Ein <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Auslandsstudium">Auslandsstudium</a> ist eine ganz besondere Ergänzung zum Studium: Benedikt Kottler und Hakan Demirel konnten im Rahmen einer <a href="https://www.intl.kit.edu/ostudent/6608.php">Direktkooperation</a> ihr Studium und ihre Forschungen für ein Semester in Brasilien durchführen. Mit <a href="http://www.math.kit.edu/ianm2/~thaeter/de">Gudrun Thäter</a> sprechen die beiden über ihre dortigen mathematischen Arbeitsgebiete und ihren Aufenthalt. Benedikt Kottler hat sich in Vorbereitung seiner Master-Arbeit mit der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Molekulardynamik-Simulation">Molekulardynamik</a> befasst. Er möchte die Interaktion von molekularen Partikeln im Rahmen der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Kontinuumsmechanik">Kontinuumsmechanik</a> modellieren und mit der Software <a href="http://optilb.com/openlb/">OpenLB</a> durchführen. Diese Prozesse treten schon in der Betrachtung des <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Eigenschaften_des_Wassers">Wassermoleküls</a> <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$H_2O$&amp;sig=ed6057ee16365ba1e6f5dcd4332f1998" alt="H_2O" title="H_2O" style="vertical-align: middle" /> auf. Eine naheliegende Anwendung ist daher die Simulation von <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Filtration">Filtrationsprozessen</a>, wo kleine Schmutzpartikel aus einem <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Fluid">Fluid</a> herausgefiltert werden sollen. Das Forschungsthema von Hakan Demirel dreht sich um <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Feinstaub">Feinstaub</a> im Stadtgebiet, genauer um die drei Themen <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Wind">Windsimulation</a>, <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Feinstaub#Feinstaubtransport_mit_der_Luft">Partikelsimulation</a> und <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Feinstaub#Entstehung">Feinstaub-Emission durch den Autoverkehr</a>. Dazu konnte er in Brasilien auf eine Verkehrssimulation zurückgreifen und ein <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Mathematisches_Modell">stochastisches Modell</a> für <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Windrichtung">Windrichtungen</a> und -intensitäten aufstellen. Dabei hat sich ergeben, dass sich die Stadtgeometrie in der Form von Gebäuden und Straßenzügen einen großen Einfluss auf die sinnvolle Diskretisierung der Windmodelle haben und entsprechend berücksichtigt werden müssen. Die Idee für das Auslandssemester in Brasilien entstand nach einem Vortrag über die Simulationssoftware OpenLB, zu der bestehende Kooperationen zwischen Forschungseinrichtungen in Brasilien und dem KIT bestehen. Die Finanzierung wurde dabei insbesondere durch das <a href="https://www.intl.kit.edu/ostudent/3606.php">Baden-Württemberg-Programm</a> nach Bewerbungsphase ermöglicht. Natürlich gehört auch der Besuch von Vorlesungen zum Auslandsstudium, die teilweise für die beiden in englisch gehalten wurden- und sich teilweise von Vorlesungen in Karlsruhe unterschieden. Die positiven Kontakte zu den Studierenden und Gastfamilien in Brasilien gehören dabei genauso zum Austausch, wie die Erfahrungen unterschiedlicher bürokratischer Systeme. <h1>Literatur und Zusatzinformationen</h1> <ul><li> <a href="http://optilb.com/openlb/">OpenLB - Open source lattice boltzmann code</a></li><li> <a href="https://www.intl.kit.edu/ostudent/index.php">International Student Office am KIT</a></li><li> <a href="http://modellansatz.de/windsimulation">I. Waltschläger: Windsimulation im Stadtgebiet</a>, Gespräch mit S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 14, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014. &lt;<a href="http://modellansatz.de/windsimulation">http://modellansatz.de/windsimulation</a>&gt;</li></ul>

Modellansatz

Modellansatz 071

Ein Auslandsstudium ist eine ganz besondere Ergänzung zum Studium: Benedikt Kottler und Hakan Demirel konnten im Rahmen einer Direktkooperation ihr Studium und ihre Forschungen für ein Semester in Brasilien durchführen. Mit Gudrun Thäter sprechen die beiden über ihre dortigen mathematischen Arbeitsgebiete und ihren Aufenthalt. Benedikt Kottler hat sich in Vorbereitung seiner Master-Arbeit mit der Molekulardynamik befasst. Er möchte die Interaktion von molekularen Partikeln im Rahmen der Kontinuumsmechanik modellieren und mit der Software OpenLB durchführen. Diese Prozesse treten schon in der Betrachtung des Wassermoleküls H_2O auf. Eine naheliegende Anwendung ist daher die Simulation von Filtrationsprozessen, wo kleine Schmutzpartikel aus einem Fluid herausgefiltert werden sollen. Das Forschungsthema von Hakan Demirel dreht sich um Feinstaub im Stadtgebiet, genauer um die drei Themen Windsimulation, Partikelsimulation und Feinstaub-Emission durch den Autoverkehr. Dazu konnte er in Brasilien auf eine Verkehrssimulation zurückgreifen und ein stochastisches Modell für Windrichtungen und -intensitäten aufstellen. Dabei hat sich ergeben, dass sich die Stadtgeometrie in der Form von Gebäuden und Straßenzügen einen großen Einfluss auf die sinnvolle Diskretisierung der Windmodelle haben und entsprechend berücksichtigt werden müssen. Die Idee für das Auslandssemester in Brasilien entstand nach einem Vortrag über die Simulationssoftware OpenLB, zu der bestehende Kooperationen zwischen Forschungseinrichtungen in Brasilien und dem KIT bestehen. Die Finanzierung wurde dabei insbesondere durch das Baden-Württemberg-Programm nach Bewerbungsphase ermöglicht. Natürlich gehört auch der Besuch von Vorlesungen zum Auslandsstudium, die teilweise für die beiden in englisch gehalten wurden- und sich teilweise von Vorlesungen in Karlsruhe unterschieden. Die positiven Kontakte zu den Studierenden und Gastfamilien in Brasilien gehören dabei genauso zum Austausch, wie die Erfahrungen unterschiedlicher bürokratischer Systeme.

Brasilien

Im Rahmen eines <a href="http://www.schule-bw.de/schularten/gymnasium/bogy/">Bogy-Praktikum</a>s hat Finn Schmidt sich mit dem <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/RSA-Kryptosystem">RSA-Verfahren</a> befasst, einem Vertreter der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Asymmetrisches_Kryptosystem">Asymmetrischen Verschlüsselungsverfahren</a> und eine elementare Basis für private Kommunikation- besonders angesichts der globalen <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Globale_%C3%9Cberwachungs-_und_Spionageaff%C3%A4re">Überwachung</a>, die 2013 nochmal besonders in die öffentliche Aufmerksamkeit rückte. Elementare Rechte, wie das im Grundgesetz gesicherte Recht auf das <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Postgeheimnis">Postgeheimnis</a> bei einem verschlossenen Briefumschlag, kann man in elektronischen Medien nur durch <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Kryptographie">Kryptoverfahren</a> erreichen. Aus mathematischer Sicht sind <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl">Primzahlen</a> grundlegende Bausteine, aus denen RSA-Schlüsselpaare, bestehend aus einem privaten und einem öffentlichen Schlüssel, bestimmt werden. Dazu werden zwei große Primzahlen multipliziert- und das Produkt im öffentlichen Schlüssel preisgegeben. Dies schützt die einzelnen Faktoren, da die Rückrechnung in Form einer <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Faktorisierungsverfahren">Faktorisierung</a> viel aufwendiger als die Multiplikation ist. Zur Betrachtung der Sicherheit des Verfahrens, muss man genau diese Verfahren untersuchen. Ein effizientes Faktorisierungsverfahren ist das <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratisches_Sieb">Quadratische Sieb</a>, das auf der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Binomische_Formeln#Formeln">dritten binomischen Formel</a> basiert. Dazu sucht man zwei Quadratzahlen, deren Differenz die zu faktorisierende Zahl ergibt, da man so eine Faktorisierung erhält. Ein noch besseres Verfahren verspricht der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Shor-Algorithmus">Shor-Algorithmus</a>, jedoch benötigt dieser zur effizienten Ausführung einen <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Quantencomputer">Quantencomputer</a>. Das RSA-Verfahren ist bei Betrachtung von Faktorisierungsmethoden auf gängigen <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Digitalrechner">Digitalrechnern</a> in dem Sinne sicher, dass die Faktorisierung um Größenordnungen aufwendiger als die Schlüsselerzeugung ist. So kann jedes gewünschte Sicherheitsniveau erreicht werden. Dies ändert sich jedoch sobald Quantencomputer in beliebiger Größe realisiert werden können, da die Faktorisierung mit dem Shor-Algorithmus unmittelbar erfolgen kann. Außerdem werden heute sicher verschlüsselte Texte eventuell mit den leistungsfähigeren Computern der Zukunft in einigen Jahren relativ leicht zu entschlüsseln sein. <h1>Literatur und Zusatzinformationen</h1><ul><li> <a href="http://www.scai.fraunhofer.de/fileadmin/download/mathematik_praxis/rsa/rsa_skript_und_arbeitsblaetter.pdf">Koziol et al: RSA – Primzahlen zur Verschlüsselung von Nachrichten</a>, Skript und Arbeitsblätter, Fraunhofer Institut Algorithmen und Wissenschaftliches Rechnen SCAI und Mathematisches Institut der Universität zu Köln.</li><li> <a href="http://www.springer.com/de/book/9783322928481">A. Beutelspacher, J. Schwenk, K.-D. Wolfenstetter: Moderne Verfahren der Kryptographie</a>, Vieweg, 2006.</li><li> <a href="http://modellansatz.de/wasserraketen">Bogy-Praktikum G. Thäter: Wasserraketen.</a> Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 49, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2015. &lt;<a href="http://modellansatz.de/wasserraketen">http://modellansatz.de/wasserraketen</a>&gt;</li><li> <a href="http://modellansatz.de/digitale-waehrungen">S. Ritterbusch: Digitale Währungen.</a> Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 32, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014. &lt;<a href="http://modellansatz.de/digitale-waehrungen">http://modellansatz.de/digitale-waehrungen</a>&gt;</li></ul>

Modellansatz 070

Im Rahmen eines Bogy-Praktikums hat Finn Schmidt sich mit dem RSA-Verfahren befasst, einem Vertreter der Asymmetrischen Verschlüsselungsverfahren und eine elementare Basis für private Kommunikation- besonders angesichts der globalen Überwachung, die 2013 nochmal besonders in die öffentliche Aufmerksamkeit rückte. Elementare Rechte, wie das im Grundgesetz gesicherte Recht auf das Postgeheimnis bei einem verschlossenen Briefumschlag, kann man in elektronischen Medien nur durch Kryptoverfahren erreichen. Aus mathematischer Sicht sind Primzahlen grundlegende Bausteine, aus denen RSA-Schlüsselpaare, bestehend aus einem privaten und einem öffentlichen Schlüssel, bestimmt werden. Dazu werden zwei große Primzahlen multipliziert- und das Produkt im öffentlichen Schlüssel preisgegeben. Dies schützt die einzelnen Faktoren, da die Rückrechnung in Form einer Faktorisierung viel aufwendiger als die Multiplikation ist. Zur Betrachtung der Sicherheit des Verfahrens, muss man genau diese Verfahren untersuchen. Ein effizientes Faktorisierungsverfahren ist das Quadratische Sieb, das auf der dritten binomischen Formel basiert. Dazu sucht man zwei Quadratzahlen, deren Differenz die zu faktorisierende Zahl ergibt, da man so eine Faktorisierung erhält. Ein noch besseres Verfahren verspricht der Shor-Algorithmus, jedoch benötigt dieser zur effizienten Ausführung einen Quantencomputer. Das RSA-Verfahren ist bei Betrachtung von Faktorisierungsmethoden auf gängigen Digitalrechnern in dem Sinne sicher, dass die Faktorisierung um Größenordnungen aufwendiger als die Schlüsselerzeugung ist. So kann jedes gewünschte Sicherheitsniveau erreicht werden. Dies ändert sich jedoch sobald Quantencomputer in beliebiger Größe realisiert werden können, da die Faktorisierung mit dem Shor-Algorithmus unmittelbar erfolgen kann. Außerdem werden heute sicher verschlüsselte Texte eventuell mit den leistungsfähigeren Computern der Zukunft in einigen Jahren relativ leicht zu entschlüsseln sein.

RSA-Faktorisierung

This episode discusses the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Born%E2%80%93Infeld_model">Born-Infeld model</a> for Electromagnetodynamics. Here, the standard model are the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell's_equations">Maxwell equations</a> coupling the interaction of <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Magnetic_field">magnetic</a> and <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Electric_field">electric field</a> with the help of a system of <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Partial_differential_equation">partial differential equations</a>. This is a well-understood classical system. But in this classical model, one serious drawback is that the action of a point <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Electric_charge">charge</a> (which is represented by a <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_delta_function">Dirac</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Measure_%28mathematics%29">measure</a> on the right-hand side) leads to an infinite energy in the electric field which physically makes no sense. On the other hand, it should be possible to study the electric field of point charges since this is how the electric field is created. One solution for this challenge is to slightly change the point of view in a way similar to <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Special_relativity">special relativity theory</a> of <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein">Einstein</a>. There, instead of taking the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Momentum">momentum</a> (<img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$mv%5E2$&amp;sig=a012f1bbf0b1c7f47ef583aa590b0401" alt="mv^2" title="mv^2" style="vertical-align: middle" width="24" height="11" />) as preserved quantity and <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_multiplier">Lagrange parameter</a> the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrangian_mechanics">Lagrangian</a> is changed in a way that the bound for the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Relative_velocity">velocity (in relativity the speed of light)</a> is incorporated in the model. In the electromagnetic model, the Lagrangian would have to restrict the intensity of the fields. This was the idea which <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Born%E2%80%93Infeld_model">Borne and Infeld</a> published already at the beginning of the last century. For the resulting system it is straightforward to calculate the fields for point charges. But unfortunately it is impossible to add the fields for several point charges (no <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Superposition_principle">superposition principle</a>) since the resulting theory (and the PDE) are <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Nonlinear_system">nonlinear</a>. Physically this expresses, that the point charges do not act independently from each other but it accounts for certain interaction between the charges. Probably this interaction is really only important if charges are near enough to each other and locally it should be only influenced by the charge nearest. But it has not been possible to prove that up to now. The <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Electrostatics">electrostatic</a> case is <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_operator">elliptic</a> but has a <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Singularity_%28mathematics%29">singularity</a> at each point charge. So no classical regularity results are directly applicable. On the other hand, there is an interesting interplay with geometry since the PDE occurs as the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Mean_curvature_flow">mean curvature</a> equation of <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Hypersurface">hypersurfaces</a> in the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Minkowski_space">Minkowski space</a> in relativity. The evolution problem is completely open. In the static case we have existence and uniqueness without really looking at the PDEs from the way the system is built. The PDE should provide at least qualitative information on the electric field. So if, e.g., there is a positive charge there could be a maximum of the field (for negative charges a minimum - respectively), and we would expect the field to be smooth outside these singular points. So a <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Lipschitz_continuity">Lipschitz</a> regular solution would seem probable. But it is open how to prove this mathematically. A special property is that the model has infinitely many inherent scales, namely all even powers of the gradient of the field. So to understand maybe asymptotic limits in theses scales could be a first interesting step. <a href="http://homepages.ulb.ac.be/~dbonheur/">Denis Bonheure</a> got his mathematical education at the <a href="http://www.ulb.ac.be/">Free University of Brussels</a> and is working there as Professor of Mathematics at the moment. <h1>Literature and additional material</h1> <ul><li> <a href="https://www.researchgate.net/publication/2090812_Electromagnetic_Field_Theory_Without_Divergence_Problems_1._The_Born_Legacy">M. Kiessling: Electromagnetic Field Theory Without Divergence Problems 1, The Born Legacy</a>, Journal of Statistical Physics, Volume 116, Issue 1, pp 1057-1122, 2004.</li><li> <a href="http://www.researchgate.net/publication/2091091_Electromagnetic_Field_Theory_Without_Divergence_Problems_2._A_Least_Invasively_Quantized_Theory"> M. Kiessling: Electromagnetic Field Theory Without Divergence Problems 2, A Least Invasively Quantized Theory</a>, Journal of Statistical Physics, Volume 116, Issue 1, pp 1123-1159, 2004.</li><li> <a href="http://inspirehep.net/record/918382?ln=de">M. Kiessling: On the motion of point defects in relativistic fields</a>, in <a href="http://link.springer.com/book/10.1007/978-3-0348-0043-3">Quantum Field Theory and Gravity, Conceptual and Mathematical Advances in the Search for a Unified Framework</a>, Finster e.a. (ed.), Springer, 2012.</li><li> <a href="http://arxiv.org/abs/math/0305009">Y. Brenier: Some Geometric PDEs Related to Hydrodynamics and Electrodynamics</a>, ICM Vol. III pp 761--772, 2002.</li></ul>

Modellansatz 069

This episode discusses the Born-Infeld model for Electromagnetodynamics. Here, the standard model are the Maxwell equations coupling the interaction of magnetic and electric field with the help of a system of partial differential equations. This is a well-understood classical system. But in this classical model, one serious drawback is that the action of a point charge (which is represented by a Dirac measure on the right-hand side) leads to an infinite energy in the electric field which physically makes no sense. On the other hand, it should be possible to study the electric field of point charges since this is how the electric field is created. One solution for this challenge is to slightly change the point of view in a way similar to special relativity theory of Einstein. There, instead of taking the momentum (mv^2) as preserved quantity and Lagrange parameter the Lagrangian is changed in a way that the bound for the velocity (in relativity the speed of light) is incorporated in the model. In the electromagnetic model, the Lagrangian would have to restrict the intensity of the fields. This was the idea which Borne and Infeld published already at the beginning of the last century. For the resulting system it is straightforward to calculate the fields for point charges. But unfortunately it is impossible to add the fields for several point charges (no superposition principle) since the resulting theory (and the PDE) are nonlinear. Physically this expresses, that the point charges do not act independently from each other but it accounts for certain interaction between the charges. Probably this interaction is really only important if charges are near enough to each other and locally it should be only influenced by the charge nearest. But it has not been possible to prove that up to now. The electrostatic case is elliptic but has a singularity at each point charge. So no classical regularity results are directly applicable. On the other hand, there is an interesting interplay with geometry since the PDE occurs as the mean curvature equation of hypersurfaces in the Minkowski space in relativity. The evolution problem is completely open. In the static case we have existence and uniqueness without really looking at the PDEs from the way the system is built. The PDE should provide at least qualitative information on the electric field. So if, e.g., there is a positive charge there could be a maximum of the field (for negative charges a minimum - respectively), and we would expect the field to be smooth outside these singular points. So a Lipschitz regular solution would seem probable. But it is open how to prove this mathematically. A special property is that the model has infinitely many inherent scales, namely all even powers of the gradient of the field. So to understand maybe asymptotic limits in theses scales could be a first interesting step. Denis Bonheure got his mathematical education at the Free University of Brussels and is working there as Professor of Mathematics at the moment.

Electrodynamics

<a href="http://www.mathematik.uni-mainz.de/Members/sh">Stefanie Hollborn</a> arbeitet an der <a href="https://www.uni-mainz.de/">Universität Mainz</a> am Thema <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Elektrische_Impedanz-Tomografie">Elektrische Impedanztomographie</a>, die im Vergleich zur <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/R%C3%B6ntgentomographie">Röntgentomographie</a> deutlich weniger schädlich ist und im Vergleich zur <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetresonanztomographie">Magnetresonanztomographie</a> deutlich preiswerter ist. Mit Hilfe von <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Elektrode">Elektroden</a> auf der Oberfläche von Objekten wird niedriger <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Elektrischer_Strom">Strom</a> auf den Rand des Objektes angelegt und anschließend die resultierende <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Elektrische_Spannung">Spannung</a> und dadurch die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Impedanz">Impedanz</a> gemessen. Mit Hilfe der daraus abgeleiteten <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Elektrische_Leitf%C3%A4higkeit">Leitfähigkeit</a>sverteilung im Schnittbild kann man dann Rückschlüsse darauf ziehen, ob im Körper Verunreinigungen vorhanden sind. Dies findet beispielsweise Anwendung bei der Sichtbarmachung, also der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Tomografie">Tomographie</a>, von <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Metastase">Krebszellen</a> oder beim Auffinden von Blasen in <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Zement">Zement</a>. Der Vorteil des Verfahrens ist, dass es billig einsetzbar und nicht schädlich für lebende Organismen ist. Außerdem sind Kontraste häufig sehr gut auflösbar. Mathematisch werden die Gleichungen für die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Elektrodynamik">Wechselwirkung von Strom- und Magnetfeld</a> als Modell zugrunde gelegt. Das <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Elektrisches_Potential">Spannungspotential</a>, das als Reaktion auf den Input vom Rand entsteht, lässt sich als Überlagerung von <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Harmonische_Funktion">harmonischen Funktionen</a> darstellen. Die Verunreinigungen sind überall da, wo eine harmonische Fortsetzung der Lösung vom Rand her nicht mehr möglich ist. Dort weicht das Feld dann nämlich vom homogenen Verhalten ab, das ohne die Verunreinigung vorliegen müsste. Frau Hollborn arbeitet insbesondere mit Daten die durch ein Paar eng nebeneinander liegende <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Elektrode">Elektroden</a> entstehen. Die Hoffnung ist, daraus ein einfach einzusetzendes Werkzeug zu machen. Mathematisch muss hier ein eindimensionales <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Randwertproblem">Randwertproblem</a> gelöst werden. Die Fortsetzung der Daten ins Innere ist jedoch ein so genanntes schlecht gestelltes Problem, bei dem <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Fehlerrechnung">Fehler</a> verstärkt werden. Dieser Begriff geht zurück auf <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Jacques_Hadamard">Jacques Hadamard</a>, der den Begriff der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Korrekt_gestelltes_Problem">gut gestellten Probleme</a> eingeführt hat. Deshalb benutzt man insbesondere Vorwissen, um die Lösungen zu <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Regularisierung">Regularisieren</a> bzw. die regulären Lösungen aus der Schar aller möglichen Lösungen auszuwählen. Stefanie Hollborn hat sowohl <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Philosophie">Philosophie</a> als auch <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Mathematik">Mathematik</a> studiert. Für beide Gebiete ist die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Logik">Logik</a> ein fundamentales Konzept, wobei die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%A4dikatenlogik">formale mathematische Beschreibung</a> ihre Anwendung sehr erleichtert. <h1>Literatur und weiterführende Informationen</h1> <ul><li> <a href="http://www.caam.rice.edu/~borcea/Publications/EIT.pdf">L. Borcea: Electrical impedance tomography</a>, Inverse Probl. 18, R99-R136, 2002.</li><li> <a href="http://www.jstor.org/stable/2653168?origin=JSTOR-pdf&amp;seq=1#page_scan_tab_contents">M. Cheney, D. Isaacson, J. Newell: Electrical impedance tomography</a>, SIAM Rev. 41, No.1, 85-101, 1999.</li><li> <a href="http://www.numerik.mathematik.uni-mainz.de/~hanke/jogu.pdf">M. Brühl, M. Hanke-Bourgeois: Kann die Mathematik der elektrischen Impedanztomographie zum Durchbruch verhelfen?</a> Beitrag im Forschungsmagazin der Johannes Gutenberg-Universität Mainz, 2000.</li><li> <a href="http://www.mathematik.uni-mainz.de/sh/inverse-backscattering-in-eit">M. Hanke, S. Reusswig, N. Hyvönen: An inverse backscatter problem for electric impedance tomography</a>, SIAM J. Math. Anal. 41.5, 1948-1966, 2009.</li><li> <a href="http://www.mathematik.uni-mainz.de/sh/eit_rueckstreuproblem">S. Hollborn: Wie zwei Elektroden tiefe Einblicke gewähren</a></li></ul>

Modellansatz 068

Stefanie Hollborn arbeitet an der Universität Mainz am Thema Elektrische Impedanztomographie, die im Vergleich zur Röntgentomographie deutlich weniger schädlich ist und im Vergleich zur Magnetresonanztomographie deutlich preiswerter ist. Mit Hilfe von Elektroden auf der Oberfläche von Objekten wird niedriger Strom auf den Rand des Objektes angelegt und anschließend die resultierende Spannung und dadurch die Impedanz gemessen. Mit Hilfe der daraus abgeleiteten Leitfähigkeitsverteilung im Schnittbild kann man dann Rückschlüsse darauf ziehen, ob im Körper Verunreinigungen vorhanden sind. Dies findet beispielsweise Anwendung bei der Sichtbarmachung, also der Tomographie, von Krebszellen oder beim Auffinden von Blasen in Zement. Der Vorteil des Verfahrens ist, dass es billig einsetzbar und nicht schädlich für lebende Organismen ist. Außerdem sind Kontraste häufig sehr gut auflösbar. Mathematisch werden die Gleichungen für die Wechselwirkung von Strom- und Magnetfeld als Modell zugrunde gelegt. Das Spannungspotential, das als Reaktion auf den Input vom Rand entsteht, lässt sich als Überlagerung von harmonischen Funktionen darstellen. Die Verunreinigungen sind überall da, wo eine harmonische Fortsetzung der Lösung vom Rand her nicht mehr möglich ist. Dort weicht das Feld dann nämlich vom homogenen Verhalten ab, das ohne die Verunreinigung vorliegen müsste. Frau Hollborn arbeitet insbesondere mit Daten die durch ein Paar eng nebeneinander liegende Elektroden entstehen. Die Hoffnung ist, daraus ein einfach einzusetzendes Werkzeug zu machen. Mathematisch muss hier ein eindimensionales Randwertproblem gelöst werden. Die Fortsetzung der Daten ins Innere ist jedoch ein so genanntes schlecht gestelltes Problem, bei dem Fehler verstärkt werden. Dieser Begriff geht zurück auf Jacques Hadamard, der den Begriff der gut gestellten Probleme eingeführt hat. Deshalb benutzt man insbesondere Vorwissen, um die Lösungen zu Regularisieren bzw. die regulären Lösungen aus der Schar aller möglichen Lösungen auszuwählen. Stefanie Hollborn hat sowohl Philosophie als auch Mathematik studiert. Für beide Gebiete ist die Logik ein fundamentales Konzept, wobei die formale mathematische Beschreibung ihre Anwendung sehr erleichtert.

Impedanztomographie

Wie wirkt sich die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Balkentheorie#Biegesteifigkeit_und_Biegespannung">Biegesteifigkeit</a> von <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Klavier">Klaviersaiten</a> auf die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Klavierstimmer">Stimmung</a> aus? Dieser Frage ist Niels Ranosch nachgegangen und erklärt uns im Gespräch mit <a href="http://www.math.kit.edu/ianm4/~thaeter/de">Gudrun Thäter</a> seine Ergebnisse. Das <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingung">Schwingen</a> von Klaviersaiten wird oft mit mit der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Wellengleichung">Wellengleichung</a> modelliert und simuliert; die Annahme ist hier, dass die Saite unendlich dünn ist. Betrachtet man die Saite jedoch mit realistischer Querschnittsfläche, so treten durch <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Dehnung">Dehnung</a> und <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Stauchung">Stauchung</a> weitere Kräfte im Material auf, und man muss in einem erweiterten Modell gerade für dicke oder kurze Saiten die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Balkentheorie#Biegesteifigkeit_und_Biegespannung">Biegesteifigkeit</a> der Saiten berücksichtigen. Die Wellengleichung ist eine <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Differentialgleichung">partielle Differentialgleichung</a>, die die Auslenkung der Saite mit <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Ableitung">zweiten Ableitungen im Raum und Zeit</a> beschreibt. Zur Erweiterung des Modells wurde die Saite in einzelne Teilfasern aufgeteilt, für die jeweils einzeln die Biegesteifigkeit berücksichtigt wurde. Beim Übergang zu unendliche dünnen Teilfasern erhält man eine erweiterte Differentialgleichung, in der nun auch Raumableitungen vierter Ordnung auftreten. Bei der Lösung des erweiterten Modells ergibt sich nun, dass die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Oberton">Obertöne</a> nicht perfekte Vielfache des <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Grundton">Grundtons</a> sind, und daher bei genauer Stimmung des Grundtons nicht harmonisch zu höheren Tönen wären. Daher werden die Grundtöne der Saiten absichtlich leicht verstimmt, damit die Obertöne akzeptabel zu höheren Tönen passen. Ein weiteres Problem für die Harmonie auf dem Klavier liegt im <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Quintenzirkel">Quintenzirkel</a> oder am <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoreisches_Komma">Pythagoreischen Komma</a>: Grundsätzlich kann man nicht gleichzeitig <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Quinte">Quinten</a> mit Frequenzverhältnis 3/2 und <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Oktave">Oktaven</a> mit Frequenzverhältnis 2 auf einem Klavier perfekt stimmen; man kann durch Multiplikation mit 3/2 kein Vielfaches von 2 erreichen. Nach 12 Quinten kommt man dem Ton nach 7 Oktaven sehr nahe, und dies wurde als Grundlage für das Klavier mit 12 Tasten pro Oktave gewählt. Den Fehler versucht man dann mit <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Stimmung_%28Musik%29">unterschiedlichen Stimmungen</a> irgendwie erträglich zu machen, wie mit der heutzutage gängigen <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Gleichstufige_Stimmung">gleichstufigen Stimmung</a>. <h1>Literatur und weiterführende Informationen</h1> <ul><li> <a href="http://www.musimathics.com/">Gareth Loy: Musimathics</a>, MIT Press, 2007.</li><li> <a href="http://coewww.rutgers.edu/~benaroya/publications/Han%20Benaroya%20and%20Wei%20JSV.pdf">S. M. Han, H. Benaroya, T. Wei: Dynamics of transversely vibrating beams using four engineering theories</a>, Journal of sound and vibration 225.5: 935-988, 1999.</li></ul>

Modellansatz 067

Wie wirkt sich die Biegesteifigkeit von Klaviersaiten auf die Stimmung aus? Dieser Frage ist Niels Ranosch nachgegangen und erklärt uns im Gespräch mit Gudrun Thäter seine Ergebnisse. Das Schwingen von Klaviersaiten wird oft mit mit der Wellengleichung modelliert und simuliert; die Annahme ist hier, dass die Saite unendlich dünn ist. Betrachtet man die Saite jedoch mit realistischer Querschnittsfläche, so treten durch Dehnung und Stauchung weitere Kräfte im Material auf, und man muss in einem erweiterten Modell gerade für dicke oder kurze Saiten die Biegesteifigkeit der Saiten berücksichtigen. Die Wellengleichung ist eine partielle Differentialgleichung, die die Auslenkung der Saite mit zweiten Ableitungen im Raum und Zeit beschreibt. Zur Erweiterung des Modells wurde die Saite in einzelne Teilfasern aufgeteilt, für die jeweils einzeln die Biegesteifigkeit berücksichtigt wurde. Beim Übergang zu unendliche dünnen Teilfasern erhält man eine erweiterte Differentialgleichung, in der nun auch Raumableitungen vierter Ordnung auftreten. Bei der Lösung des erweiterten Modells ergibt sich nun, dass die Obertöne nicht perfekte Vielfache des Grundtons sind, und daher bei genauer Stimmung des Grundtons nicht harmonisch zu höheren Tönen wären. Daher werden die Grundtöne der Saiten absichtlich leicht verstimmt, damit die Obertöne akzeptabel zu höheren Tönen passen. Ein weiteres Problem für die Harmonie auf dem Klavier liegt im Quintenzirkel oder am Pythagoreischen Komma: Grundsätzlich kann man nicht gleichzeitig Quinten mit Frequenzverhältnis 3/2 und Oktaven mit Frequenzverhältnis 2 auf einem Klavier perfekt stimmen; man kann durch Multiplikation mit 3/2 kein Vielfaches von 2 erreichen. Nach 12 Quinten kommt man dem Ton nach 7 Oktaven sehr nahe, und dies wurde als Grundlage für das Klavier mit 12 Tasten pro Oktave gewählt. Den Fehler versucht man dann mit unterschiedlichen Stimmungen irgendwie erträglich zu machen, wie mit der heutzutage gängigen gleichstufigen Stimmung.

Klavierstimmung

<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Nanophotonics">Nanophotonics</a> is one great path into our future since it renders possible to build e.g. absorber, emitter or amplifier on a scale of a few dozen <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Nanometre">nanometers</a>. To use this effectively we will have to understand firstly the resonances of plasmons and secondly the interaction of electromagnetic waves with complex media. Here on the one hand we can model light as waves and describe what is happening for the different frequencies of monochromatic light waves. We have to model the evolution in air or in more complex media. On the other hand - taking the more particle centered point of view - we can try to model the reaction of the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Photon">photons</a> to certain stimuli. The modelling is still in progress and explored in many different ways. The main focus of our guest <a href="http://math.unice.fr/~cscheid/">Claire Scheid</a> who is working on nanophotonics is to solve the corresponding partial differential equations numerically. It is challenging that the nanoscale-photons have to be visible in a discretization for a makro domain. So one needs special ideas to have a geometrical description for changing properties of the material. Even on the fastest available computers it is still the bottleneck to make these computations fast and precise enough. A special property which has to be reflected in the model is the delay in response of a photon to incoming light waves - also depending on the frequency of the light (which is connected to its velocity- also known as <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Dispersion_%28optics%29">dispersion</a>). So an equation for the the evolution of the electron polarization must be added to the standard model (which is the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell%27s_equations">Maxwell system</a>). One can say that the model for the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Permeability_%28electromagnetism%29">permeability</a> has to take into account the whole history of the process. Mathematically this is done through a <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Convolution">convolution operator</a> in the equation. There is also the possibility to explain the same phenomenon in the frequency space as well. In general the work in this field is possible only in good cooperation and interdisciplinary interaction with physicists - which also makes it especially interesting. Since 2009 <a href="http://www-sop.inria.fr/nachos/">Claire Scheid</a> works at <a href="http://www.inria.fr/centre/sophia">INRIA méditerranée</a> in Sophia-Antipolis as part of the <a href="http://www-sop.inria.fr/nachos/pmwiki-2.2.6/pmwiki.php">Nachos</a>-Team and is teaching at the university of Nice as a member of the <a href="http://math.unice.fr/laboratoire/pr%C3%A9sentation-du-laboratoire">Laboratoire Dieudonné</a>. She did her studies at the <a href="http://www.ens-lyon.eu/ecole-normale-superieure-de-lyon-accueil-77247.kjsp">Ecole Normale Superieure in Lyon</a> and later in Paris VI (<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Pierre_and_Marie_Curie_University">Université Pierre et Marie Curie</a>). For her PhD she changed to Grenoble and spent two years as Postdoc at the <a href="https://www.uio.no/english/">university in Oslo</a> (Norway). <h1>Literature and additional material</h1> <ul><li> <a href="http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0377042713007152">R. Léger, J. Viquerat, C. Durochat, C. Scheid and S. Lanteri: A parallel non-confoming multi-element DGTD method for the simulation of electromagnetic wave interaction with metallic nanoparticles</a>, J. Comput. Appl. Math. Vol 270, p. 330-342, 2014.</li><li> <a href="http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1569441013000400">S. Descombes, C. Durochat, S. Lanteri, L. Moya, C. Scheid, J. Viquerat: Recent advances on a DGTD method for time-domain electromagnetism</a>, Photonics and Nanostructures, Volume 11, issue 4, 291-302, 2013.</li><li> <a href="http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/lpor.201000045/abstract">K. Busch, M. König, J. Niegemann: Discontinuous Galerkin methods in nanophotonics</a>, Laser and Photonics Reviews, 5, pp. 1–37, 2011.</li></ul>

Modellansatz 066

Nanophotonics is one great path into our future since it renders possible to build e.g. absorber, emitter or amplifier on a scale of a few dozen nanometers. To use this effectively we will have to understand firstly the resonances of plasmons and secondly the interaction of electromagnetic waves with complex media. Here on the one hand we can model light as waves and describe what is happening for the different frequencies of monochromatic light waves. We have to model the evolution in air or in more complex media. On the other hand - taking the more particle centered point of view - we can try to model the reaction of the photons to certain stimuli. The modelling is still in progress and explored in many different ways. The main focus of our guest Claire Scheid who is working on nanophotonics is to solve the corresponding partial differential equations numerically. It is challenging that the nanoscale-photons have to be visible in a discretization for a makro domain. So one needs special ideas to have a geometrical description for changing properties of the material. Even on the fastest available computers it is still the bottleneck to make these computations fast and precise enough. A special property which has to be reflected in the model is the delay in response of a photon to incoming light waves - also depending on the frequency of the light (which is connected to its velocity- also known as dispersion). So an equation for the the evolution of the electron polarization must be added to the standard model (which is the Maxwell system). One can say that the model for the permeability has to take into account the whole history of the process. Mathematically this is done through a convolution operator in the equation. There is also the possibility to explain the same phenomenon in the frequency space as well. In general the work in this field is possible only in good cooperation and interdisciplinary interaction with physicists - which also makes it especially interesting. Since 2009 Claire Scheid works at INRIA méditerranée in Sophia-Antipolis as part of the Nachos-Team and is teaching at the university of Nice as a member of the Laboratoire Dieudonné. She did her studies at the Ecole Normale Superieure in Lyon and later in Paris VI (Université Pierre et Marie Curie). For her PhD she changed to Grenoble and spent two years as Postdoc at the university in Oslo (Norway).

Nanophotonics

Modellansatz 065

Im Rahmen des ersten Alumnitreffens im neu renovierten Mathematikgebäude gibt uns unser Alumnus Markus Even einen Einblick in seine Arbeit als Mathematiker am Fraunhofer IOSB, dem Fraunhofer-Institut für Optronik, Systemtechnik und Bildauswertung in Ettlingen in der Arbeitsgruppe zur Analyse und Visualisierung von SAR-Bilddaten. Er befasst sich mit der Entwicklung von Algorithmen für die Fernerkundung, genauer gesagt für die Deformationsanalyse mit Hilfe von SAR-Interferometrie (InSAR). Deformation bezieht sich hier auf Bewegungen der Erdkruste oder auf ihr befindlicher Strukturen, z.B. von Bauwerken. Hinter dem Stichwort SAR-Interferometrie verbirgt sich eine Vielfalt von Verfahren der Fernerkundung, die auf Synthetic Aperture Radar, auf Deutsch Radar mit synthetischer Apertur, beruhen, und die die Fähigkeit der Sensorik ein kohärentes Signal zu verarbeiten zur Erzeugung sogenannter Interferogramme nutzen. Für SAR ist es wesentlich, dass der Sensor bewegt wird. Zu diesem Zweck ist er auf einen Satelliten, ein Flugzeug oder auch auf einem auf Schienen laufenden Schlitten montiert. Für die Mehrzahl der Anwendungen wird er entlang einer näherungsweise geradlinigen Bahn bewegt und sendet in festen Zeitabständen elektromagnetische Signale im Mikrowellenbereich aus, deren Returns er, unterteilt in sehr kurze Zeitintervalle, aufzeichnet. Dabei "blickt" er schräg nach unten, um nicht systematisch von zwei verschiedenen Orten der Erdoberfläche rückkehrende Signale zu vermischen. Herauszuheben ist, dass er unabhängig von der Tageszeit- er beleuchtet die Szene selbst- und weitgehend unabhängig von den Wetterverhältnissen- die Atmosphäre verzögert das Signal, ist aber für diese Wellenlängen (ca. 3cm-85cm) bis auf seltene Ausnahmen durchlässig dafür- Aufnahmen machen kann. Dies ist ein Vorzug gegenüber Sensoren, die im optischen oder infraroten Teil des Spektrums arbeiten, und nachts oder bei Bewölkung nicht die gewünschten Informationen liefern können. Neben der Magnitude des rückgestreuten Signals zeichnet der SAR-Sensor auch dessen Phasenverschiebung gegenüber einem Referenzoszillator auf, die die Grundlage für die Interferometrie darstellt und viele Anwendungsmöglichkeiten bietet. Aus dem aufgezeichneten Signal wird das sogenannte fokusierte Bild berechnet. (Mathematisch gesehen handelt es sich bei dieser Aufgabe um ein inverses Problem.) Die Achsen dieses komplexwertigen Bildes entsprechen eine der Position des Satelliten auf seiner Bahn und die andere der Laufzeit des Signals. Der Zahlenwert eines Pixels kann vereinfacht als Mittel der aufgezeichneten Rückstreuung aus dem Volumen angesehen werden, dass durch das jeweilige Paar aus Bahninterval und Laufzeitinterval definiert ist. Dies ist der Kern von SAR: Die Radarkeule erfasst eine größere Fläche auf dem Boden, so dass das aufgezeichnete Signal aus der Überlagerung aller zurückkehrenden Wellen besteht. Diese Überlagerung wird durch die Fokusierung rückgängig gemacht. Dazu benutzt man, dass ein Auflösungselement am Boden zu allen Returns beiträgt, solange es von der Radarkeule erfasst wird und dabei eine bekannte Entfernungskurve durchläuft. Die Magnitude des sich so ergebenden Bildes erinnert bei hochaufgelösten Aufnahmen auf den ersten Blick an eine Schwarzweißphotographie. Betrachtet man sie jedoch genauer, so stellt man schnell Unterschiede fest. Erhabene Objekte kippen zum Sensor, da die höhergelegenen Punkte näher zu ihm liegen. Hohe Werte der Magnitude, also hohe Rückstreuung, sind in der Regel mit günstigen geometrischen Konstellationen verbunden: Eine ebene Fläche muss dazu beispielsweise senkrecht zum einfallenden Signal ausgerichtet sein, was selten der Fall ist. Geht man an die Grenze des aktuell Möglichen und betrachtet ein Bild einer städtischen Umgebung eines luftgetragenen Sensors mit wenigen Zentimetern Auflösung, so scheint es beinahe in punktförmige Streuer zu zerfallen. Diese werden durch dihedrale (Pfosten) und- häufiger- trihedrale Strukturen erzeugt. (...)

InSAR - SAR-Interferometrie

<a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Photobioreaktor">Photobioreaktoren</a> sind eine große Hoffnung für unsere Zukunft ohne Erdöl. Sie nutzen die Tatsache aus, dass verschiedenste <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Alge">Algensorten</a> für uns nützliche Stoffe produzieren können. Im einfachsten Fall Futter für unsere Tiere, aber auch <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Bioethanol">Äthanol</a> als Treibstoff oder allgemein als Energieträger. Bei <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%BCnalge">Grünalgen</a> ist die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Photosynthese">Photosynthese</a> der wichtige Stoffwechselprozess, der natürlich auch Licht braucht und Kohlendioxid. Bevor Photobioreaktoren wirklich effektiv arbeiten können, müssen jedoch viele Aspekte des Prozesses noch viel besser verstanden werden. Hier stehen wir erst am Anfang der Entwicklung. Judith Kolbe hat in ihrer Masterarbeit ein Modell erprobt, das die Verklumpung (technisch: <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Flocculation">Agglomeration</a>) von Algen beim Fließen durch geschlossene Zylinder beschreiben soll. Das Anliegen ist, durch vorherige Simulation die Bedingungen im Reaktor so zu optimieren, dass die Verklumpung möglichst vermieden wird, damit es nicht zu Fäule und zum Absterben der Algen kommt. Besondere Effekte am Rand des Behälters wurden hier zunächst gar nicht betrachtet. Als Beispielfall wurden sehr kleine Algen- <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Mikroorganismus">Mikroorganismen</a>- betrachtet, für die die eigene Geometrie keine allzu große Rolle bei der Verklumpung spielt. Der wichtigste Aspekt im Modell ist die Annahme, dass die kugelförmigen Partikel einen Schmierfilm auf ihrer Oberfläche tragen. Zwei Partikel, die während ihrer Bewegung im <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Fluid">Fluid</a> zufällig zusammenstloßen, verschmelzen zu einem größeren, wenn die umgesetzte Energie im Schierfilm <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Dissipation">dissipieren</a> kann. Die Strömung des Trägerfluids geht hier vor allem als Kraftwirkung auf die Algenpartikel ein (inklusive der Bewegungsrichtung). Der Vorteil dieses Modells ist zum einen, dass es so einfach ist, dass es nur wenige Parameter benötigt und zum anderen, dass die Interpretation der Ergebnisse klar ist (im sogenannten <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Postprocessing">Postprocessing</a>). Ein großer Nachteil ist, dass die Zahl der Partikel, die man einzeln so behandeln kann, durch die Rechenstärke schnell sehr stark eingeschränkt wird, selbst wenn ausgenutzt wird, dass man die Rechnungen hervorragend <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Parallelrechner">parallelisieren</a> kann. Deshalb wurde in der Arbeit schließlich auch nur ein prototypischer Würfel von 4mm Seitenlänge in der Mitte des zylindrischen Reaktors simuliert. <h1>Literatur und weiterführende Informationen</h1> <ul><li> <a href="http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-8274-2477-8_7">H. Chmiel: Bioreaktoren</a>, Bioprozesstechnik, Spektrum Akademischer Verlag, 2011.</li><li> <a href="https://www.crcpress.com/Multiphase-Flows-with-Droplets-and-Particles-Second-Edition/Crowe-Schwarzkopf-Sommerfeld-Tsuji/9781439840504">C. T. Crowe, J. D. Schwarzkopf, M. Sommerfeld, Y. Tsuji: Multiphase flows with droplets and particles</a>, CRC press, 2011.</li><li> <a href="http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/003259109180189P">B. J. Ennis, G. Tardos, R. Pfeffer: A microlevel-based characterization of granulation phenomena</a>, Powder Technology, 65(1), 257-272, 1991.</li><li> <a href="http://www.springer.com/de/book/9783540442479">D. Hänel: Molekulare Gasdynamik: Einführung in die kinetische Theorie der Gase und Lattice-Boltzmann-Methoden</a>, Springer-Verlag, 2006.</li><li> <a href="http://tocs.ulb.tu-darmstadt.de/17090830.pdf">W. Pietsch, Wolfgang: Size enlargement by agglomeration</a>, New York, Wiley, 1991.</li><li> <a href="http://www.konscience.de/2014/02/kns015-erstmal-die-chinchillas-ruhigstellen/#t=35:40">Podcast Konscience KNS015: Energie aus Biomasse</a>, Erstmal die Chinchillas ruhigstellen, 2014.</li></ul>

Modellansatz 064

Photobioreaktoren sind eine große Hoffnung für unsere Zukunft ohne Erdöl. Sie nutzen die Tatsache aus, dass verschiedenste Algensorten für uns nützliche Stoffe produzieren können. Im einfachsten Fall Futter für unsere Tiere, aber auch Äthanol als Treibstoff oder allgemein als Energieträger. Bei Grünalgen ist die Photosynthese der wichtige Stoffwechselprozess, der natürlich auch Licht braucht und Kohlendioxid. Bevor Photobioreaktoren wirklich effektiv arbeiten können, müssen jedoch viele Aspekte des Prozesses noch viel besser verstanden werden. Hier stehen wir erst am Anfang der Entwicklung. Judith Kolbe hat in ihrer Masterarbeit ein Modell erprobt, das die Verklumpung (technisch: Agglomeration) von Algen beim Fließen durch geschlossene Zylinder beschreiben soll. Das Anliegen ist, durch vorherige Simulation die Bedingungen im Reaktor so zu optimieren, dass die Verklumpung möglichst vermieden wird, damit es nicht zu Fäule und zum Absterben der Algen kommt. Besondere Effekte am Rand des Behälters wurden hier zunächst gar nicht betrachtet. Als Beispielfall wurden sehr kleine Algen- Mikroorganismen- betrachtet, für die die eigene Geometrie keine allzu große Rolle bei der Verklumpung spielt. Der wichtigste Aspekt im Modell ist die Annahme, dass die kugelförmigen Partikel einen Schmierfilm auf ihrer Oberfläche tragen. Zwei Partikel, die während ihrer Bewegung im Fluid zufällig zusammenstloßen, verschmelzen zu einem größeren, wenn die umgesetzte Energie im Schierfilm dissipieren kann. Die Strömung des Trägerfluids geht hier vor allem als Kraftwirkung auf die Algenpartikel ein (inklusive der Bewegungsrichtung). Der Vorteil dieses Modells ist zum einen, dass es so einfach ist, dass es nur wenige Parameter benötigt und zum anderen, dass die Interpretation der Ergebnisse klar ist (im sogenannten Postprocessing). Ein großer Nachteil ist, dass die Zahl der Partikel, die man einzeln so behandeln kann, durch die Rechenstärke schnell sehr stark eingeschränkt wird, selbst wenn ausgenutzt wird, dass man die Rechnungen hervorragend parallelisieren kann. Deshalb wurde in der Arbeit schließlich auch nur ein prototypischer Würfel von 4mm Seitenlänge in der Mitte des zylindrischen Reaktors simuliert.

Photobioreaktoren

<a href="http://jones.math.unibas.ch/~bandle/">Catherine Bandle</a> war bis 2003 Professorin am <a href="https://math.unibas.ch/institut/ueber-uns/">Mathematischen Institut</a> der <a href="https://www.unibas.ch/de">Universität in Basel</a>. Aber auch über die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Emeritierung">Emeritierung</a> hinaus ist sie sehr rege in der Forschung zu <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Elliptische_partielle_Differentialgleichung">elliptischen</a> und <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Parabolische_partielle_Differentialgleichung">parabolischen partiellen Differentialgleichungen</a>. Das zeigt sich an einer beeindruckenden Zahl von Publikationen, der Teilnahme an Tagungen und im Einbringen ihrer Erfahrung in die Tätigkeit von Gremien wie dem <a href="http://www.landeshochschulrat.brandenburg.de">Landeshochschulrat Brandenburg</a> und dem <a href="http://www.esf.org/index.php?id=1969">Steering Committee of the European Science Foundation program: Global and Geometric Aspects of Nonlinear Partial Differential Equations</a>. Ihre Faszination für die Vielseitigkeit dieses Themas in den Anwendungen und die Zusammenhänge zur Geometrie haben sich über viele Jahrzehnte erhalten. Für den Workshop <a href="http://www.math.kit.edu/iana2/event/nonl.%20pde%20days/de">Nonlinear Days 2015</a> wurde sie für einen Hauptvortrag nach Karlsruhe eingeladen. Wir haben diese Gelegenheit genutzt, das Thema der Modellbildung mit Hilfe von partiellen Differentialgleichungen mit ihr etwas allgemeiner zu beleuchten. Traditionell stehen elliptische wie parabolische Gleichungen am Beginn der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Mathematisches_Modell">modernen Modellbildung</a> von Prozessen in der Physik, der Biologie und Chemie. Hier sind es <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Diffusion">Diffusions-</a>, <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Chemische_Reaktion">Reaktions-</a>, <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Transportgleichung">Transport-</a> und <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Wachstum_%28Mathematik%29">Wachstumsprozesse</a>, die zunächst durch <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Gew%C3%B6hnliche_Differentialgleichung">gewöhnliche Differentialgleichungen</a> beschrieben wurden. Allerdings waren vor etwa 150 Jahren die Anwendungen in Teilen schon zu komplex für dieses zu einfache Modell. Abhängigkeiten von Veränderungen in allen Raum- und der Zeitrichtung sollten interagierend erfasst werden. Das führte zwingend auf die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Differentialgleichung">partiellen Differentialgleichungen</a>. Mit dem Aufstellen der Gleichungen verband sich die Hoffnung, durch die zugehörigen Lösungen Vorhersagen treffen zu können. Um diese Lösungen zu finden, brauchte es aber ganz neue Konzepte. Am Anfang der Entwicklung standen beispielsweise die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Fourierreihe">Fourierreihen</a>, die (unter den richtigen Voraussetzungen) eine Darstellung solcher Lösungen sein können. Werkzeuge wie <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Fourier-Transformation">Fourier-</a> und <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Laplace-Transformation">Lapalacetransformation</a> konnten zumindest für bestimmte Geometrien hilfreiche Antworten geben. Später wurder der Begriff der schwachen Lösung bzw. <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Finite-Elemente-Methode#Schwache_Formulierung">schwachen Formulierung</a> geprägt und die damit verbundenen <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Sobolev-Raum">Sobolevräume</a> auf verschiedenen Wegen entwickelt und untersucht. Die Suche nach den Lösungen der Gleichungen hat damit die theoretische Entwicklung in der Mathematik stark vorangetrieben. Heute sind wir froh, dass wir in der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_gew%C3%B6hnliche_Differentialgleichung">linearen Theorie</a> (siehe auch <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Lemma_von_Lax-Milgram">Lemma von Lax-Milgram</a>) vieles verstanden haben und versuchen uns Stück für Stück nichtlineare Modellen anzueignen. Ein erster Schritt ist häufig eine lokale Linearisierung oder das Zulassen von Nichtlinearitäten in untergeordneten Termen (<a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Parabolische_partielle_Differentialgleichung#Semilineare_parabolische_Differentialgleichungen_in_n.2B1_Dimensionen">semilineare Probleme</a>). Ein integraler Bestandteil ist hier jedoch auch die Möglichkeit, mehr als eine Lösung der Gleichung zu haben und wir brauchen deshalb Konzepte, die physikalisch relevante unter ihnen zu finden. Hier sind Konzepte der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Stabilit%C3%A4t_%28Numerik%29">Stabilität</a> wichtig. Nur stabile Lösungen sind solche, die zu beobachtbaren Phänomenen führen. Wichtige Werkzeuge in der Lösungstheorie sind auch die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Norm_%28Mathematik%29#Normen_auf_unendlichdimensionalen_Vektorr.C3.A4umen">Normen</a>, in denen wir unsere Lösungen messen. Am überzeugendsten ist es, wenn sich Normen in Energien des Systems übersetzen lassen. Dann kann man auch die Stabilität im Rahmen von Energieerhaltung und Energieminimierung diskutieren. <h1>Literatur und Zusatzinformationen</h1> <ul><li> <a href="https://www.unibas.ch/dam/Oeffentliche-Dokumente/Publikationen__Publications/UniNovaWissenschaftsmagazin__UniNovaResearchMagazine/UNINOVA_087_DE/UNI_NOVA_87.pdf">Catherine Bandle: Die Mathematik als moderne Weltsprache - Am Beispiel der Differenzialgleichungen</a>, UniNova Wissenschaftsmagazin der Universität Basel, Band 87, 2000.</li><li> <a href="https://www3.mathematik.tu-darmstadt.de/evs/e/32.html?evsver=162&amp;evsdir=211&amp;evsfile=epd03.pdf">R.Farwig: Skript zu Elementaren Differentialgleichungen</a>, Technische Universität Darmstadt, 2008.</li><li> <a href="https://youtu.be/LYsIBqjQTdI?list=PLF6061160B55B0203">Videos zu PDEs</a> (in Englisch)</li><li> <a href="https://youtu.be/g5Y25jsliFk">Video zur Fourierreihenidee</a> auf Deutsch</li></ul>

Modellansatz 063

Catherine Bandle war bis 2003 Professorin am Mathematischen Institut der Universität in Basel. Aber auch über die Emeritierung hinaus ist sie sehr rege in der Forschung zu elliptischen und parabolischen partiellen Differentialgleichungen. Das zeigt sich an einer beeindruckenden Zahl von Publikationen, der Teilnahme an Tagungen und im Einbringen ihrer Erfahrung in die Tätigkeit von Gremien wie dem Landeshochschulrat Brandenburg und dem Steering Committee of the European Science Foundation program: Global and Geometric Aspects of Nonlinear Partial Differential Equations. Ihre Faszination für die Vielseitigkeit dieses Themas in den Anwendungen und die Zusammenhänge zur Geometrie haben sich über viele Jahrzehnte erhalten. Für den Workshop Nonlinear Days 2015 wurde sie für einen Hauptvortrag nach Karlsruhe eingeladen. Wir haben diese Gelegenheit genutzt, das Thema der Modellbildung mit Hilfe von partiellen Differentialgleichungen mit ihr etwas allgemeiner zu beleuchten. Traditionell stehen elliptische wie parabolische Gleichungen am Beginn der modernen Modellbildung von Prozessen in der Physik, der Biologie und Chemie. Hier sind es Diffusions-, Reaktions-, Transport- und Wachstumsprozesse, die zunächst durch gewöhnliche Differentialgleichungen beschrieben wurden. Allerdings waren vor etwa 150 Jahren die Anwendungen in Teilen schon zu komplex für dieses zu einfache Modell. Abhängigkeiten von Veränderungen in allen Raum- und der Zeitrichtung sollten interagierend erfasst werden. Das führte zwingend auf die partiellen Differentialgleichungen. Mit dem Aufstellen der Gleichungen verband sich die Hoffnung, durch die zugehörigen Lösungen Vorhersagen treffen zu können. Um diese Lösungen zu finden, brauchte es aber ganz neue Konzepte. Am Anfang der Entwicklung standen beispielsweise die Fourierreihen, die (unter den richtigen Voraussetzungen) eine Darstellung solcher Lösungen sein können. Werkzeuge wie Fourier- und Lapalacetransformation konnten zumindest für bestimmte Geometrien hilfreiche Antworten geben. Später wurder der Begriff der schwachen Lösung bzw. schwachen Formulierung geprägt und die damit verbundenen Sobolevräume auf verschiedenen Wegen entwickelt und untersucht. Die Suche nach den Lösungen der Gleichungen hat damit die theoretische Entwicklung in der Mathematik stark vorangetrieben. Heute sind wir froh, dass wir in der linearen Theorie (siehe auch Lemma von Lax-Milgram) vieles verstanden haben und versuchen uns Stück für Stück nichtlineare Modellen anzueignen. Ein erster Schritt ist häufig eine lokale Linearisierung oder das Zulassen von Nichtlinearitäten in untergeordneten Termen (semilineare Probleme). Ein integraler Bestandteil ist hier jedoch auch die Möglichkeit, mehr als eine Lösung der Gleichung zu haben und wir brauchen deshalb Konzepte, die physikalisch relevante unter ihnen zu finden. Hier sind Konzepte der Stabilität wichtig. Nur stabile Lösungen sind solche, die zu beobachtbaren Phänomenen führen. Wichtige Werkzeuge in der Lösungstheorie sind auch die Normen, in denen wir unsere Lösungen messen. Am überzeugendsten ist es, wenn sich Normen in Energien des Systems übersetzen lassen. Dann kann man auch die Stabilität im Rahmen von Energieerhaltung und Energieminimierung diskutieren.

Sprache PDGL

To separate one single instrument from the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustics">acoustic sound</a> of a whole orchestra- just by knowing its exact position- gives a good idea of the concept of wave splitting, the research topic of <a href="http://www.ann.jussieu.fr/~kray/eng-cv.html">Marie Kray</a>. Interestingly, an approach for solving this problem was found by the investigation of side-effects of absorbing boundary conditions (ABC) for <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Wave_equation">time-dependent wave problems</a>- the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Perfectly_matched_layer">perfectly matched layers</a> are an important example for ABCs. <a href="http://www.ann.jussieu.fr/~kray/eng-cv.html">Marie Kray</a> works in the <a href="https://math.unibas.ch/research/numerical-analysis/">Numerical Analysis group of Prof. Grote</a> in <a href="http://math.unibas.ch/">Mathematical Department of the University of Basel</a>. She did her <a href="http://www.ann.jussieu.fr/~kray/eng-research.html">PhD</a> 2012 in the <a href="https://www.ljll.math.upmc.fr/en/">Laboratoire Jacques-Louis Lions in Paris</a> and got her professional education in Strasbourg and Orsay. Since <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Boundary_%28topology%29">boundaries</a> occur at the surface of volumes, the boundary <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Manifold">manifold</a> has one <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Dimension">spatial dimension</a> less than the actual regarded physical domain. Therefore, the treatment of <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Directional_derivative#Normal_derivative">normal derivatives</a> as in the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Neumann_boundary_condition">Neumann boundary condition</a> needs special care. The <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Explicit_and_implicit_methods">implicit</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Crank%E2%80%93Nicolson_method">Crank-Nicolson method</a> turned out to be a good numerical scheme for integrating the time derivative, and an <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Upwind_scheme">upwinding scheme</a> solved the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Discretization">discretized</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_partial_differential_equation">hyperbolic problem</a> for the space dimension. An alternative approach to separate the signals from several <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Point_source">point sources</a> or <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Scattering">scatterers</a> is to apply global integral boundary conditions and to assume a <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Plane_wave_expansion_method">time-harmonic representation</a>. The presented methods have important applications in <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Medical_imaging">medical imaging</a>: A wide range of methods work well for single scatterers, but <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Neoplasm">Tumors</a> often tend to spread to several places. This serverely impedes <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_problem">inverse problem reconstruction methods</a> such as the <a href="http://www.ann.jussieu.fr/~kray/eng-research.html">TRAC method</a>, but the separation of waves enhances the use of these methods on problems with several scatterers. <h1>Literature and additional material</h1> <ul><li> <a href="http://www.researchgate.net/profile/Eli_Turkel/publication/228883509_Time-reversed_absorbing_condition_application_to_inverse_problems/links/02e7e52638c85b3f64000000.pdf">F. Assous, M. Kray, F. Nataf, E. Turkel: Time-reversed absorbing condition: application to inverse problems</a>, Inverse Problems, 27(6), 065003, 2011.</li><li> <a href="http://ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=6725103">F. Assous, M. Kray, F. Nataf: Time reversal techniques for multitarget identification</a>, in Ultrasonics Symposium (IUS), IEEE International (pp. 143-145). IEEE, 2013.</li><li> <a href="http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1631073X15000837">M. Grote, M. Kray, F. Nataf, F. Assous: Wave splitting for time-dependent scattered field separation</a>, Comptes Rendus Mathematique, 353(6), 523-527, 2015.</li></ul>

Modellansatz 062

To separate one single instrument from the acoustic sound of a whole orchestra- just by knowing its exact position- gives a good idea of the concept of wave splitting, the research topic of Marie Kray. Interestingly, an approach for solving this problem was found by the investigation of side-effects of absorbing boundary conditions (ABC) for time-dependent wave problems- the perfectly matched layers are an important example for ABCs. Marie Kray works in the Numerical Analysis group of Prof. Grote in Mathematical Department of the University of Basel. She did her PhD 2012 in the Laboratoire Jacques-Louis Lions in Paris and got her professional education in Strasbourg and Orsay. Since boundaries occur at the surface of volumes, the boundary manifold has one spatial dimension less than the actual regarded physical domain. Therefore, the treatment of normal derivatives as in the Neumann boundary condition needs special care. The implicit Crank-Nicolson method turned out to be a good numerical scheme for integrating the time derivative, and an upwinding scheme solved the discretized hyperbolic problem for the space dimension. An alternative approach to separate the signals from several point sources or scatterers is to apply global integral boundary conditions and to assume a time-harmonic representation. The presented methods have important applications in medical imaging: A wide range of methods work well for single scatterers, but Tumors often tend to spread to several places. This serverely impedes inverse problem reconstruction methods such as the TRAC method, but the separation of waves enhances the use of these methods on problems with several scatterers.

Splitting Waves

Wie können wir die globale Erwärmung stoppen? Viola Caspari hat dazu eine <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Spieltheorie">spieltheoretische</a> Masterarbeit abgeschlossen. Ihr Interesse galt sogenannten <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Trembling-hand-perfektes_Gleichgewicht">trembling-hand perfekten Gleichgewichten</a>. Dies sind <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Nash-Gleichgewicht">Nash Gleichgewichte</a> mit der besonderen Eigenschaft, dass auch kleine Änderungen in den Daten die Eigenschaft, dass es sich um ein Nash-Gleichgewicht handelt, nicht ändert. Es sind also Strategiekombinationen, die für <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Entscheidung">Entscheidungsfindungen</a> besonders hilfreich sein können. Das <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Gefangenendilemma">Gefangenendilemma</a> ist eines der grundlegenden theoretischen Beispiele aus der Spielttheorie, an dem man verschiedene Strategien illustrieren kann. Als Anwendungsfall behandelte Sie die Verteilung <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%96ffentliches_Gut">öffentlicher Güter</a> mit unsicherem Schwellwert. Der Hintergrund hierfür sind die laufenden Verhandlungen zwischen allen Staaten, die dazu führen sollen, dass eine <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Globale_Erw%C3%A4rmung">mittlere Erwärmung um 2 Grad Kelvin</a> oder mehr vermieden werden kann. Die Erwärmung ist direkt gekoppelt an den CO2-Ausstoß der Staaten. Und natürlich haben alle Staaten Einfluss darauf, wie ihre <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/CO2-Bilanz">CO2-Bilanz</a> aussieht. Sie können beispielsweise Geld investieren, um Kohlekraftwerke durch erneuerbare Energieerzeuger abzulösen oder Filter in Schornsteine einbauen, und vieles mehr. Im Modell werden aus den Staaten also Spieler mit verschiedenen Strategien als Handlungsoptionen. Jede Strategie ist mit Kosten verbunden aber auch mit dem Nutzen in Form von eingesparten CO2-Ausstoß. Diese Relationen variieren auch nach der Größe der Wirtschaft der Länder. Gesucht sind nun Handlungsempfehlungen, die dafür sorgen, dass die Staaten solche Absprachen treffen, dass die Schwelle für die katastrophale Klimaveränderung aussbleibt und sich auch an diese Absprachen halten. Eine gute Methode hierfür ist die Einigung auf trembling-hand perfekte Nash-Gleichgewichte, weil hier eine Änderung der eigenen Strategie nur zur Verschlechterung für einen selbst führt. Der Egoismus dient also als Antrieb, sich an getroffene Abmachungen zu halten. <h1>Literatur und Zusatzinformationen</h1> <ul><li> <a href="http://econpapers.wiwi.kit.edu/downloads/KITe_WP_60.pdf">C. Feige, K.-M. Ehrhart, J. Krämer: Voting on contributions to a threshold public goods game - an experimental investigation</a>, KIT Working Paper 60, August 2014.</li><li> <a href="http://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-642-11651-3">S. Berninghaus, K.-M. Ehrhart, W. Güth: Strategische Spiele, eine Einführung in die Spieltheorie</a>, Springer-Lehrbuch, Springer, Berlin, 3., verb. Aufl., 2010.</li><li> <a href="http://core.ac.uk/download/pdf/6805957.pdf">R. Selten: Reexamination of the perfectness concept for equilibrium points in extensive games</a>, International Journal of Game Theory, 4(1):25–55, 1975.</li></ul>

Modellansatz 061

Wie können wir die globale Erwärmung stoppen? Viola Caspari hat dazu eine spieltheoretische Masterarbeit abgeschlossen. Ihr Interesse galt sogenannten trembling-hand perfekten Gleichgewichten. Dies sind Nash Gleichgewichte mit der besonderen Eigenschaft, dass auch kleine Änderungen in den Daten die Eigenschaft, dass es sich um ein Nash-Gleichgewicht handelt, nicht ändert. Es sind also Strategiekombinationen, die für Entscheidungsfindungen besonders hilfreich sein können. Das Gefangenendilemma ist eines der grundlegenden theoretischen Beispiele aus der Spielttheorie, an dem man verschiedene Strategien illustrieren kann. Als Anwendungsfall behandelte Sie die Verteilung öffentlicher Güter mit unsicherem Schwellwert. Der Hintergrund hierfür sind die laufenden Verhandlungen zwischen allen Staaten, die dazu führen sollen, dass eine mittlere Erwärmung um 2 Grad Kelvin oder mehr vermieden werden kann. Die Erwärmung ist direkt gekoppelt an den CO2-Ausstoß der Staaten. Und natürlich haben alle Staaten Einfluss darauf, wie ihre CO2-Bilanz aussieht. Sie können beispielsweise Geld investieren, um Kohlekraftwerke durch erneuerbare Energieerzeuger abzulösen oder Filter in Schornsteine einbauen, und vieles mehr. Im Modell werden aus den Staaten also Spieler mit verschiedenen Strategien als Handlungsoptionen. Jede Strategie ist mit Kosten verbunden aber auch mit dem Nutzen in Form von eingesparten CO2-Ausstoß. Diese Relationen variieren auch nach der Größe der Wirtschaft der Länder. Gesucht sind nun Handlungsempfehlungen, die dafür sorgen, dass die Staaten solche Absprachen treffen, dass die Schwelle für die katastrophale Klimaveränderung aussbleibt und sich auch an diese Absprachen halten. Eine gute Methode hierfür ist die Einigung auf trembling-hand perfekte Nash-Gleichgewichte, weil hier eine Änderung der eigenen Strategie nur zur Verschlechterung für einen selbst führt. Der Egoismus dient also als Antrieb, sich an getroffene Abmachungen zu halten.

Perfekte Gleichgewichte

<a href="http://www.math.kit.edu/iag3/~randecker/de">Anja Randecker</a> befasst sich in ihrer Forschung mit so genannten wilden Singularitäten, die im Zusammenhang mit <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Translationsfl%C3%A4che">Translationsflächen</a> auftreten, und erklärt im Gespräch mit <a href="http://www.math.kit.edu/ianm4/~thaeter/de">Gudrun Thäter</a> die Faszination dieser mathematischen Konstruktionen. Translationsflächen sind im klassischen Fall <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Polygon">Polygone</a> in der Ebene, die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Quotiententopologie">an ihren Kanten topologisch verklebt werden</a>. Beim Quadrat erhält man beispielsweise einen <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Donut">Donut</a>, oder auch <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Torus">Torus</a>: (<a href="http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Torus_from_rectangle.gif">Animation von Kieff zum Verkleben, veröffentlicht als Public Domain</a>): <a href="http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Torus_from_rectangle.gif#mediaviewer/File:Torus_from_rectangle.gif"><img class="imgcenter" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/60/Torus_from_rectangle.gif" alt="Torus from rectangle von Kieff" title="Torus from rectangle von Kieff" /></a> Lokal betrachtet verhält sich eine Translationsfläche wie eine Ebene, da man lokal immer eine Abbildung, eine <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Atlas_%28Mathematik%29#Karte">mathematische Kartenabbildung</a>, von einem kleinen Gebiet der Fläche in ein Gebiet der Ebene angeben kann - dabei geht aber die globale Gestalt der Fläche verloren. Man sieht also nicht mehr, dass der Donut in der Mitte ein Loch hat. Das entspricht dem Problem der Erstellung von <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Karte_%28Kartografie%29">Landkarten</a>, was lokal zwar sehr gut funktioniert, aber bei größeren Flächen müssen die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Kartennetzentwurf">Kartenprojektionen</a> starke Verzerrungen in Kauf nehmen. Beim Verkleben der parallelen Kanten von zwei Fünfecken (eins steht auf der Kante, eins auf der Spitze) werden, wie im Beispiel zuvor, alle Ecken miteinander identifiziert und werden zu einem Punkt. Dann erhält man ein Objekt, das <a href="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/26/Doubletorus.png">wie zwei zusammengebackene Donuts</a> aussieht. Dort verhalten sich alle Punkte auf dem Objekt wie zuvor, bis auf den Punkt, in dem alle Ecken identifiziert sind: Dort hat man einen Panoramablick von 1080 Grad, und somit eine Singularität - genauer eine konische Singularität. Hier hat der Punkt eine <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Umgebung_%28Mathematik%29">Umgebung</a>, die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Isometrie">isometrisch</a> zu einer <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Branch_point#/media/File:Riemann_surface_log.svg">Überlagerung einer Kreisschreibe</a> ist, da wir endliche viele Polygone in der Ebene verklebt haben. Nimmt man hingegen unendliche viele Polygone, oder unterteilt die Kanten in unendlich viele Segmente und verklebt diese, so können die verklebten Ecken eine viel wildere Umgebung haben. Das führt dann zu den so genannten wilden Singularitäten. Diese werden erst seit relativ kurzer Zeit erforscht, sie kommen aber auch bei <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Dynamisches_System">dynamischen Systemen</a> auf Translationsflächen vor. Hier möchte man in der aktuellen Forschung Begriffe der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_%28Folge%29">Konvergenz</a> und damit eine <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Topologischer_Raum">Topologie</a> auf einem Raum der Translationsflächen einführen, um das Verhalten von dynamischen Systemen auf diesem Raum beschreiben und analysieren zu können. Eine Frage ist hier, ob den wilden Singularitäten etwas ähnliches wie die Isometrie zur Kreisscheibe bei den konischen Singularitäten zugeordnet werden kann. Zunächst ist deren Umgebung überraschenderweise <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Zusammenh%C3%A4ngender_Raum#Wegzusammenh.C3.A4ngend">wegzusammenhängend</a>. Die Umgebung kann aber auch unendliches <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Geschlecht_%28Fl%C3%A4che%29">Geschlecht</a> besitzen, wie Anja Randecker nun beweisen konnte- die Umgebung hat also unendliche viele Löcher in der Umgebung- und nicht nur ein Loch wie der Donut. <h1>Literatur und Zusatzinformationen</h1> <ul><li> <a href="http://math.uchicago.edu/~masur/zorich_leshouches.pdf">A. Zorich: Flat surfaces</a>, Frontiers in number theory, physics, and geometry I: 439-585, 2006.</li><li> <a href="http://www.math.kit.edu/iag3/~randecker/media/unendliche_translationsflaechen.pdf">A. Randecker: Skript zur Vortragsreihe Unendliche Translationsflächen</a>, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014.</li><li> <a href="http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs11856-013-0022-y#">J. P. Bowman, F. Valdez: Wild singularities of flat surfaces</a>, Israel Journal of Mathematics, 197(1), 69-97, 2013.</li><li> <a href="http://modellansatz.de/topologie">Modellansatz Podcast Modell040: Topologie</a></li><li> <a href="http://modellansatz.de/teichmuellerkurven">Modellansatz Podcast Modell042: Teichmüllerkurven</a></li></ul>

Modellansatz 060

Anja Randecker befasst sich in ihrer Forschung mit so genannten wilden Singularitäten, die im Zusammenhang mit Translationsflächen auftreten, und erklärt im Gespräch mit Gudrun Thäter die Faszination dieser mathematischen Konstruktionen. Translationsflächen sind im klassischen Fall Polygone in der Ebene, die an ihren Kanten topologisch verklebt werden. Beim Quadrat erhält man beispielsweise einen Donut, oder auch Torus. Lokal betrachtet verhält sich eine Translationsfläche wie eine Ebene, da man lokal immer eine Abbildung, eine mathematische Kartenabbildung, von einem kleinen Gebiet der Fläche in ein Gebiet der Ebene angeben kann - dabei geht aber die globale Gestalt der Fläche verloren. Man sieht also nicht mehr, dass der Donut in der Mitte ein Loch hat. Das entspricht dem Problem der Erstellung von Landkarten, was lokal zwar sehr gut funktioniert, aber bei größeren Flächen müssen die Kartenprojektionen starke Verzerrungen in Kauf nehmen. Beim Verkleben der parallelen Kanten von zwei Fünfecken (eins steht auf der Kante, eins auf der Spitze) werden, wie im Beispiel zuvor, alle Ecken miteinander identifiziert und werden zu einem Punkt. Dann erhält man ein Objekt, das wie zwei zusammengebackene Donuts aussieht. Dort verhalten sich alle Punkte auf dem Objekt wie zuvor, bis auf den Punkt, in dem alle Ecken identifiziert sind: Dort hat man einen Panoramablick von 1080 Grad, und somit eine Singularität - genauer eine konische Singularität. Hier hat der Punkt eine Umgebung, die isometrisch zu einer Überlagerung einer Kreisschreibe ist, da wir endliche viele Polygone in der Ebene verklebt haben. Nimmt man hingegen unendliche viele Polygone, oder unterteilt die Kanten in unendlich viele Segmente und verklebt diese, so können die verklebten Ecken eine viel wildere Umgebung haben. Das führt dann zu den so genannten wilden Singularitäten. Diese werden erst seit relativ kurzer Zeit erforscht, sie kommen aber auch bei dynamischen Systemen auf Translationsflächen vor. Hier möchte man in der aktuellen Forschung Begriffe der Konvergenz und damit eine Topologie auf einem Raum der Translationsflächen einführen, um das Verhalten von dynamischen Systemen auf diesem Raum beschreiben und analysieren zu können. Eine Frage ist hier, ob den wilden Singularitäten etwas ähnliches wie die Isometrie zur Kreisscheibe bei den konischen Singularitäten zugeordnet werden kann. Zunächst ist deren Umgebung überraschenderweise wegzusammenhängend. Die Umgebung kann aber auch unendliches Geschlecht besitzen, wie Anja Randecker nun beweisen konnte- die Umgebung hat also unendliche viele Löcher in der Umgebung- und nicht nur ein Loch wie der Donut.

Wilde Singularitäten

Bei genauem Hinsehen finden wir die Naturwissenschaft und besonders Mathematik überall in unserem Leben, vom Wasserhahn über die automatischen Temporegelungen an Autobahnen, in der Medizintechnik bis hin zum Mobiltelefon. Woran die Forscher, Absolventen und Lehrenden in Karlsruhe gerade tüfteln, erfahren wir hier aus erster Hand.

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