellansatz 041

Prof. Dr. Wolfgang Härdle war im Rahmen des Workshop zu High Dimensional, High Frequency and Spatial Data in Karlsruhe und sprach mit Gudrun Thäter über sein Forschungsgebiet. Er befasst sich an der Humboldt-Universität zu Berlin mit der Bewertung von Risiken und ist am Lehrstuhl der Nachfolger von Ladislaw Bodjevich, der unter anderem für seine Arbeiten zum Gesetz der kleinen Zahlen berühmt geworden ist: Es sagt aus, dass auch wenn alle 37 Roulette-Zahlen gleich wahrscheinlich sind, nach 37 Würfen im Durchschnitt nur etwa 2/3 der Zahlen aufgetreten sind. Damit steht es nur scheinbar in gewissem Kontrast zum Gesetz der großen Zahlen, das bestimmt, wie die Auftrittshäufigkeit sich für viele Würfe der Gleichverteilung annähert. Das Flanken-Maß ist eine Eigenschaft von Profit and Loss (PnL, GuV)-Funktionen oder Zufallsvariablen, die die Dicke von Flanken oder Entferntheit von seltenen Ereignissen modelliert. Schon Ladislaw Bodjevich hat erkannt, dass das die Bewertung von Extremrisiken und wenige vorhandene Daten einen Widerspruch darstellt. Die Normalverteilung ist die Grenzverteilung gewichteter Zufallsgrößen, wenn der Grenzwert existiert, also bei vielen Ereignissen das Gesetz der großen Zahlen zum Einsatz kommen kann. Bei wenigen Ereignissen gelangt man zur Poisson-Verteilung. Obwohl sie theoretisch viele Prozesse gut beschreiben sollte, funktioniert die Normalverteilung in der Realität aus vielen Gründen oft schlechter als erwartet: Sich verändernde Prozesse können Mischverhältnisse von an sich normal-verteilten Bestandteilen verändern, ebenso kann sich die Volatilität bzw. die Streuung um den Erwartungswert über die Zeit verändern. Es kann aber auch eine vollkommene andere Verteilung vorliegen wie zum Beispiel die Extremwertverteilung, Weibull-Verteilung mit algebraisch abfallenden Tails oder der Pareto-Verteilung. Leider ist die stochastische Konvergenz von Extermwertverteilungen sehr schlecht, und erschwert so Vorhersagen und Bewertungen. So wurden strukturierte Finanzprodukte mit multivariaten Modellen und einer Normalverteilungsannahme viel zu vereinfacht modelliert. So waren CDO-Produkte daher vor der Finanzkrise ab 2007 viel zu billig und hatten einen beträchtlichen Anteil an der Krise. Die Risikobewertung ist aber nicht nur für die Bewertung von Katastrophen-Bonds für Versicherungen gegen Erdbeben wichtig, sondern auch für die Analyse von EEG von Kindern. Sie hilft aber auch den Risikofaktor Mensch im Sinne der Behaviour Finance zu verstehen.

Risikobewertung

<a href="http://www.him.uni-bonn.de/lueck/">Prof. Dr. Wolfgang Lück</a> befasst sich am <a href="http://www.him.uni-bonn.de/en/him-home/">HIM (Hausdorff Research Institute for Mathematics)</a> und dem <a href="http://www.math.uni-bonn.de/">Mathematisches Institut</a> der <a href="http://www3.uni-bonn.de/">Universität Bonn</a> mit der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Topologie_%28Mathematik%29">Topologie</a> von <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Mannigfaltigkeit">Mannigfaltigkeiten</a> und <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Fl%C3%A4che_%28Mathematik%29">Flächen</a> wie auf einem <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Torus">Torus</a> oder einer <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Kugel">Kugel</a>. Speziell für Kugeln und Kreise gibt es die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Sph%C3%A4re_%28Mathematik%29">Sphären-Notation <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$S%5E%7Bn-1%7D$&amp;sig=aff891d23016224cd55055bd38b00838" alt="S^{n-1}" title="S^{n-1}" style="vertical-align: middle" width="28" height="11" /></a>, die die Oberflächen des Objekts im <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$%5Cmathbb%7BR%7D%5En$&amp;sig=7b0f2e1bab79f0d2756b1e79cfd5a777" alt="\mathbb{R}^n" title="\mathbb{R}^n" style="vertical-align: middle" width="16" height="10" /> beschreiben. Damit ist <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$S%5E1$&amp;sig=abb5d56554d1449c2dec190e6231d176" alt="S^1" title="S^1" style="vertical-align: middle" width="14" height="11" /> eine <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Kreis">Kreislinie</a> und <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$S%5E2$&amp;sig=9e57129f5e47015c47925e62e5af33e1" alt="S^2" title="S^2" style="vertical-align: middle" width="14" height="11" /> die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Kugel">Kugeloberfläche</a>.Auch wenn Flächen lokal ähnliche Eigenschaften haben, kann die Situation global ganz anders aussehen: So unterscheidet sich die Vorstellung einer <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Flache_Erde">flachen Erde</a> lokal nicht von der Kugelform der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Erde">Erde</a>, global sieht es aber ganz anders aus. Ebenso kennen wir auch jetzt noch nicht sicher die <a href="http://www.uni-ulm.de/misc/veranstaltungen/41-jahrestag-2008/preistraeger/dr-rer-nat-sven-lustig.html">Topologie des Weltalls</a>. Dazu beschränkt sich unser <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/R%C3%A4umliches_Vorstellungsverm%C3%B6gen">Vorstellungsraum</a> oft auf <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/3-D">drei Dimensionen</a>, obwohl schon die relativistische Physik uns lehrt, unsere Umgebung als <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Raumzeit">Raumzeit in 4 Dimensionen</a> zu verstehen.Bei der Klassifikationen von Flächen auf unterschiedlichen Körpern verwendet man <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Hom%C3%B6omorphismus">Homöomorphismen</a> um ähnliche Flächen einander zuzuordnen, und letztlich unterscheiden sich die Flächenklassen dann nur noch durch die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Geschlecht_%28Fl%C3%A4che%29">Anzahl der Löcher bzw. dem Geschlecht</a>, was dann auch die Eigenschaften der Flächen bestimmt. Ein Weg das Geschlecht der Fläche zu bestimmen ist die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Triangulation_%28Fl%C3%A4che%29">Triangularisierung</a>, eine andere Möglichkeit bietet die Analyse des <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Spektrum_%28Operatortheorie%29">Spektrums eines Operators</a> wie dem <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Laplace-Operator">Laplace-Operators</a>, das auch in der Topologie von <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Graphentheorie">Graphen</a> zum Einsatz kommen kann.Ein Beispiel für die Anwendung des Laplace-Operators ist die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/W%C3%A4rmeleitungsgleichung">Wärmeleitungsgleichung</a>, die zwar die lokalen Eigenschaften des <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/W%C3%A4rme%C3%BCbertragung">Wärmetransport</a>s beschreibt, jedoch das Wärmegleichgewicht nach unendlicher Zeit die globalen Zusammenhänge beinhaltet. Ein wichtiger Begriff ist hier der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Integraloperator#Tensorprodukt-Integralkern">Integralkern</a>, der hilft Lösungen durch <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Integraloperator">Integraloperatoren</a> darzustellen.Ein wichtiger mathematischer Begriff ist dabei der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Lp-Raum#Der_Hilbertraum_L2"><img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$L%5E2$&amp;sig=9a7bd24dad7cefb1990db53f44cd4b3b" alt="L^2" title="L^2" style="vertical-align: middle" width="14" height="11" />-Funktionenraum</a>, der über die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Fourier-Transformation">Fourier-Transformation</a> auf bestimmten Gebieten mit dem <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Folgenraum#.E2.84.93.C2.A0p"><img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$l%5E2$&amp;sig=6da40aaefe70bdbd3ab86c854fa82865" alt="l^2" title="l^2" style="vertical-align: middle" width="9" height="11" />-Folgenraum</a> identifiziert werden kann, und man dadurch auf Lösungen von <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Differentialgleichung">partiellen Differentialgleichungen</a> schließen kann.Besonderes Interesse liegt in der Topologie auf <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Invariante_%28Mathematik%29">Invarianten</a>, wie der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalgruppe">Fundamentalgruppe</a>, mit der man auch den <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Algebra">Fundamentalsatz der Algebra</a> beweisen kann. Ein weiteres Beispiel für eine Invariante ist die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Windungszahl">Windungszahl</a>, die gerade in der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Funktionentheorie">Funktionentheorie</a> zum <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Residuensatz">Residuensatz</a> und effizienten Integralberechnungsmethoden führt.Dabei entstehen oft nicht <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Kommutativgesetz">kommutative Verknüpfungen</a>, wie man es zum Beispiel von der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Matrizenmultiplikation">Matrizenmultiplikation</a> oder den <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Symmetriegruppe">Symmetriegruppen</a> kennen kann.Ein elementarer Einstieg in die Topologie ist auch über die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Knotentheorie">Knotentheorie</a> möglich, wo ebenso <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Knotentheorie#Knoteninvarianten">Knoten-Invarianten</a> gefunden werden können, und über zum Beispiel <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Jones-Polynom">Jones-Polynome</a> klassifiziert werden können.Im weiteren Gespräch geht es um Themen wie die unterschiedlichen Bilder der Mathematik in Gesellschaft, Schule und Universität, die Bedeutung der Mathematik für Gesellschaft, die Ausbildung für Industrie und das Lehramt, und über den Stand und Möglichkeiten der Gleichberechtigung und Förderung von Frauen in der Wissenschaft.<h1>Literatur und Zusatzinformationen</h1> <ul><li> <a href="http://131.220.77.52/lueck/data/karlsruhe141204.pdf">W. Lück: Was und wie zählt man im Alltag und in der modernen Mathematik?</a> Vortrag im Kolloquium zur Didaktik der Mathematik, Karlsruhe, Dezember 2014.</li><li> <a href="http://www.springer.com/mathematics/geometry/book/978-3-528-03218-0">W. Lück: Algebraische Topologie, Homologie und Mannnigfaltigkeiten</a>, Vieweg Spektrum, 2005.</li><li> <a href="http://131.220.77.52/lueck/data/lueck_Transformation_Groups_and_Algebraic_K-theory.pdf">W. Lück: Transformation Groups and Algebraic K-Theory</a>, Lecture Notes in Mathematics, 1989.</li><li> <a href="http://131.220.77.52/lueck/publications.php">Publikationen von Wolgang Lück</a></li><li> <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Wolfgang_L%C3%BCck">Wolfgang Lück in der Wikipedia</a></li></ul>

Modellansatz 040

Prof. Dr. Wolfgang Lück befasst sich am HIM (Hausdorff Research Institute for Mathematics) und dem Mathematisches Institut der Universität Bonn mit der Topologie von Mannigfaltigkeiten und Flächen wie auf einem Torus oder einer Kugel. Speziell für Kugeln und Kreise gibt es die Sphären-Notation S^{n-1}, die die Oberflächen des Objekts im \mathbb{R}^n beschreiben. Damit ist S^1 eine Kreislinie und S^2 die Kugeloberfläche. Auch wenn Flächen lokal ähnliche Eigenschaften haben, kann die Situation global ganz anders aussehen: So unterscheidet sich die Vorstellung einer flachen Erde lokal nicht von der Kugelform der Erde, global sieht es aber ganz anders aus. Ebenso kennen wir auch jetzt noch nicht sicher die Topologie des Weltalls. Dazu beschränkt sich unser Vorstellungsraum oft auf drei Dimensionen, obwohl schon die relativistische Physik uns lehrt, unsere Umgebung als Raumzeit in 4 Dimensionen zu verstehen. Bei der Klassifikationen von Flächen auf unterschiedlichen Körpern verwendet man Homöomorphismen um ähnliche Flächen einander zuzuordnen, und letztlich unterscheiden sich die Flächenklassen dann nur noch durch die Anzahl der Löcher bzw. dem Geschlecht, was dann auch die Eigenschaften der Flächen bestimmt. Ein Weg das Geschlecht der Fläche zu bestimmen ist die Triangularisierung, eine andere Möglichkeit bietet die Analyse des Spektrums eines Operators wie dem Laplace-Operators, das auch in der Topologie von Graphen zum Einsatz kommen kann. Ein Beispiel für die Anwendung des Laplace-Operators ist die Wärmeleitungsgleichung, die zwar die lokalen Eigenschaften des Wärmetransports beschreibt, jedoch das Wärmegleichgewicht nach unendlicher Zeit die globalen Zusammenhänge beinhaltet. Ein wichtiger Begriff ist hier der Integralkern, der hilft Lösungen durch Integraloperatoren darzustellen. Ein wichtiger mathematischer Begriff ist dabei der L^2-Funktionenraum, der über die Fourier-Transformation auf bestimmten Gebieten mit dem l^2-Folgenraum identifiziert werden kann, und man dadurch auf Lösungen von partiellen Differentialgleichungen schließen kann. Besonderes Interesse liegt in der Topologie auf Invarianten, wie der Fundamentalgruppe, mit der man auch den Fundamentalsatz der Algebra beweisen kann. Ein weiteres Beispiel für eine Invariante ist die Windungszahl, die gerade in der Funktionentheorie zum Residuensatz und effizienten Integralberechnungsmethoden führt. Dabei entstehen oft nicht kommutative Verknüpfungen, wie man es zum Beispiel von der Matrizenmultiplikation oder den Symmetriegruppen kennen kann. Ein elementarer Einstieg in die Topologie ist auch über die Knotentheorie möglich, wo ebenso Knoten-Invarianten gefunden werden können, und über zum Beispiel Jones-Polynome klassifiziert werden können. Im weiteren Gespräch geht es um Themen wie die unterschiedlichen Bilder der Mathematik in Gesellschaft, Schule und Universität, die Bedeutung der Mathematik für Gesellschaft, die Ausbildung für Industrie und das Lehramt, und über den Stand und Möglichkeiten der Gleichberechtigung und Förderung von Frauen in der Wissenschaft.

Topologie

Auf den <a href="http://blogs.helmholtz.de/augenspiegel/2014/07/augenspiegel-27-14/">Vorschlag von Henning Krause</a> verbreiteten viele Forschende unter dem <a href="https://twitter.com/search?q=%231TweetForschung">Hashtag #1TweetForschung</a> ihr Forschungsthema in Kurzform. So auch <a href="https://twitter.com/lorenzadlung">Lorenz Adlung</a>, der in der Abteilung <a href="http://www.dkfz.de/de/systembiologie/index.php">Systembiologie der Signaltransduktion</a> am <a href="http://www.dkfz.de/de/">Deutschen Krebsforschungszentrum</a> in <a href="http://www.heidelberg.de/">Heidelberg</a> die mathematische Modellbildung für biologische Prozesse erforscht. Bei der Anwendung einer <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Chemotherapie">Chemotherapie</a> leiden <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Krebs_%28Medizin%29">Krebspatienten</a> oft unter <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/An%C3%A4mie">Blutarmut</a>. Hier kann neben der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Bluttransfusion">Bluttransfusion</a> das <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Erythropoetin">Hormon Erythropoetin, kurz EPO,</a> helfen, da es die körpereigene Erzeugung von <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Erythrozyt">roten Blutkörperchen (Erythrozyten)</a> unterstützt. Leider ist <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Erythropoetin_als_Dopingmittel">EPO als Dopingmittel</a> bekannt, und um dem <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Doping">Doping</a> noch deutlicher Einhalt zu gebieten, wurde im November 2014 in Deutschland ein <a href="http://www.bmi.bund.de/SharedDocs/Kurzmeldungen/DE/2014/11/entwurf-des-anti-doping-gesetzes-vorgelegt.html">Entwurf eines Anti-Doping-Gesetz</a> vorgelegt. Trotz gängigem Einsatz und erprobter Wirkung von EPO ist die genaue Wirkung von EPO auf Krebszellen nicht bekannt. Daher verfolgt Lorenz Adlung den Ansatz der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Systembiologie">Systembiologie</a>, um im Zusammenwirken von <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Systembiologie#Mathematik_und_Modellierung">Modellbildung und Mathematik</a>, <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Biologie">Biologie</a> und <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Computersimulation">Simulationen</a> sowohl qualitativ und quantitativ analysieren und bewerten zu können. Vereinfacht sind rote Blutkörperchen kleine <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Sauerstoff">Sauerstoff</a>-transportierende Säckchen aus <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/H%C3%A4moglobin">Hämoglobin</a>, die auch die rote Farbe des <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Blut">Blut</a>s verursachen. Sie stammen ursprünglich aus <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Stammzelle">Stammzellen</a>, aus denen sich im <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Differenzierung_%28Biologie%29">Differenzierungs-Prozess</a> <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Progenitorzelle">Vorläuferzellen bzw. Progenitorzellen</a> bilden, die wiederum durch weitere Spezialisierung zu roten Blutkörperchen werden. Da es nur wenige Stammzellen gibt, aus denen eine unglaubliche große Anzahl von <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Trillion">Trillionen</a> von Blutkörperchen werden müssen, gibt es verschiedene Teilungs- bzw. <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Zellproliferation">Proliferationsprozesse</a>. Das Ganze ergibt einen sehr komplexen Prozess, dessen Verständnis zu neuen Methoden zur Vermehrung von roten Blutkörperchen führen können. Den durch Differenzierung und Proliferation gekennzeichnete Prozess kann man mathematisch beschreiben. Eine zentrale Ansichtsweise in der Systembiologie der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Signaltransduktion">Signaltransduktion</a> ist, Zellen als <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Datenverarbeitung">informationsverarbeitende Objekte</a> zu verstehen, die zum Beispiel auf die Information einer höheren EPO-Konzentration in der Umgebung reagieren. Von diesem Ansatz werden durch Messungen Modelle und Parameter bestimmt, die das Verhalten angemessen beschreiben können. Diese Modelle werden in Einklang mit bekannten Prozessen auf molekularer Ebene gebracht, um mehr über die Abläufe zu lernen. Die erforderlichen quantitativen Messungen basieren sowohl auf manuellem Abzählen unter dem Mikroskop, als auch der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Durchflusszytometrie">Durchflusszytometrie</a>, bei der durch Streuung von Laserlicht an Zellen durch Verwendung von Markern sogar Aussagen über die Zelloberflächen getroffen werden können. Zusätzlich kann mit der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Massenspektrometrie">Massenspektrometrie</a> auch das Innere von Zellen ausgemessen werden. In diesem Anwendungsfall werden die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Mathematisches_Modell">mathematischen Modelle</a> in der Regel durch gekoppelte <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Gew%C3%B6hnliche_Differentialgleichung">gewöhnliche Differenzialgleichungen</a> beschrieben, die Zell- oder Proteinkonzentrationen über die Zeit beschreiben. Die Differenzialgleichungen und deren Parameter werden dabei sowohl mit Messungen <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Kalibrierung">kalibriert</a>, als auch mit den Kenntnissen in der Molekularbiologie in Einklang gebracht. Die Anzahl der Parameter ist aber oft zu hoch, um naiv auf geeignete zu den Messungen passende Werte zu gelangen. Daher wird unter anderem das <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Latin_hypercube_sampling">Latin Hypercube Sampling</a> verwendet, um schnell nahe sinnvollen Parameterwerten zu gelangen, die durch <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Gradient_%28Mathematik%29">gradienten-basierte</a> <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Optimierung_%28Mathematik%29">Optimierungsverfahren</a> verbessert werden können. Die Basis für diese Art von Optimierungsverfahren ist das <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren">Newton-Verfahren</a>, mit dem man Nullstellen von Funktionen finden kann. Ein wichtiger Aspekt im Umgang mit Messergebnissen ist die Berücksichtigung von <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Messabweichung">Messfehlern</a>, die auch vom Wert der Messung abhängig verstanden werden muss- denn nahe der Messgenauigkeit oder der Sättigung können die relativen Fehler extrem groß werden. Die Bestimmung der Modellparameter ist schließlich auch ein <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Parameterinferenzproblem">Parameteridentifikationsproblem</a>, wo insbesondere durch eine <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Sensitivit%C3%A4tsanalyse">Sensitivitätsanalyse</a> auch der Einfluss der geschätzten Parameter bestimmt werden kann. Sowohl die Parameter als auch die Sensitivitäten werden mit den biologischen Prozessen analysiert, ob die Ergebnisse stimmig sind, oder vielleicht auf neue Zusammenhänge gedeuten werden können. Hier ist die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Hauptkomponentenanalyse">Hauptkomponentenanalyse</a> ein wichtiges Werkzeug, um zentrale beeinflussende Faktoren erfassen zu können. Ein wichtiges Ziel der Modellbildung ist die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Numerische_Simulation">numerische Simulation</a> von Vorgängen, die als digitale Experimente sich zu einem eigenen Bereich der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Experiment">experimentellen Forschung</a> entwickelt haben. Darüber hinaus ermöglicht das digitale Modell auch die <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Optimal_design">optimale Planung von Experimenten</a>, um bestimmte Fragestellungen möglichst gut untersuchen zu können. Die Umsetzung auf dem Computer erfolgt unter anderem mit <a href="http://de.mathworks.com/">Matlab</a>, <a href="http://www.r-project.org/">R (The R Project for Statistical Computing)</a> und mit der spezialisierten und freien Software <a href="https://bitbucket.org/d2d-development/d2d-software/wiki/Home">D2D - Data to Dynamics</a>.<h1>Literatur und Zusatzinformationen</h1> <ul><li> <a href="http://pubs.acs.org/doi/abs/10.1021/pr5006923">M. Boehm, L. Adlung, M. Schilling, S. Roth, U. Klingmüller, W. Lehmann: Identification of Isoform-Specific Dynamics in Phosphorylation-Dependent STAT5 Dimerization by Quantitative Mass Spectrometry and Mathematical Modeling</a>, Journal of Proteome Research, American Chemical Society, 2014. <a href="http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/25333863">(PubMed)</a></li><li> <a href="https://www.systembiologie.de/lw_resource/datapool/_items/item_3/systembiologie_07.pdf">Studium der Systembiologie</a></li><li> <a href="https://bitbucket.org/d2d-development/d2d-software">D2D-Software</a></li><li> <a href="http://www.springer.com/978-3-642-37785-3">L. Adlung, C. Hopp, A. Köthe, N. Schnellbächer, O. Staufer: Tutorium Mathe für Biologen</a>, Springer Spektrum, 2014.</li><li> <a href="http://www.sciencemag.org/content/346/6205/47/suppl/DC1">Science: NextGen Voices zur globalen wissenschaftlichen Zusammenarbeit- mit Lorenz Adlung</a></li><li> <a href="https://twitter.com/LorenzAdlung">Lorenz Adlung auf Twitter</a></li><li> <a href="http://amzn.to/1pSn7wK">L. Adlung, et. al: Synbio meets Poetry</a>, CreateSpace, 2013.</li><li> Kollaborationspartner: U.a. <a href="http://nibelung.bioquant.uni-heidelberg.de/Welcome.html">Thomas Höfer, Heidelberg</a>, <a href="http://webber.physik.uni-freiburg.de/~jeti/">Jens Timmer, Freiburg i. B.</a>, <a href="http://www.helmholtz-muenchen.de/icb/index.html">Fabian Theis, München</a></li><li> <a href="https://resonator-podcast.de/2013/res015-dkfz-forscher-christof-von-kalle/">Resonator-Podcast 015: DKFZ-Forscher Christof von Kalle</a></li><li> <a href="https://resonator-podcast.de/2013/res014-das-dkfz-in-heidelberg/">Resonator-Podcast 014: Das DKFZ in Heidelberg</a></li><li> <a href="http://omegataupodcast.net/2011/06/69-zellbiologie-1-grundlagen/">Omega Tau-Podcast 069: Grundlagen der Zellbiologie</a></li><li> <a href="http://omegataupodcast.net/2011/07/72-zellbiologie-2-forschung/">Omega Tau-Podcast 072: Forschung in der Zellbiologie</a></li><li> <a href="http://www.konscience.de/2014/08/kns024-wie-kam-das-bloss-durch-die-ethikkommission/#t=48:41.998">Konscience-Podcast 024, Kapitel 5: Das Hochlandgen</a> aus "Wie kam das bloß durch die Ethikkommission?"</li></ul>

Modellansatz 039

Auf den Vorschlag von Henning Krause verbreiteten viele Forschende unter dem Hashtag #1TweetForschung ihr Forschungsthema in Kurzform. So auch Lorenz Adlung, der in der Abteilung Systembiologie der Signaltransduktion am Deutschen Krebsforschungszentrum in Heidelberg die mathematische Modellbildung für biologische Prozesse erforscht. Bei der Anwendung einer Chemotherapie leiden Krebspatienten oft unter Blutarmut. Hier kann neben der Bluttransfusion das Hormon Erythropoetin, kurz EPO, helfen, da es die körpereigene Erzeugung von roten Blutkörperchen (Erythrozyten) unterstützt. Leider ist EPO als Dopingmittel bekannt, und um dem Doping noch deutlicher Einhalt zu gebieten, wurde im November 2014 in Deutschland ein Entwurf eines Anti-Doping-Gesetz vorgelegt. Trotz gängigem Einsatz und erprobter Wirkung von EPO ist die genaue Wirkung von EPO auf Krebszellen nicht bekannt. Daher verfolgt Lorenz Adlung den Ansatz der Systembiologie, um im Zusammenwirken von Modellbildung und Mathematik, Biologie und Simulationen sowohl qualitativ und quantitativ analysieren und bewerten zu können. Vereinfacht sind rote Blutkörperchen kleine Sauerstoff-transportierende Säckchen aus Hämoglobin, die auch die rote Farbe des Bluts verursachen. Sie stammen ursprünglich aus Stammzellen, aus denen sich im Differenzierungs-Prozess Vorläuferzellen bzw. Progenitorzellen bilden, die wiederum durch weitere Spezialisierung zu roten Blutkörperchen werden. Da es nur wenige Stammzellen gibt, aus denen eine unglaubliche große Anzahl von Trillionen von Blutkörperchen werden müssen, gibt es verschiedene Teilungs- bzw. Proliferationsprozesse. Das Ganze ergibt einen sehr komplexen Prozess, dessen Verständnis zu neuen Methoden zur Vermehrung von roten Blutkörperchen führen können. Den durch Differenzierung und Proliferation gekennzeichnete Prozess kann man mathematisch beschreiben. Eine zentrale Ansichtsweise in der Systembiologie der Signaltransduktion ist, Zellen als informationsverarbeitende Objekte zu verstehen, die zum Beispiel auf die Information einer höheren EPO-Konzentration in der Umgebung reagieren. Von diesem Ansatz werden durch Messungen Modelle und Parameter bestimmt, die das Verhalten angemessen beschreiben können. Diese Modelle werden in Einklang mit bekannten Prozessen auf molekularer Ebene gebracht, um mehr über die Abläufe zu lernen. Die erforderlichen quantitativen Messungen basieren sowohl auf manuellem Abzählen unter dem Mikroskop, als auch der Durchflusszytometrie, bei der durch Streuung von Laserlicht an Zellen durch Verwendung von Markern sogar Aussagen über die Zelloberflächen getroffen werden können. Zusätzlich kann mit der Massenspektrometrie auch das Innere von Zellen ausgemessen werden. In diesem Anwendungsfall werden die mathematischen Modelle in der Regel durch gekoppelte gewöhnliche Differenzialgleichungen beschrieben, die Zell- oder Proteinkonzentrationen über die Zeit beschreiben. Die Differenzialgleichungen und deren Parameter werden dabei sowohl mit Messungen kalibriert, als auch mit den Kenntnissen in der Molekularbiologie in Einklang gebracht. Die Anzahl der Parameter ist aber oft zu hoch, um naiv auf geeignete zu den Messungen passende Werte zu gelangen. Daher wird unter anderem das Latin Hypercube Sampling verwendet, um schnell nahe sinnvollen Parameterwerten zu gelangen, die durch gradienten-basierte Optimierungsverfahren verbessert werden können. Die Basis für diese Art von Optimierungsverfahren ist das Newton-Verfahren, mit dem man Nullstellen von Funktionen finden kann. Ein wichtiger Aspekt im Umgang mit Messergebnissen ist die Berücksichtigung von Messfehlern, die auch vom Wert der Messung abhängig verstanden werden muss- denn nahe der Messgenauigkeit oder der Sättigung können die relativen Fehler extrem groß werden. Die Bestimmung der Modellparameter ist schließlich auch ein Parameteridentifikationsproblem, wo insbesondere durch eine Sensitivitätsanalyse auch der Einfluss der geschätzten Parameter bestimmt werden kann. (...)

Systembiologie

Ein <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Graph_%28Graphentheorie%29">Graph</a> ist eine Menge von <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Knoten_%28Graphentheorie%29">Knoten</a> und <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Kante_%28Graphentheorie%29">Kanten</a> zwischen diesen Knoten. Man unterscheidet zwischen <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Gerichteter_Graph">gerichteten Graphen</a>, wo Einbahnstraßen darstellbar sind, oder den ungerichteten Graphen, wo Beziehungen zwischen zwei Knoten immer beidseitig sind. Beispiele sind die graphische Darstellung von Beziehungen in einem <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Soziales_Netzwerk_%28Soziologie%29s">sozialen Netz</a> oder <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Stra%C3%9Fennetz">Straßennetze</a>, für deren Verarbeitung das Forschungsgebiet von <a href="http://algo2.iti.kit.edu/christian.schulz.php">Christian Schulz</a> immer bedeutender wird, wie wir in seinem Gespräch mit <a href="http://www.math.kit.edu/ianm4/~thaeter/de">Gudrun Thäter</a> erfahren.Eine wichtige Aufgabe im Umgang mit Graphen ist die Aufteilung (oder fachsprachlich <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Graphpartitionierung">Partitionierung</a>), von Graphen in kleinere Teile. Dies kommt z.B. der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Parallele_Programmierung">Parallelisierung</a> der Arbeit auf den Graphen zugute, und ist unumgänglich, wenn Graphen eine Größe haben, die nicht mehr von einem Prozessor bearbeitet werden kann. Ein wichtiges Merkmal ist hier, die Aufteilung möglichst gleichmäßig vorzunehmen, damit die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Amdahlsches_Gesetz">Aufteilung von z.B. Rechenzeit gleichmäßig</a> erfolgt, und gleichzeitig wenig Kommunikation zwischen der Bearbeitung der Einzelteile erforderlich ist. Es geht um eine möglichst gute <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Skalierbarkeit">Skalierbarkeit</a> der Graphverarbeitung.Ein wichtiges Anwendungsproblem ist die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Routenplaner">Routenplanung</a>, bei der zwischen zwei Punkten auf der Erde die zeitlich kürzeste Verbindung berechnet werden soll. In der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Informatik">Informatik</a> ist der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Dijkstra-Algorithmus">Dijkstra-Algorithmus</a> der passende Basis-Algorithmus für diese Aufgabe, doch er ist für große Graphen in seiner ursprünglichen Form sehr ineffizient. In Kombination mit einer passenden Graphpartitionierung und Algorithmen kann man das Verfahren deutlich effizienter ausführen und beschleunigen.Ein klassisches Verfahren zur Aufteilung ist das Mehrschichtverfahren über die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Spectral_clustering#Laplace-Matrizen">Laplace-Matrix</a>, wo ausgenutzt wird, dass zwischen den <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem">Eigenwerten der Matrix</a> und der Schnittstruktur des Graphen enge Zusammenhänge bestehen. Dieses Verfahren wurde zum <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Graphpartitionierung#Multilevel-Partitionierung">Mehrschichtverfahren für Graphen</a> weiterentwickelt, bei dem in einer sogenannten Kontraktion benachbarte Knoten und parallele Kanten jeweils zusammengeführt werden, und der Graph zu einem kleinen und <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Kantengewichteter_Graph">kantengewichteten Graph</a> vereinfacht wird. Schließlich wird das Problem auf einem vereinfachten, groben Gitter gelöst, und dann jeweils mit lokalen Suchen auf feinere Graphen erweitert. Für die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Kantenkontraktion">Kontraktion</a> werden <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Heuristik#Informatik">Heuristiken</a> und Kantenbewertungsfunktionen verwendet.Ein weiterer Ansatz sind auch <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Evolution%C3%A4rer_Algorithmus">evolutionäre Algorithmen</a>. Dabei wurde eine allgemeinere Umgebung geschaffen, die auf eine weite Klasse von Optimierungsproblemen angewendet werden kann.Die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Graphentheorie">Graphentheorie</a> ist natürlich auch Teil der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Diskrete_Mathematik">diskreten Mathematik</a>, und besonders berühmt ist auch das <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Problem_des_Handlungsreisenden">Traveling Salesperson Problem</a>. Gleichzeitig ist das Thema aber auch in der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Theoretische_Informatik">Theoretischen Informatik</a>, im <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Algorithm_engineering">Algorithm Engineering</a> und in der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Softwaretechnik">Software-Entwicklung</a> beheimatet.<h1>Literatur und Zusatzinformationen</h1><ul><li> <a href="http://algo2.iti.kit.edu/schulz/dissertation_christian_schulz.pdf">C. Schulz: High Quality Graph Partitioning</a>, PhD thesis. Karlsruhe Institute of Technology, 2013.</li><li> <a href="http://siam.omnibooksonline.com/2012ALENEX/data/papers/014.pdf#page=1">P. Sanders, C. Schulz: Distributed Evolutionary Graph Partitioning</a>, Proceedings of the 12th Workshop on Algorithm Engineering and Experimentation (ALENEX'12), pages 16--19, 2012.</li><li> <a href="http://www.cc.gatech.edu/dimacs10/papers/%5B01%5D-high_quality_graph_partitioning_final.pdf">P. Sanders, C. Schulz: High Quality Graph Partitioning</a>, Proceedings of the 10th DIMACS Implementation Challenge Workshop: Graph Partitioning and Graph Clustering, pages 1--17, AMS, 2013.</li><li> <a href="http://algo2.iti.kit.edu/documents/kahip/highly_balanced.pdf">P. Sanders, C. Schulz: Think Locally, Act Globally: Highly Balanced Graph Partitioning</a>, proceedings of the 12th International Symposium on Experimental Algorithms (SEA'13), volume 7933 of LNCS, pages 164--175, 2013.</li><li> <a href="http://arxiv.org/pdf/1402.2782.pdf">R. Glantz, H. Meyerhenke, C. Schulz: Tree-based Coarsening and Partitioning of Complex Networks</a>, Technical Report, Karlsruhe Institute of Technology, 2014.</li><li> <a href="http://algo2.iti.kit.edu/documents/kahip/index.html">KaHIP Homepage</a></li><li> <a href="https://twitter.com/ProjectKaHIP">KaHIP auf Twitter</a></li><li> <a href="https://twitter.com/schulz_chris">Christian Schulz auf Twitter</a></li><li> <a href="http://dots-podcast.de/">Podcast: Death of a traveling salesman</a></li></ul>

Modellansatz 038

Ein Graph ist eine Menge von Knoten und Kanten zwischen diesen Knoten. Man unterscheidet zwischen gerichteten Graphen, wo Einbahnstraßen darstellbar sind, oder den ungerichteten Graphen, wo Beziehungen zwischen zwei Knoten immer beidseitig sind. Beispiele sind die graphische Darstellung von Beziehungen in einem sozialen Netz oder Straßennetze, für deren Verarbeitung das Forschungsgebiet von Christian Schulz immer bedeutender wird, wie wir in seinem Gespräch mit Gudrun Thäter erfahren. Eine wichtige Aufgabe im Umgang mit Graphen ist die Aufteilung (oder fachsprachlich Partitionierung), von Graphen in kleinere Teile. Dies kommt z.B. der Parallelisierung der Arbeit auf den Graphen zugute, und ist unumgänglich, wenn Graphen eine Größe haben, die nicht mehr von einem Prozessor bearbeitet werden kann. Ein wichtiges Merkmal ist hier, die Aufteilung möglichst gleichmäßig vorzunehmen, damit die Aufteilung von z.B. Rechenzeit gleichmäßig erfolgt, und gleichzeitig wenig Kommunikation zwischen der Bearbeitung der Einzelteile erforderlich ist. Es geht um eine möglichst gute Skalierbarkeit der Graphverarbeitung. Ein wichtiges Anwendungsproblem ist die Routenplanung, bei der zwischen zwei Punkten auf der Erde die zeitlich kürzeste Verbindung berechnet werden soll. In der Informatik ist der Dijkstra-Algorithmus der passende Basis-Algorithmus für diese Aufgabe, doch er ist für große Graphen in seiner ursprünglichen Form sehr ineffizient. In Kombination mit einer passenden Graphpartitionierung und Algorithmen kann man das Verfahren deutlich effizienter ausführen und beschleunigen. Ein klassisches Verfahren zur Aufteilung ist das Mehrschichtverfahren über die Laplace-Matrix, wo ausgenutzt wird, dass zwischen den Eigenwerten der Matrix und der Schnittstruktur des Graphen enge Zusammenhänge bestehen. Dieses Verfahren wurde zum Mehrschichtverfahren für Graphen weiterentwickelt, bei dem in einer sogenannten Kontraktion benachbarte Knoten und parallele Kanten jeweils zusammengeführt werden, und der Graph zu einem kleinen und kantengewichteten Graph vereinfacht wird. Schließlich wird das Problem auf einem vereinfachten, groben Gitter gelöst, und dann jeweils mit lokalen Suchen auf feinere Graphen erweitert. Für die Kontraktion werden Heuristiken und Kantenbewertungsfunktionen verwendet. Ein weiterer Ansatz sind auch evolutionäre Algorithmen. Dabei wurde eine allgemeinere Umgebung geschaffen, die auf eine weite Klasse von Optimierungsproblemen angewendet werden kann. Die Graphentheorie ist natürlich auch Teil der diskreten Mathematik, und besonders berühmt ist auch das Traveling Salesperson Problem. Gleichzeitig ist das Thema aber auch in der Theoretischen Informatik, im Algorithm Engineering und in der Software-Entwicklung beheimatet.

Graphpartitionierung

In den <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Materialwissenschaft_und_Werkstofftechnik">Materialwissenschaften</a> ist man immer auf der Suche nach neuen Werkstoffen und Materialien. Sehr vielversprechend sind dabei <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Metallschaum">Metallschäume</a>, dessen <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/W%C3%A4rmeleitf%C3%A4higkeit">Wärmeleitungseigenschaften</a> <a href="http://www.iam.kit.edu/zbs/Mitarbeiter_august.php">Anastasia August</a> am <a href="http://www.iam.kit.edu/zbs/index.php">Institut für angewandte Materialien</a> erforscht und über die sie uns im Gespräch mit <a href="http://www.math.kit.edu/ianm4/~ritterbusch/de">Sebastian Ritterbusch</a> erzählt.Zu den besonderen Eigenschaften von Metallschäumen gehören unter anderem die große <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Oberfl%C3%A4chenphysik">Oberfläche</a> bzw. <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzfl%C3%A4che">Grenzfläche</a> im Verhältnis zum Volumen wie bei <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Lungenbl%C3%A4schen">Lungenbläschen</a> und die hohe <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/W%C3%A4rmeleitung">Wärmeleitungsfähigkeit</a> im Verhältnis zum Gewicht. Gleichzeitig können Metallschäume mit Luft oder anderen Materialien wie <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Paraffin">Paraffin</a> gefüllt werden, um besondere Eigenschaften zu erhalten. Neben Bierschaum ist auch der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Schaumbad">Badeschaum</a> eine Möglichkeit Schäume mit ihrem außergewöhnlichem Verhalten kennenzulernen. Das geschäumte Materialgemisch erhält dabei aber typischerweise nicht durchschnittliche <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Materialmodell">Materialeigenschaften</a>, sondern es können Eigenschaften der einzelnen Materialien teilweise kombiniert werden; z.B. erhält ein Metall-Paraffinschaum eine recht hohe Wärmeleitfähigkeit vom Metall gepaart mit einer hohen <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/W%C3%A4rmekapazit%C3%A4t">Wärmekapazität</a> und vor Allem mit einem günstigen Schmelzpunkt (45-80°C) vom Paraffin und ist damit ein sehr effizienter <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/W%C3%A4rmespeicher">Latentwärmespeicher</a>.In der Natur finden sich Schaumstrukturen zum Beispiel in <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Knochen">Knochen</a>, die bei hoher Stabilität ein deutlich geringeres Gewicht als ein massives Material haben. Aber auch für <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Osteosynthese">Knochenimplantate</a> sind Metallschäume aus <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Titan_%28Element%29">Titan</a> durch die hohe Stabilität bei geringem Gewicht und guter Verträglichkeit sehr interessant.Problematisch ist für den Einsatz von Metallschäumen, dass noch viele quantitative Messgrößen fehlen, die Herstellung noch recht teuer ist, und insbesondere nur in kleinen Größen produziert werden kann. Als Unterscheidungsmerkmal hat sich neben der Unterscheidung in offen oder geschlossen porigen Schaum die ppi-Zahl als Maß für die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Pore#Porendichte">Porendichte</a> etabliert, dabei zählt man die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Pore">Poren</a> pro Inch (Zoll, entspricht 2,54 cm). Dazu erfasst man auch die mittlere Porengröße (Durchmesser), ihre <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Standardabweichung">Standardabweichung</a>, die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Porosit%C3%A4t">Porosität</a>, die mittlere Stegdicke und deren Form. Weiterhin können sich <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Anisotropie">Größen in verschiedenen Richtungen im Material unterscheiden</a>, und dadurch merklich deren Eigenschaften verändern.Für die Herstellung von Metallschäumen gibt es unterschiedliche Verfahren: Zwei typische Vertreter sind das <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Sintern">Pressen mit dem anschließenden Schmelzen von gemischtem Metall- und Metallhybridpulvern</a> für geschlossen porige feste Schäume oder Gießverfahren, wo der Metallschaum für offen porige Materialien durch keramische Negativabbildungen von <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Polyurethane">Polyurethan-Schäumen</a> nachempfunden wird.Schon früh waren Schäume als möglichst dichte Packungen ein Forschungsfeld in der Mathematik. Im Jahr 1994 haben <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Weaire%E2%80%93Phelan_structure">Weaire-Phelan</a> eine noch optimalere regelmäßige Schaumstruktur veröffentlicht, die in der Architektur des zu den <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Olympische_Sommerspiele_2008">olympischen Sommerspielen 2008 in Peking</a> errichteten <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Nationales_Schwimmzentrum_Peking">Nationalen Schwimmzentrums</a> verewigt wurde. Das ebenfalls zu den Sommerspielen errichtete <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Nationalstadion_Peking">Vogelnest</a> hat im Gegenteil eine zufälligere Struktur. Lange hatte man keine verlässlichen Aussagen über die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/W%C3%A4rmeleitf%C3%A4higkeit">Wärmeleitfähigkeit</a> von Metallschäumen. Bei einer Leitfähigkeit von etwa 200 W/(mK) von <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Aluminium">Aluminium</a> erreicht ein Metallschaum Leitfähigkeiten zwischen 5-13 W/(mK) während man bei <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Luft">Luft</a> von einer Leitfähigkeit von etwa 0.025 W/(mK) ausgehen kann. Außerdem haben Metallschäume einen hohen Oberflächenanteil, dies bezeichnet die vorhandene Oberfläche im Verhältnis zum Volumen. Während ein voller Metallwürfel ein Verhältnis von etwa <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$6%7Em%5E2%2Fm%5E3$&amp;sig=95d8dd94f82c3bc8974ff7a281a9e5c3" alt="6 m^2/m^3" title="6 m^2/m^3" style="vertical-align: middle" width="53" height="14" /> hat, kann ein Schaum ein Verhältnis von bis zu <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$500%7Em%5E2%2Fm%5E3$&amp;sig=e62d6baa9dcce9199161706c5fc37852" alt="500 m^2/m^3" title="500 m^2/m^3" style="vertical-align: middle" width="67" height="14" /> erreichen.Eine interessante Fragestellung ist auch, ab welcher Porengröße die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Nat%C3%BCrliche_Konvektion">natürliche Konvektion</a> in mit Luft gefüllten Metallschäumen eine <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Heat_transfer#Convection_vs._conduction">Rolle gegenüber der Wärmeleitung</a> spielt. Die relevante Größe ist hier die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Rayleigh-Zahl">Rayleigh-Zahl</a>, die für Metallschäume typischer Porengrößen ergibt, dass die natürliche Konvektion zu vernachlässigen ist.Für die Simulation wird der komplette Raum des Metallschaums diskretisiert, und es gibt eine Funktion, die als <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Charakteristische_Funktion_%28Mathematik%29">Indikatorfunktion</a> anzeigt, ob an diesem Punkt Metall oder Luft vorliegt. Hier können sowohl aus an der <a href="http://www.hs-pforzheim.de/De-de/Forschung/iwwt/iwwt/Seiten/iwwt.aspx">Hochschule Pforzheim</a> durchgeführten Schnitten rekonstruierte Schaumstrukturen abgebildet werden, aber auch künstlich mit Algorithmen erzeugte Schäume für die Simulation abgebildet werden. Bei der künstlichen Erzeugung von Schäumen ist die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Voronoi-Diagramm">Voronoi-Zerlegung</a> ein wichtiger Algorithmus zur Bestimmung der Poren.Den eigentlichen Wärmetransport im Metallschaum wird durch die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/W%C3%A4rmeleitungsgleichung">Wärmeleitungsgleichung <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+u%28%5Cvec+x%2Ct%29+%3D+a%5CDelta+u%28%5Cvec%7Bx%7D%2Ct%29$&amp;sig=d6d4af3670df4ebe05cf36a0c568385d" alt="\frac{\partial}{\partial t} u(\vec x,t) = a\Delta u(\vec{x},t)" title="\frac{\partial}{\partial t} u(\vec x,t) = a\Delta u(\vec{x},t)" style="vertical-align: middle" width="122" height="18" /></a> modelliert. Sie leitet sich aus dem <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Energieerhaltungssatz">Energieerhaltungssatz</a> und dem <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/W%C3%A4rmeleitung#Fouriersches_Gesetz">Fourierschen Satz</a> ab. Dieses Modell stimmt aber in dieser Form nur für homogene Materialien mit konstantem Koeffizienten <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$a$&amp;sig=b34b06247a041d2ac91068307dff3cef" alt="a" title="a" style="vertical-align: middle" width="7" height="6" />. Daher müssen die Sprünge in Materialeigenschaften (etwas im Übergang Luft-Metall) zusätzlich berücksichtigt werden. Dies kann über die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Phasenfeldmethode">Phasenfeldmethode</a> realisiert werden, wo eine künstliche, diffuse Übergangsschicht zwischen den Materialien eingeführt wird. Dies ist im Prinzip eine Art von <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Mollifier">Mollifikation</a>, wo ein <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Heaviside-Funktion">Sprung</a> durch eine glatte monotone <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Glatte_Funktion">Funktion</a> angenähert wird. Wenn dies zusätzlich mit der Berücksichtung der anisotropen Eigenschaften der Übergangsschicht ergänzt wird, erhält man eine Basis für die in <a href="http://www.iaf.hs-karlsruhe.de/ice/ice/nestler/index.php?id=113">PACE 3D</a> implementierte Simulationsmethode, die mit verschiedenen <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Gleichung#Analytische_L.C3.B6sung">analytischen Ergebnissen</a> und kommerziellen Softwareprodukten erfolgreich validiert werden konnte.Die Phasenfeldmethode und die Software Pace3D stammt ursprünglich aus der Simulation von Erstarrungs- und Schmelzvorgängen auf der Mikrometerskala. Metalle erstarren in Form von sogenannten <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Dendrit_%28Kristallographie%29">Dendriten</a>. Das sind <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Kristall">Kristalle</a>, die eine gewisse Ähnlichkeit mit Schneeflocken aufweisen.Eine interessante Anwendung von Metallschäumen bietet das mutige <a href="http://www.silentpowerpc.de/">Silent Power PC</a> Projekt, in dem ein Metallschaum den einen Rechner effizient kühlen soll. Aus den bisherigen Erkenntnissen der Arbeitsgruppe ist anzunehmen, dass ein Großteil der Kühlleistung in einem solchen System auf der Wärmeleitung liegt - für einen Einfluss der natürlichen Konvektion scheint die Porengröße zu klein zu sein.Die Faszination für Wissenschaft inspiriert Anastasia August nicht nur in der Forschung, sondern sie demonstriert sie auch auf <a href="http://www.scienceslam.de/">Science Slams</a> und im <a href="http://www.youtube.com/watch?v=ucsJezT_yig">FameLab</a>. Sie hielt dort Vorträge über ihr Forschungsgebiet und auch über das sehr unterschätzte Thema der <a href="http://www.youtube.com/watch?v=gj5JNGp21ic">Stetigkeit und die Anwendung auf Temperaturen auf der Erdkugel</a>. Mit dem <a href="http://www.youtube.com/watch?v=RAGbTizCPOk">Vortrag</a> auf dem Science Slam Vorentscheid in Esslingen zu Metallschäumen hat sie sich für die Meisterschaft am 6. Dezember qualifiziert. <h1>Literatur und Zusatzinformationen</h1> <ul><li> <a href="http://books.google.de/books/about/Cellular_Materials.html?id=QjZNmwEACAAJ&amp;redir_esc=y">A. August, B. Nestler, F. Wendler, M. Selzer, A. Kneer, E. Martens: Efficiency Study of Metal Foams for Heat Storage and Heat Exchange</a>, CELLMAT 2010 Dresden Conference Proceedings, 148-151, 2010, Fraunhofer IFAM Dresden, 2010.</li><li> <a href="http://werkstoffzeitschrift.de/blogwerkstoffe/offenporige-metallische-schaume/">A. August, B. Nestler, A. Kneer, F. Wendler, M. Rölle, M. Selzer: Offenporige metallische Schäume</a>, Werkstoffe in der Fertigung, Ausgabe 6/ November 2011, S. 45-46, 2011.</li><li> <a href="http://www.hs-karlsruhe.de/fileadmin/hska/GOEM/Baum_Hochschule/Uebrige/goem_f-bericht11_gesamt.pdf">M. Rölle, A. August, M. Selzer, B. Nestler: Generierung offenporiger metallischer Schaumstrukturen zur Simulation der Wärmeübertragungseigenschaften</a>, Forschung aktuell 2011, 21-23 Hochschule Karlsruhe Technik und Wirtschaft, S. 21-23, 2011.</li><li> <a href="http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-23869-7_43">A. Vondrous, B. Nestler, A. August, E. Wesner, A. Choudhury, J. Hötzer: Metallic foam structures, dendrites and implementation optimizations for phase-ﬁeld modelling</a>, High Performance Computing in Science and Engineering, Transactions of the High Performance Computing Center, Stuttgart (HLRS), Pages 595-605, 2011.</li><li> <a href="https://www.koord.hs-mannheim.de/fileadmin/user_upload/projekte/koord/horizonte/h43_komplett.pdf">E. Wesner, A. August, B. Nestler: Metallische Schneeflocken</a>, horizonte, Nr. 43, März 2014.</li><li> <a href="http://iopscience.iop.org/0965-0393/22/8/085006">J. Ettrich, A. Choudhury, O. Tschukin, E. Schoof, A. August, B. Nestler: Modelling of Transient Heat Conduction with Diffuse Interface Methods</a>, Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering, 2014.</li><li> <a href="http://www.dgm.de/download/tg/1589/1589-84.pdf">J. Ettrich, A. August, B. Nestler: Open Cell Metal Foams: Measurement and Numerical Modelling of Fluid Flow and Heat Transfer</a>, CELLMAT 2014 Dresden Conference Proceedings, 2014.</li><li> <a href="http://www.dgm.de/download/tg/1589/1589-85.pdf">J. Ettrich, A. August, M. Rölle, B. Nestler: Digital Representation of Complex Cellular Sructures for Numerical Simulations</a>, CELLMAT 2014 Dresden Conference Proceedings, 2014.</li><li> <a href="http://www.iam.kit.edu/zbs/Forschung.php">Forschungsgruppen am KIT-ZBS</a></li><li> <a href="http://www.iwi.hs-karlsruhe.de/~nebr0001/ice/nestler/index.php?id=65">Institute of Materials and Processes an der Hochschule Karlsruhe - Technik und Wirtschaft</a></li><li> <a href="http://www.hs-pforzheim.de/De-de/Forschung/iwwt/iwwt/Seiten/iwwt.aspx">Das Institut für Werkstoffe und Werkstofftechnologien (IWWT) an der Hochschule Pforzheim</a></li></ul>

Modellansatz 037

In den Materialwissenschaften ist man immer auf der Suche nach neuen Werkstoffen und Materialien. Sehr vielversprechend sind dabei Metallschäume, dessen Wärmeleitungseigenschaften Anastasia August am Institut für angewandte Materialien erforscht und über die sie uns im Gespräch mit Sebastian Ritterbusch erzählt. Zu den besonderen Eigenschaften von Metallschäumen gehören unter anderem die große Oberfläche bzw. Grenzfläche im Verhältnis zum Volumen wie bei Lungenbläschen und die hohe Wärmeleitungsfähigkeit im Verhältnis zum Gewicht. Gleichzeitig können Metallschäume mit Luft oder anderen Materialien wie Paraffin gefüllt werden, um besondere Eigenschaften zu erhalten. Neben Bierschaum ist auch der Badeschaum eine Möglichkeit Schäume mit ihrem außergewöhnlichem Verhalten kennenzulernen. Das geschäumte Materialgemisch erhält dabei aber typischerweise nicht durchschnittliche Materialeigenschaften, sondern es können Eigenschaften der einzelnen Materialien teilweise kombiniert werden; z.B. erhält ein Metall-Paraffinschaum eine recht hohe Wärmeleitfähigkeit vom Metall gepaart mit einer hohen Wärmekapazität und vor Allem mit einem günstigen Schmelzpunkt (45-80°C) vom Paraffin und ist damit ein sehr effizienter Latentwärmespeicher. In der Natur finden sich Schaumstrukturen zum Beispiel in Knochen, die bei hoher Stabilität ein deutlich geringeres Gewicht als ein massives Material haben. Aber auch für Knochenimplantate sind Metallschäume aus Titan durch die hohe Stabilität bei geringem Gewicht und guter Verträglichkeit sehr interessant. Problematisch ist für den Einsatz von Metallschäumen, dass noch viele quantitative Messgrößen fehlen, die Herstellung noch recht teuer ist, und insbesondere nur in kleinen Größen produziert werden kann. Als Unterscheidungsmerkmal hat sich neben der Unterscheidung in offen oder geschlossen porigen Schaum die ppi-Zahl als Maß für die Porendichte etabliert, dabei zählt man die Poren pro Inch (Zoll, entspricht 2,54 cm). Dazu erfasst man auch die mittlere Porengröße (Durchmesser), ihre Standardabweichung, die Porosität, die mittlere Stegdicke und deren Form. Weiterhin können sich Größen in verschiedenen Richtungen im Material unterscheiden, und dadurch merklich deren Eigenschaften verändern. Für die Herstellung von Metallschäumen gibt es unterschiedliche Verfahren: Zwei typische Vertreter sind das Pressen mit dem anschließenden Schmelzen von gemischtem Metall- und Metallhybridpulvern für geschlossen porige feste Schäume oder Gießverfahren, wo der Metallschaum für offen porige Materialien durch keramische Negativabbildungen von Polyurethan-Schäumen nachempfunden wird. Schon früh waren Schäume als möglichst dichte Packungen ein Forschungsfeld in der Mathematik. Im Jahr 1994 haben Weaire-Phelan eine noch optimalere regelmäßige Schaumstruktur veröffentlicht, die in der Architektur des zu den olympischen Sommerspielen 2008 in Peking errichteten Nationalen Schwimmzentrums verewigt wurde. Das ebenfalls zu den Sommerspielen errichtete Vogelnest hat im Gegenteil eine zufälligere Struktur. Lange hatte man keine verlässlichen Aussagen über die Wärmeleitfähigkeit von Metallschäumen. Bei einer Leitfähigkeit von etwa 200 W/(mK) von Aluminium erreicht ein Metallschaum Leitfähigkeiten zwischen 5-13 W/(mK) während man bei Luft von einer Leitfähigkeit von etwa 0.025 W/(mK) ausgehen kann. Außerdem haben Metallschäume einen hohen Oberflächenanteil, dies bezeichnet die vorhandene Oberfläche im Verhältnis zum Volumen. Während ein voller Metallwürfel ein Verhältnis von etwa 6 m^2/m^3 hat, kann ein Schaum ein Verhältnis von bis zu 500 m^2/m^3 erreichen. Eine interessante Fragestellung ist auch, ab welcher Porengröße die natürliche Konvektion in mit Luft gefüllten Metallschäumen eine Rolle gegenüber der Wärmeleitung spielt. Die relevante Größe ist hier die Rayleigh-Zahl, die für Metallschäume typischer Porengrößen ergibt, dass die natürliche Konvektion zu vernachlässigen ist. (...)

Metallschaum

Im Herbst beginnen die neuen <a href="http://www.math.kit.edu/lehre/seite/studiengaenge/de">Studiengänge der Mathematik am KIT</a> und neben den Vorlesungen zur <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Algebra">Linearen Algebra</a>, <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Stochastik">Stochastik</a> oder <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Numerische_Mathematik">Numerik</a> gehört die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Analysis">Analysis</a> zu den mathematischen Vorlesungen, mit dem das Studium der Mathematik in den ersten Semestern beginnt. Dazu spricht <a href="http://www.math.kit.edu/ianm4/~ritterbusch/de">Sebastian Ritterbusch</a> mit <a href="http://www.math.kit.edu/iana3/~eilinghoff/de">Johannes Eilinghoff</a>, der im letzten Jahr den Übungsbetrieb der Analysis-Vorlesungen <a href="http://www.math.kit.edu/seite/lp14/de">mit großem Anklang</a> organisiert hat.Die Analysis befasst sich besonders mit der Mathematik um <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Funktion_%28Mathematik%29">Funktionen</a> auf <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Reelle_Zahl">reellen Zahlen</a>, welche Eigenschaften sie haben, und wie man diese <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung">differenzieren</a> oder <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Integralrechnung">integrieren</a> kann. Vieles zur Geschichte der Analysis findet man besonders in den Büchern von <a href="http://www.math.kit.edu/iana1/~vrenteln/de">Prof. Dr. Michael von Renteln</a>, der unter anderem über die <a href="http://www.worldcat.org/title/geschichte-der-analysis-im-18-jahrhundert-von-euler-bis-laplace-skriptum-zur-vorlesung-von-m-v-renteln-an-der-universitat-karlsruhe/oclc/635108407">Geschichte der Analysis im 18. Jahrhundert von Euler bis Laplace</a>, die <a href="http://www.worldcat.org/title/geschichte-der-analysis-im-19-jahrhundert-von-cauchy-bis-cantor/oclc/313505438">Geschichte der Analysis im 19. Jahrhundert von Cauchy bis Cantor</a>, über <a href="http://www.worldcat.org/title/aspekte-zur-geschichte-der-analysis-im-20-jahrhundert-von-hilbert-bis-j-v-neumann-skriptum-zur-vorlesung-von-m-v-renteln-an-der-universitat-karlsruhe/oclc/635108465">Aspekte zur Geschichte der Analysis im 20. Jahrhundert von Hilbert bis J. v. Neumann</a> und über die <a href="http://www.worldcat.org/title/mathematiker-an-der-technischen-hochschule-karlsruhe-1825-1945/oclc/314234607">Die Mathematiker an der Technischen Hochschule Karlsruhe 1825-1945</a> geschrieben hat.Grundlage für die Mathematik in der Analysis sind die Zahlenmengen, wie die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Abz%C3%A4hlbare_Menge">abzählbaren</a> <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Nat%C3%BCrliche_Zahl">natürlichen Zahlen <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$%5Cmathbb%7BN%7D$&amp;sig=8c6cfeb125a2634c2a3a0812d9678c28" alt="N" title="N" style="vertical-align: middle" /></a>, <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Ganze_Zahl">ganzen Zahlen <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$%5Cmathbb%7BZ%7D$&amp;sig=8f7f740939a097487ebc016aad554062" alt="Z" title="Z" style="vertical-align: middle" width="9" height="10" /></a>, <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Rationale_Zahl">rationale Zahlen <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$%5Cmathbb%7BQ%7D$&amp;sig=e08c1ba01f427f73498ce9c0551f6ef6" alt="Q" title="Q" style="vertical-align: middle" /></a> und schließlich die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%9Cberabz%C3%A4hlbare_Menge">überabzählbaren</a> <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Reelle_Zahl">reellen Zahlen <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$%5Cmathbb%7BR%7D$&amp;sig=dff5cf6dd4a029ecd30751b67ef1833c" alt="R" title="R" style="vertical-align: middle" width="10" height="10" /></a>. Während die natürlichen Zahlen direkt mit dem Beweisprinzip der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Vollst%C3%A4ndige_Induktion">vollständigen Induktion</a> in Verbindung stehen und für sich schon ein Thema der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Zahlentheorie">Zahlentheorie</a> sind, benötigt man für die Analysis mindestens die reellen Zahlen. Diese kann man über <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_%28Folge%29">konvergente Folgen</a> bzw. <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Folge">Cauchy-Folge</a>n rationaler Zahlen einführen. Für den <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Beweis_%28Mathematik%29">Beweis</a> der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzumformung">Äquivalenz</a> dieser beiden Konvergenzbegriffe kann man die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Dreiecksungleichung">Dreiecksungleichung</a> sehr gut gebrauchen. Ein Beispiel für eine Folge rationaler Zahlen, die gegen eine irrationale Zahl konvergieren ist <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$a_n%3D%5Cleft%281%2B%5Cfrac1n%5Cright%29%5En$&amp;sig=9716687ee019b205a5fc697c98705548" alt="a_n=(1+1/n)^n" title="a_n=(1+1/n)^n" style="vertical-align: middle" width="84" height="18" />, die gegen die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahl">Eulersche Zahl <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$e$&amp;sig=6b8c6fee6be0228eaf40394fbbd82f47" alt="e" title="e" style="vertical-align: middle" /></a> konvergiert, d.h. <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$%5Clim%5Climits_%7Bn%5Crightarrow%5Cinfty%7Da_n%3De$&amp;sig=b40b4fa70a5401019446a87c9f33ef07" alt="\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=e" title="\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=e" style="vertical-align: middle" />. Aus jeder Folge kann man eine <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Reihe_%28Mathematik%29">Reihe</a> bilden, indem man die Folgenglieder aufsummiert. Wichtige Reihen sind die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe">geometrische Reihe</a> mit Summenwert <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$%5Csum%5Climits_%7Bk%3D0%7D%5E%5Cinfty+q%5Ek%3D%5Cfrac1%7B1-q%7D$&amp;sig=691fc7c4319b9b592ba3fe14759395db" alt="\sum_{k=0}^\infty q^k=\frac1{1-q}" title="\sum_{k=0}^\infty q^k=\frac1{1-q}" style="vertical-align: middle" />, wenn <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$%7Cq%7C%3C1$&amp;sig=9937885946fdb040369bf11eb5b13737" alt="|q|&lt;1" title="|q|&lt;1" style="vertical-align: middle" width="38" height="15" />, und die divergente <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Harmonische_Reihe">Harmonische Reihe</a>, mit der man sogar <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Harmonische_Reihe#Anwendungsbeispiel">Brücken bauen</a> kann.Über den Begriff der Folge kann man auch <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Offene_Menge">offene Mengen</a> und <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Abgeschlossene_Menge">abgeschlossene Mengen</a> definieren, so wie dies auch mit <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Umgebung_%28Mathematik%29">Epsilon-Umgebungen</a> definiert werden kann. Diese Eigenschaften werden im Bereich der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Topologie_%28Mathematik%29">mathematischen Topologie</a> noch viel umfassender eingeführt, aber schon diese Darstellungen helfen, den wichtigen Begriff der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Funktion_%28Mathematik%29">Funktion in der Analysis</a> und deren Eigenschaften einzuführen. Zur Definition einer Funktion gehört neben der eigentlichen Abbildungsvorschrift die Angabe der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Definitionsmenge">Definitionsmenge</a> und der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Zielmenge">Wertebereich</a>. Ohne diese Informationen ist es nicht möglich <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Surjektivit%C3%A4t">Surjektivität</a> und <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Injektivit%C3%A4t">Injektivität</a> nachzuweisen.Eine wichtige Eigenschaft von Funktionen ist der Begriff der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit">Stetigkeit</a>, die man für den <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Zwischenwertsatz">Zwischenwertsatz</a> benötigt. Damit kann man zum Beispiel <a href="http://www.spiegel.de/wissenschaft/technik/mathematik-mathetrick-stoppt-wackelnden-tisch-im-biergarten-a-987096.html">wackelnde Tische reparieren</a> oder mit <a href="http://www.youtube.com/watch?v=gj5JNGp21ic">Anastasia im Science Slam Orte gleicher Temperaturen auf der Erde suchen</a>. Der Zwischenwertsatz gilt zunächst nur für reelle Funktionen, es gibt den <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Zwischenwertsatz#Verallgemeinerung">Zwischenwertsatz aber auch in allgemeinerer Form</a>.Eine weitere wichtige Eigenschaft von Funktionen ist die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Differenzierbarkeit">Differenzierbarkeit</a> und das Berechnen von Ableitungen mit ihren <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung#Ableitungsregeln">Ableitungsregeln</a>. Sehr wichtig ist dabei die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion">Exponentialfunktion</a>, die mit ihrer eigenen Ableitung übereinstimmt. Diese Funktion findet man im Alltag in jeder <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenlinie_%28Mathematik%29">Kettenlinie</a> in der Form des <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_Hyperbolicus_und_Kosinus_Hyperbolicus">Cosinus Hyperbolicus</a> wieder. Eine wichtige Anwendung für differenzierbare Funktionen ist der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwertsatz_der_Differentialrechnung">Mittelwertsatz</a>, ohne den die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Abschnittskontrolle">Abschnittskontrolle auf Autobahnen</a> zur Geschwindigkeitsüberprüfung nicht denkbar wäre. Aber auch in höheren Dimensionen kann man Differentialrechnung betreiben, und man führt dazu den <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Gradient_%28Mathematik%29">Gradienten</a>, <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Richtungsableitung">Richtungsableitungen</a> und z.B. die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Divergenz_%28Mathematik%29">Divergenz eines Vektorfelds</a> ein.Als Umkehrung der Differentiation erhält man die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Integralrechnung">Integralrechnung</a>. Jedoch ist das Bilden einer <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Stammfunktion">Stammfunktion</a> nur bis auf eine Konstante eindeutig. Daher kann man zum Beispiel mit <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Beschleunigungssensor">Beschleunigungssensoren</a> im Handy nicht wirklich eine <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Ortsbestimmung">Positions- und Geschwindigkeitsmessung</a> durchführen, sondern muss für die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%A4gheitsnavigationssystem">Trägheitsnavigation</a> viele weitere Sensoren mit einbeziehen. Eine andere Einführung des Integrals ist das <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Lebesgue-Integral">Lebesgue-Integral</a> oder das <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsches_Integral">Riemannsche Integral</a>, wo man bei letzterem in einem <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Intervall_%28Mathematik%29">Intervall</a> die Fläche unter einer Kurve durch <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Treppenfunktion">Treppenfunktionen</a> annähert. Den Zusammenhang dieser beiden Begriff liefert der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Analysis">Fundamentalsatz der Analysis</a>. Leider kann man nicht zu allen Funktionen analytische Stammfunktionen bestimmen. Hier kann dann die <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Numerische_Integration">numerische Integration</a> zum Einsatz kommen. Die Integration ist aber keine rein abstrakte Idee, sondern wir finden mathematische Zusammenhänge wie den <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fscher_Integralsatz">Gaußsche Integralsatz</a> direkt in der <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Buch_der_Natur">Natur</a> wieder.Für den Start im Studium erhält man in Karlsruhe viel Unterstützung: Es gibt Vorkurse und die von der <a href="https://www.fsmi.uni-karlsruhe.de/">Fachschaft für Mathematik und Informatik</a> organisierte <a href="http://www.o-phase.com/">Orientierungsphase, oder kurz O-Phase</a>, in der man die zukünftigen Mitstudierenden kennenlernen kann. Mit diesen sollte man sich gemeinsam den Stoff von Vorlesungen, Übungen und Tutorien erarbeiten, um sich mit gelösten Übungsblättern zur Klausteilnahme zu qualifizieren, und letztlich auch die Prüfungen gemeinsam vorzubereiten.<h1>Literatur und Zusatzinformationen</h1> <ul><li> <a href="http://www.math.kit.edu/iana2/~reichel/media/ana1_wise12_13.pdf">W. Reichel: Kurzskript Analysis 1</a>, Vorlesung am KIT, 2012/2013.</li><li> <a href="http://www.math.kit.edu/iana2/~reichel/media/ana2_sose13.pdf">W. Reichel: Kurzskript Analysis 2</a>, Vorlesung am KIT, 2013.</li><li> <a href="http://link.springer.com/book/10.1007/978-3-7643-7756-4">H. Amann, J. Escher: Analysis 1</a>, 3. Auflage, Birkhäuser-Verlag, 2008.</li><li> <a href="http://link.springer.com/book/10.1007/978-3-8348-8139-7">O. Forster: Analysis 1</a>, 7. Auflage, Vieweg-Verlag, 2004.</li><li> <a href="http://www.springer.com/mathematics/analysis/book/978-3-8348-0777-9">H. Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teil 1</a>, 15. Auflage, Teubner-Verlag, 2006.</li><li> <a href="http://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-18490-1">K. Königsberger, Analysis 1</a>, 5. Auflage, Springer-Verlag, 2001.</li><li> <a href="http://www.degruyter.com/view/product/214154">W. Rudin, Analysis</a>, 4. Auflage, Oldenbourg-Verlag, 2008.</li><li> <a href="http://www.worldcat.org/title/way-of-analysis/oclc/318367663">R. Strichartz, The Way of Analysis</a>, Jones and Bartlett-Verlag, 1995.</li><li> <a href="http://link.springer.com/book/10.1007/3-540-35078-0">W. Walter, Analysis 1</a>, 7. Auflage, Springer-Verlag, 2007.</li> <li><a href="http://www.konscience.de/2014/12/kns026-zeitlos/#t=37:15">Konscience Podcast KNS026: Effizienz der photovoltaischen Wasserspaltung erhöht</a></li></ul>

Modellansatz 036

Im Herbst beginnen die neuen Studiengänge der Mathematik am KIT und neben den Vorlesungen zur Linearen Algebra, Stochastik oder Numerik gehört die Analysis zu den mathematischen Vorlesungen, mit dem das Studium der Mathematik in den ersten Semestern beginnt. Dazu spricht Sebastian Ritterbusch mit Johannes Eilinghoff, der im letzten Jahr den Übungsbetrieb der Analysis-Vorlesungen mit großem Anklang organisiert hat. Die Analysis befasst sich besonders mit der Mathematik um Funktionen auf reellen Zahlen, welche Eigenschaften sie haben, und wie man diese differenzieren oder integrieren kann. Vieles zur Geschichte der Analysis findet man besonders in den Büchern von Prof. Dr. Michael von Renteln, der unter anderem über die Geschichte der Analysis im 18. Jahrhundert von Euler bis Laplace, die Geschichte der Analysis im 19. Jahrhundert von Cauchy bis Cantor, über Aspekte zur Geschichte der Analysis im 20. Jahrhundert von Hilbert bis J. v. Neumann und über die Die Mathematiker an der Technischen Hochschule Karlsruhe 1825-1945 geschrieben hat. Grundlage für die Mathematik in der Analysis sind die Zahlenmengen, wie die abzählbaren natürlichen Zahlen N, ganzen Zahlen Z, rationale Zahlen Q und schließlich die überabzählbaren reellen Zahlen R. Während die natürlichen Zahlen direkt mit dem Beweisprinzip der vollständigen Induktion in Verbindung stehen und für sich schon ein Thema der Zahlentheorie sind, benötigt man für die Analysis mindestens die reellen Zahlen. Diese kann man über konvergente Folgen bzw. Cauchy-Folgen rationaler Zahlen einführen. Für den Beweis der Äquivalenz dieser beiden Konvergenzbegriffe kann man die Dreiecksungleichung sehr gut gebrauchen. Ein Beispiel für eine Folge rationaler Zahlen, die gegen eine irrationale Zahl konvergieren ist a_n=(1+1/n)^n, die gegen die Eulersche Zahl e konvergiert, d.h. \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=e. Aus jeder Folge kann man eine Reihe bilden, indem man die Folgenglieder aufsummiert. Wichtige Reihen sind die geometrische Reihe mit Summenwert \sum_{k=0}^\infty q^k=\frac1{1-q}, wenn |q|<1, und die divergente Harmonische Reihe, mit der man sogar Brücken bauen kann. Über den Begriff der Folge kann man auch offene Mengen und abgeschlossene Mengen definieren, so wie dies auch mit Epsilon-Umgebungen definiert werden kann. Diese Eigenschaften werden im Bereich der mathematischen Topologie noch viel umfassender eingeführt, aber schon diese Darstellungen helfen, den wichtigen Begriff der Funktion in der Analysis und deren Eigenschaften einzuführen. Zur Definition einer Funktion gehört neben der eigentlichen Abbildungsvorschrift die Angabe der Definitionsmenge und der Wertebereich. Ohne diese Informationen ist es nicht möglich Surjektivität und Injektivität nachzuweisen. Eine wichtige Eigenschaft von Funktionen ist der Begriff der Stetigkeit, die man für den Zwischenwertsatz benötigt. Damit kann man zum Beispiel wackelnde Tische reparieren oder mit Anastasia im Science Slam Orte gleicher Temperaturen auf der Erde suchen. Der Zwischenwertsatz gilt zunächst nur für reelle Funktionen, es gibt den Zwischenwertsatz aber auch in allgemeinerer Form. Eine weitere wichtige Eigenschaft von Funktionen ist die Differenzierbarkeit und das Berechnen von Ableitungen mit ihren Ableitungsregeln. Sehr wichtig ist dabei die Exponentialfunktion, die mit ihrer eigenen Ableitung übereinstimmt. Diese Funktion findet man im Alltag in jeder Kettenlinie in der Form des Cosinus Hyperbolicus wieder. Eine wichtige Anwendung für differenzierbare Funktionen ist der Mittelwertsatz, ohne den die Abschnittskontrolle auf Autobahnen zur Geschwindigkeitsüberprüfung nicht denkbar wäre. Aber auch in höheren Dimensionen kann man Differentialrechnung betreiben, und man führt dazu den Gradienten, Richtungsableitungen und z.B. die Divergenz eines Vektorfelds ein. Als Umkehrung der Differentiation erhält man die Integralrechnung. (...)

Analysis und die Abschnittskontrolle

Bei genauem Hinsehen finden wir die Naturwissenschaft und besonders Mathematik überall in unserem Leben, vom Wasserhahn über die automatischen Temporegelungen an Autobahnen, in der Medizintechnik bis hin zum Mobiltelefon. Woran die Forscher, Absolventen und Lehrenden in Karlsruhe gerade tüfteln, erfahren wir hier aus erster Hand.

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