<a href="http://www.math.kit.edu/ianm2/~kraft/en">Pascal Kraft</a> is a researcher at the <a href="http://www.math.kit.edu/ianm2/en">Institute for Applied and Numerical Mathematics</a> of the <a href="http://www.kit.edu/">Karlsruhe Institute of Technology (KIT)</a> and he introduces us to <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Julia_set">Julia Sets</a> which he investigated for his Bachelors Thesis. It is natural for us to think something like this: If I take two simple things and put them together in some sense, nothing too complex should arise from that. A fascinating result of the work of mathematicians like <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Gaston_Julia">Gaston Julia</a> and <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Benoit_Mandelbrot">Benoît Mandelbrot</a> dating back to the first half of the 20th century show that this assumption doesn't always hold. In his bachelor's thesis under supervision of <a href="https://www.yin.kit.edu/59_1337.php">Jan-Philipp Weiß</a>, Pascal Kraft worked on the efficient computation of <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Julia_set">Julia Sets</a>. In laymans terms you can describe these sets as follows: Some electronic calculators have the functions of repeating the last action if you press "=" or "enter" multiple times. So if you used the root function of your calculator on a number and now you want the root of the result you simply press "=" again. Now imagine you had a function on your calculater that didn't only square the input but also added a certain value - say 0.5. Then you put in a number, apply this function and <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Iterated_function">keep repeating it over and over</a> again. Now you ask yourself if you keep pressing the "="-button if the result keeps on growing and tends to infinity or if it stays below some threshold indefinitely. Using real numbers this concept is somewhat boring but if we use <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number">complex numbers</a> we find, that the results are astonishing. To use a more precise definition: for a function <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$f%28z%29$&amp;sig=46bae4ed0a8c40471b67e9883b299d01" alt="f(z)" title="f(z)" style="vertical-align: middle" width="24" height="14" />, the Filled Julia Set is defined as the set of values <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$z$&amp;sig=99a5688ee069f1af189c0578464a0da6" alt="z" title="z" style="vertical-align: middle" width="7" height="6" />, for whom the series <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$%28f%5En%28z%29%29_n$&amp;sig=6dfc983957fd6f160c9eaea273f2f370" alt="(f^n(z))_n" title="(f^n(z))_n" style="vertical-align: middle" width="47" height="14" /> stays bounded. The Julia Set is defined as the boundary of this set. A typical example for a suitable function <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$f%28z%29$&amp;sig=46bae4ed0a8c40471b67e9883b299d01" alt="f(z)" title="f(z)" style="vertical-align: middle" width="24" height="14" /> in this context is <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$f%28z%29+%3D+z%5E2+%2B+c$&amp;sig=9513ba3838e9c6ebaac66cb5563f8756" alt="f(z) = z^2 + c" title="f(z) = z^2 + c" style="vertical-align: middle" width="80" height="14" />. We now look at the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_plane">complex plane</a> where the x-axis represents the real part of a complex number and the y-axis its imaginary part. For each point on this plane having a coordinate <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$%28x%2Cy%29$&amp;sig=cdd2ccc8f2603917882fe0f82e3c1e1b" alt="(x,y)" title="(x,y)" style="vertical-align: middle" width="29" height="14" /> we take the corresponding complex number <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$z%3Dx%2Biy$&amp;sig=122928f2f2c8a09600eb1e79954a3103" alt="z=x+iy" title="z=x+iy" style="vertical-align: middle" width="62" height="12" /> and plug this value into our function <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$f%28z%29$&amp;sig=46bae4ed0a8c40471b67e9883b299d01" alt="f(z)" title="f(z)" style="vertical-align: middle" width="24" height="14" /> and the results over and over again up to a certain degree until we see if this <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Sequence">sequence</a> diverges. Computing a graphical representation of such a Julia Set is a numerically costly task since we have no other way of determining its interior points other then trying out a large amount of starting points and seeing what happens after hundreds of iterations. The results, however, turn out to be surprising and worth the effort. The geometric representations - images - of filled Julia Sets turn out to be very aesthetically pleasing since they are no simple compositions of elementary shapes but rather consist of intricate shapes and patterns. The reason for these beautiful shapes lie in the nature of multiplication and addition on the complex plane: A multiplication can be a magnification and down-scaling, mirroring and rotation, whereas the complex addition is represented by a translation on the complex plane. Since the function is applied over and over again, the intrinsic features are repeated in scaled and rotated forms over and over again, and this results in a <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Self-similarity">self-similarity</a> on <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Scale_invariance">infinite scales</a>. In his bachelor's thesis, Pascal focussed on the efficient computation of such sets which can mean multiple things: it can either mean that the goal was to quickly write a program which could generate an image of a Julia Set, or that a program was sought which was very fast in computing such a program. Lastly it can also mean that we want to save power and seek a program which uses computational power efficiently to compute such an image, i.e. that consumes little energy. This is a typical problem when considering a numerical approach in any application and it arises very naturally here: While the computation of Julia Sets can greatly benefit from <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Parallel_computing">parallelization</a>, the benefits are at loss when many tasks are waiting for one calculation and therefore the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Speedup">speedup</a> and <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Performance_per_watt">computational efficiency</a> breaks down due to <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Amdahl%27s_law">Amdahl's law</a>. The difference of these optimization criteria becomes especially obvious when we want to do further research ontop of our problem solver that we have used so far. <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set">The Mandelbrot Set</a> for example is the set of values <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$c$&amp;sig=ac98556f8ac18ffc7418d941242547ed" alt="c" title="c" style="vertical-align: middle" width="6" height="6" />, for whom the Filled Julia Set is not equal to the Julia Set (i.e. the Filled Julia Set has <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Interior_(topology)">interior points</a>). One detail is important for the computation of either of these sets: If we check one single point we can never really say if it is inside the Filled Julia Set for sure (unless we can prove <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Periodic_function">periodicity</a> but that is not really feasible). What we can show however is, that if the magnitude of a point in the series of computations is above a certain bound, the results will tend to infinity from this point on. The approach is therefore to compute steps until either a maximum of steps is reached or a certain threshold is exceeded. Based on this assumption, we see that computing a point which lies inside the filled Julia Set is the bigger effort. So if computing a Julia Set for a given parameter is a lot of work, its complex parameter <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$c$&amp;sig=ac98556f8ac18ffc7418d941242547ed" alt="c" title="c" style="vertical-align: middle" width="6" height="6" /> most likely lies inside the Mandelbrot Set (as we find many points for whom the computation doesn't abort prematurely and it is therefore likely that some of these points will be interior). If we want to draw the Mandelbrot Set based on this approach, we have to compute thousands of Julia Sets and if the computation of a single image was to take a minute this would not really be feasible anymore. Since the computation of a Julia Set can even be done in a webbrowser these days, we include below a little tool which lets you set a complex parameter <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$c$&amp;sig=ac98556f8ac18ffc7418d941242547ed" alt="c" title="c" style="vertical-align: middle" width="6" height="6" /> and compute four different Julia Sets. Have fun with our <a href="http://www.math.kit.edu/ianm4/seite/ma-julia-sets/en#Interactive%20Julia%20Sets">Interactive Julia Sets</a>! <h1>References and further reading</h1> <ul><li> <a href="https://www.amazon.de/Fraktale-Julia-Mengen-CD-ROM-Julius-Dufner/dp/3817115644">J. Dufner, A. Roser, F. Unseld: Fraktale und Julia-Mengen</a>, Harri Deutsch Verlag, 1998.</li><li> <a href="http://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-61717-1">H.-O. Peitgen, P. H. Richter: The beauty of fractals: images of complex dynamical systems</a>, Springer Berlin Heidelberg, 1986.</li><li> <a href="http://www0.cs.ucl.ac.uk/staff/p.bentley/teaching/L6_reading/mandelbrot.pdf">B. B. Mandelbrot: Fractal aspects of the iteration of <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$z%5Cto%5Clambda+z%281-z%29$&amp;sig=4522918c200e1670ed78bc30a81eef52" alt="z\to\lambda z(1-z)" title="z\to\lambda z(1-z)" style="vertical-align: middle" width="84" height="14" /> for complex <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$%5Clambda$&amp;sig=ba6fbffcb119b475e87a5aac9730177e" alt="\lambda" title="\lambda" style="vertical-align: middle" width="8" height="9" /> and z</a>, Annals of the New York Academy of Sciences 357.1: 249-259, 1980.</li><li> P. Kraft: Paralleles Rechnen auf GPUs - Julia Mengen und das magnetische Pendel Fraktal, Bachelor Thesis. 2012.</li><li> <a href="https://eudml.org/doc/234994">J. Gaston: Mémoire sur l’itération des fonctions rationnelles</a>, Journal de Math´ematiques pures et appliqu ´ees 4 (Rep 1968), pp. 47-245 / 121-319, 1918.</li><li> <a href="http://www.ams.org/journals/bull/1984-11-01/S0273-0979-1984-15240-6/S0273-0979-1984-15240-6.pdf">P. Blanchard: Complex analytical dynamics on the Riemann sphere</a>, Bulletin of the American Mathematical Society 11, pp. 84-141, 1984.</li></ul>

Modellansatz

Modellansatz 119

Pascal Kraft is a researcher at the Institute for Applied and Numerical Mathematics of the Karlsruhe Institute of Technology (KIT) and he introduces us to Julia Sets which he investigated for his Bachelors Thesis. It is natural for us to think something like this: If I take two simple things and put them together in some sense, nothing too complex should arise from that. A fascinating result of the work of mathematicians like Gaston Julia and Benoît Mandelbrot dating back to the first half of the 20th century show that this assumption doesn't always hold. In his bachelor's thesis under supervision of Jan-Philipp Weiß, Pascal Kraft worked on the efficient computation of Julia Sets. In laymans terms you can describe these sets as follows: Some electronic calculators have the functions of repeating the last action if you press "=" or "enter" multiple times. So if you used the root function of your calculator on a number and now you want the root of the result you simply press "=" again. Now imagine you had a function on your calculater that didn't only square the input but also added a certain value - say 0.5. Then you put in a number, apply this function and keep repeating it over and over again. Now you ask yourself if you keep pressing the "="-button if the result keeps on growing and tends to infinity or if it stays below some threshold indefinitely. Using real numbers this concept is somewhat boring but if we use complex numbers we find, that the results are astonishing. To use a more precise definition: for a function f(z), the Filled Julia Set is defined as the set of values z, for whom the series (f^n(z))_n stays bounded. The Julia Set is defined as the boundary of this set. A typical example for a suitable function f(z) in this context is f(z) = z^2 + c. We now look at the complex plane where the x-axis represents the real part of a complex number and the y-axis its imaginary part. For each point on this plane having a coordinate (x,y) we take the corresponding complex number z=x+iy and plug this value into our function f(z) and the results over and over again up to a certain degree until we see if this sequence diverges. Computing a graphical representation of such a Julia Set is a numerically costly task since we have no other way of determining its interior points other then trying out a large amount of starting points and seeing what happens after hundreds of iterations. The results, however, turn out to be surprising and worth the effort. The geometric representations - images - of filled Julia Sets turn out to be very aesthetically pleasing since they are no simple compositions of elementary shapes but rather consist of intricate shapes and patterns. The reason for these beautiful shapes lie in the nature of multiplication and addition on the complex plane: A multiplication can be a magnification and down-scaling, mirroring and rotation, whereas the complex addition is represented by a translation on the complex plane. (...)

Julia Sets

<a href="http://www.mathematik.uni-dortmund.de/~lschwach/">Lorenz Schwachhöfer</a> ist seit 2003 Professor für <a href="http://www.mathematik.tu-dortmund.de/">Mathematik an der TU Dortmund</a>. <a href="http://www.math.kit.edu/ianm2/~thaeter">Gudrun</a> kennt ihn aus ihrer Zeit als als Hochuldozentin dort (2004-2008). Seinen kurzen Gastaufenthalt in der <a href="http://www.math.kit.edu/iag5/">AG von Prof. Tuschmann</a> in Karlsruhe wollten die beiden ausnutzen, um ein Podcast-Gespräch zu führen. Das Forschungsgebiet von Lorenz Schwachhöfer gehört zur <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialgeometrie">Differentialgeometrie</a>. Deshalb dreht sich ihr Gespräch um zentrale Begriffe in diesem mathematischen Gebiet zwischen Geometrie und Analysis: Die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Kr%C3%BCmmung">Krümmung</a> und das Finden von <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Minimalfl%C3%A4che">Minimalflächen</a>. Der Begriff Krümmung kommt in unserer Alltagssprache vor. Die Mathematik muss das Konzept von "gekrümmt sein" nur klar fassen, um damit präzise arbeiten zu können. Die zentrale Eigenschaft, die durch das Wort beschrieben wird, ist wie sehr sich eine Fläche von einer Ebene unterscheidet. Oder auch wie stark sich eine Kurve von einer Geraden unterscheidet. Eine Ebene (bzw.eine Gerade) ist nicht gekrümmt. Mathematisch ausgedrückt haben sie deshalb die Krümmung 0. Wenn man nun untersuchen - und mit einer Zahl ausdrücken - möchte, wie sehr sich z.B. eine Kurve in jedem Punkt von eine Gerade unterscheidet, verwendet man folgenden Trick: Man definiert einen Parameter - z.B. die Bogenlänge - und stellt die Kurve als Funktion dieses Parameters dar. Dann berechnet man die Änderung des Richtungsvektors der Kurve in jedem Punkt. D.h. man braucht die zweite Ableitung nach dem Parameter in dem Punkt. Das Ergebnis für einen Kreis mit Radius r lautet dann: Er hat überall die Krümmung 1/r. Daran sieht man auch, dass kleine Kreise sehr stark gekrümmt sind während sehr große Kreise eine so kleine Krümmung haben, dass man sie fast nicht von einer Geraden unterscheiden kann. Auch die Erdoberfläche wirkt lokal wie eine Ebene, denn in der mit unseren Augen wahrgenommenen Umgebung ist ihre Krümmung klein. Was für Kurven recht anschaulich zu definieren geht, ist für Flächen im dreidimensionalen Raum nicht ganz so klar. Das einzig klare ist, dass für jede Art Krümmung, die man mathematisch definiert, jede Ebene in jedem Punkt die Krümmung 0 haben muss. Wenn man die Idee der Parametrisierung auf Flächen überträgt, geht das im Prinzip auch, wenn man zwei Parameter einführt und Krümmung auf eine bestimmte Richtung im Punkt auf der Fläche entlang bezieht. Beim <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Zylinder_(Geometrie)">Zylinder</a> kann man sich gut vorstellen, wie das Ergebnis aussieht: Es gibt die Richtung entlang der Kreislinie des Querschnitts. Diese Kurve ist ein Kreis und hat die Krümmung 1/r. Läuft man dazu im rechten Winkel auf der Zylinderhülle, folgt man einer Gerade (d.h. Krümmung in diese Richtung ist 0). Alle anderen Wege auf der Zylinderoberfläche liegen in Bezug auf die Krümmung zwischen diesen beiden Werten 1/r und 0. Tatsächlich kann man auch für allgemeine Flächen zeigen, dass man in jedem Punkt eine Zerlegung in zwei solche "Haupt"-Richtungen findet, für die maximale bzw. minimale Krümmungswerte gelten (und die senkrecht zueinander sind). Alle anderen Richtungen lassen sich daraus linear zusammensetzen. Die Kugeloberfläche hat z.B. eine hohe Symmetrie und verhält sich in allen Richtungen gleich. Alle Wege auf der Kugeloberfläche sind lokal Teile von Kreisen. Man kann sich hier auch überlegen, was tangential bedeutet, indem man in einem Punkt auf der Oberfläche eine Ebene anschmiegt. Die Richtung senkrecht auf dieser tangentialen Ebene ist die Normalenrichtung auf dem Punkt der Kugeloberfläche an dem die Tangentialebene anliegt. Tatsächlich gibt es für Flächen aber mehr als einen sinnvollen Krümmungsbegriff. Man kann z.B. einen Zylinder sehr schön in Papier "einwickeln". Bei einer Kugel geht das nicht - es bleibt immer Papier übrig, das man wegfalten muss. Wenn man einen <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Rotationshyperboloid">Kühlturm</a> einpacken möchte, reicht das Papier nicht für die nach innen einbuchtende Oberfläche. Die Eigenschaft, die wir mir dem Einwickeln veranschaulicht haben, wird mit dem Begriff der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsche_Kr%C3%BCmmung">Gaußkrümmung</a> ausgedrückt. Um sie zu berechnen, kann man in einem Punkt die oben definierten Richtungsskrümmungen anschauen. Maximal- und Minimalwerte werden für senkrecht aufeinander stehende Richtungen realisiert. Das Produkt der beiden extremen Krümmungen ergibt dann die Gaußkrümmung. In unserem Beispiel mit dem Zylinder ist die Gaußkrümmung also 0 mal 1/r = 0. Das ist aber tatsächlich ganz unabhängig von der Richtungskrümmung untersuchbar, weil es sich durch Längen- bzw. Flächenverhältnisse in der Fläche bestimmen lässt. Genauer gesagt: Wenn man auf der Kugel um einen Punkt einen Kreis auf der Kugeloberfläche zieht (d.h. seine Punkte liegen auf der Kugeloberfläche und haben alle den Abstand r vom gewählten Punkt), hat dieses Objekt einen kleineren Flächeninhalt als ein ebener Kreis mit dem gleichen Radius. Deshalb sagt man: Die Kugel hat positive Gaußkrümmung. Bei negativer Gaußkrümmung ist der Flächeninhalt auf der Oberfläche größer als in der Ebene. Das trifft für den Kühlturm zu. Diese Eigenschaft lässt sich innerhalb der Fläche untersuchen. Man braucht gar keine Einbettung in einen umgebenden Raum. Das ist zunächst sehr überraschend. Es ist aber unbedingt nötig für Anwendungen in der Astrophysik, wo die Raumzeit wegen der Gravitation gekrümmt ist (d.h. sie ist <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Nichteuklidische_Geometrie">kein euklidischer Raum</a>). Es hat aber niemand ein Bild, in welche höhere Dimension man die Raumzeit einbetten sollte, um dann mit der Krümmung in Bezug auf diesen Raum zu arbeiten. Neben den beiden schon diskutierten Begriffen kann man auch mit der mittleren Krümmung arbeiten. Sie ist definiert als Mittelwert aller Richtungskrümmungen. Man kannn aber zeigen, dass dies stets das <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Arithmetisches_Mittel">arithmetische Mittel</a> zwischen minimaler und maximaler Krümmung ist. Dies hat auch eine physikalische Interpretation - z.B. als Flächenspannung für eine Membran, die eingespannt ist. Die Membran versucht, einen möglichst geringen Flächeninhalt - eine sogenannte Minimalfläche - zu realisieren, weil dies dem minimalen Energieaufwand entspricht. Spannungsfreie Flächen sind sehr stabil und deshalb für Architekten interessant. Im Schülerlabor Mathematik kann man mit Seifenhäuten selbst ausprobieren, welche Flächen sich hier für unterschiedliche Randkurven herausbilden. Z.B. wurde die Dachkonstruktion des ehemaligen <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Olympiastadion_M%C3%BCnchen">Olympiastadions in München</a> aus Minimalflächen konstruiert, die mit Seifenhäuten gefunden, fotographiert und nachgebaut wurden.. Mathematisch sprechen wir vom <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Plateau-Problem">Plateau-Problem</a>. Die Frage ist dabei: Hat jede geschlossene Kurve mindestens eine zugehörige Minimalfläche? Heute wissen wir, dass die Antwort - unter sehr geringen Regularitätsforderungen an die Kurve - fast immer ja ist. Sehr verblüffendend ist in diesem Zusammenhang auch der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Gau%C3%9F-Bonnet">Satz von Gauß/Bonnet</a>. Er sagt, dass das Integral über die Gaußkrümmung jeder in sich selbst geschlossenen Fläche ein ganzzahliges Vielfaches von 2π ist. Dieser Faktor heißt dann <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Euler-Charakteristik">Euler-Charakteristik</a> und hängt nur von der Topologie (grob gesprochen der Zahl der Löcher im Gebiet) ab. Beim <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Torus">Torus</a> ist sie 0 und für die Kugeloberfläche 2. Interessant ist in diesem Zusammenhang auch die Behandlung von nicht glatten Kurven bzw. Flächen mit Ecken und Kanten. An den Kanten ist das Konzept der Gaußkrümmung noch recht einfach übertragbar. Der betrachtete Kreis auf der Oberfläche klappt sich dabei um die Kante herum. An den Ecken geht das nicht so einfach, sondern führt auf komplexere Gebilde. Wenn man sich aber z.B. einen Würfel ansieht, hat dieser fast überall die Krümmung 0. Trotzdem ist er (topologisch gesehen) einer Kugel viel ähnlicher als einer Ebene. Hier kann man den Begriff der Gaußkrümmung richtig für <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Polyeder">Polyeder</a> mit Kanten und Ecken verallgemeinern und der Satz von Gauß/Bonnet überträgt sich sinngemäß auf Polyeder. Das Integral wird zur Summe über die Polyederflächen und wir erhalten den wohlbekannten <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Eulerscher_Polyedersatz">Polyedersatz</a>: <ul><li> Euler-Charakteristik mal Anzahl der Flächen - Anzahl der Kanten + Anzahl der Ecken = 2 </li></ul> Der Polyedersatz ist eigentlich ein <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Kombinatorik">kombinatorisches</a> Ergebnis. Trotzdem zeigt sich hier, dass die topologischen Eigenschaften intrinsisch mit der Krümmung zusammenhängen, was sehr überraschend, aber auch sehr ästhetisch zwei einander sehr fremde Teilgebiete der Mathematik zusammenführt. Lorenz Schwachhöfer hat in <a href="http://www3.mathematik.tu-darmstadt.de/fb/mathe/home.html">Darmstadt</a> und in <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Tulane_University">New Orleans</a> Mathematik studiert und nach seiner Promotion 1992 (in <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Philadelphia_University">Philadelphia</a>) u.a. wissenschaftlich Station gemacht an der <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Washington_University_in_St._Louis">Washington Universität</a> (in St. Louis), dem <a href="https://www.mpim-bonn.mpg.de/de">Max Planck Institut für Mathematik</a> in Bonn, der <a href="https://www.math.uni-leipzig.de/cms/de/startseite/">Universität in Leipzig</a> (dort <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Habilitation">Habilitation</a>) und an der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Universit%C3%A9_libre_de_Bruxelles">Université Libre</a> in Brüssel. <h1>Literatur und weiterführende Informationen</h1> <ul><li> <a href="http://www.springer.com/de/book/9783642385216">J-H. Eschenburg &amp; J. Jost: Differentialgeometrie und Minimalflächen</a>. Springer Verlag, 3. Auflage, 2014.</li><li> <a href="https://www.amazon.de/Seifenh%C3%A4ute-Minimalfl%C3%A4chen-Natur-Geometrie-Architektur/dp/3639316827">T. Matiasek: Seifenhäute und Minimalflächen: Natur, Geometrie und Architektur</a>. VDM Verlag Dr. Müller, 2010</li><li> <a href="http://www.springer.com/de/book/9783658006143">Wolfgang Kühnel: Differentialgeometrie: Kurven - Flächen - Mannigfaltigkeiten</a>, Springer Verlag, 2013.</li><li> <a href="http://www.springer.com/de/book/9783528272555">Manfredo doCarmo, Differentialgeometrie von Kurven und Flächen</a>, Vieweg+Teubner Verlag, 1993.</li><li> <a href="https://www.degruyter.com/view/product/212049">Christian Bär, Elementare Differentialgeometrie</a>, deGruyter, 2017.</li><li> <a href="https://www.youtube.com/watch?v=1_-8ACyIJFw">Video Seifenhäute</a> (engl.)</li></ul> <h1>Podcasts</h1> <ul><li> <a href="http://modellansatz.de/metrische-geometrie">P. Schwer: Metrische Geometrie</a>. Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 102, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. <a href="http://modellansatz.de/metrische-geometrie">http://modellansatz.de/metrische-geometrie</a></li><li> <a href="http://modellansatz.de/qwirkle-gruppe">L. Mirlina, F. Dehnen: Qwirkle-Gruppe</a>. Gespräch mit S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 76, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2015. <a href="http://modellansatz.de/qwirkle-gruppe">http://modellansatz.de/qwirkle-gruppe</a></li></ul>

Modellansatz 118

Lorenz Schwachhöfer ist seit 2003 Professor für Mathematik an der TU Dortmund. Gudrun kennt ihn aus ihrer Zeit als als Hochuldozentin dort (2004-2008). Seinen kurzen Gastaufenthalt in der AG von Prof. Tuschmann in Karlsruhe wollten die beiden ausnutzen, um ein Podcast-Gespräch zu führen. Das Forschungsgebiet von Lorenz Schwachhöfer gehört zur Differentialgeometrie. Deshalb dreht sich ihr Gespräch um zentrale Begriffe in diesem mathematischen Gebiet zwischen Geometrie und Analysis: Die Krümmung und das Finden von Minimalflächen. Der Begriff Krümmung kommt in unserer Alltagssprache vor. Die Mathematik muss das Konzept von "gekrümmt sein" nur klar fassen, um damit präzise arbeiten zu können. Die zentrale Eigenschaft, die durch das Wort beschrieben wird, ist wie sehr sich eine Fläche von einer Ebene unterscheidet. Oder auch wie stark sich eine Kurve von einer Geraden unterscheidet. Eine Ebene (bzw.eine Gerade) ist nicht gekrümmt. Mathematisch ausgedrückt haben sie deshalb die Krümmung 0. Wenn man nun untersuchen - und mit einer Zahl ausdrücken - möchte, wie sehr sich z.B. eine Kurve in jedem Punkt von eine Gerade unterscheidet, verwendet man folgenden Trick: Man definiert einen Parameter - z.B. die Bogenlänge - und stellt die Kurve als Funktion dieses Parameters dar. Dann berechnet man die Änderung des Richtungsvektors der Kurve in jedem Punkt. D.h. man braucht die zweite Ableitung nach dem Parameter in dem Punkt. Das Ergebnis für einen Kreis mit Radius r lautet dann: Er hat überall die Krümmung 1/r. Daran sieht man auch, dass kleine Kreise sehr stark gekrümmt sind während sehr große Kreise eine so kleine Krümmung haben, dass man sie fast nicht von einer Geraden unterscheiden kann. Auch die Erdoberfläche wirkt lokal wie eine Ebene, denn in der mit unseren Augen wahrgenommenen Umgebung ist ihre Krümmung klein. Was für Kurven recht anschaulich zu definieren geht, ist für Flächen im dreidimensionalen Raum nicht ganz so klar. Das einzig klare ist, dass für jede Art Krümmung, die man mathematisch definiert, jede Ebene in jedem Punkt die Krümmung 0 haben muss. Wenn man die Idee der Parametrisierung auf Flächen überträgt, geht das im Prinzip auch, wenn man zwei Parameter einführt und Krümmung auf eine bestimmte Richtung im Punkt auf der Fläche entlang bezieht. Beim Zylinder kann man sich gut vorstellen, wie das Ergebnis aussieht: Es gibt die Richtung entlang der Kreislinie des Querschnitts. Diese Kurve ist ein Kreis und hat die Krümmung 1/r. Läuft man dazu im rechten Winkel auf der Zylinderhülle, folgt man einer Gerade (d.h. Krümmung in diese Richtung ist 0). Alle anderen Wege auf der Zylinderoberfläche liegen in Bezug auf die Krümmung zwischen diesen beiden Werten 1/r und 0. Tatsächlich kann man auch für allgemeine Flächen zeigen, dass man in jedem Punkt eine Zerlegung in zwei solche "Haupt"-Richtungen findet, für die maximale bzw. minimale Krümmungswerte gelten (und die senkrecht zueinander sind). (...)

Minimalflächen

<a href="http://www.math.kit.edu/iag6/~ueckerdt/de">Torsten Ueckerdt</a> arbeitet seit 2012 in der <a href="http://www.math.kit.edu/iag6/de">Arbeitsgruppe Diskrete Mathematik</a> an unserer <a href="http://www.math.kit.edu/">Fakultät für Mathematik</a> am <a href="http://www.kit.edu/">Karlsruher Institut für Technologie (KIT)</a>. Er hat an der <a href="http://www.math.tu-berlin.de/menue/home/">TU Berlin</a> Mathematik studiert und promoviert. Anschließend forschte er für einige Zeit in Prag mit <a href="http://kam.mff.cuni.cz/~honza/cv1.htm">Jan Kratochvil</a>. Er arbeitet unter anderem mit <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Graphentheorie">geometrischen Graphen</a>. <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Graphentheorie">Graphen</a> sind allgegenwärtige Modelle in vielen und sehr unterschiedlichen Anwendungen. Im jedem Fall bestehen sie aus Knoten und Kanten (zwischen den Knoten). Ein Beispiel für einen geometrischen Graphen, auf das wir im Gespräch mehrfach zurückkommen, ist die folgende Reduktion von <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Politische_Karte">Landkarten</a>: Knoten stehen für die Länder und Kanten zwischen zwei Knoten symbolisieren eine gemeinsame Grenze der Länder. Damit ist der Graph eine abstrakte aber dabei auch sehr klare Fassung der nachbarschaftlichen Lage der Länder in der Landkarte. Das heißt, dass für die Darstellung im Graphen die meiste geometrische Information der Landkarte aussortiert wird. <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Graphentheorie">Andere Beispiele für geometrische Graphen</a> sind Sichtbarkeitsgraphen, geometrische Vergleichbarkeits- und Schnittgraphen (z.B. Intervallgraphen), Einheitsdistanz-Graphen oder geordnete Graphen die etwa bei Schedulingproblemen eine große Rolle spielen. Wenn ein geometrisches Problem mittels eines Graphen abstrahiert wird, kann das immense Vorteile bringen. Zum Beispiel können so Resultate, Konzepte und Techniken für allgemeine Graphen verwendet werden. Auch das bloße "Vergessen" der geometrischen Einbettung kann die Argumentationen und Objekte erheblich vereinfachen. Andererseits ist das erstrebte Resultat für allgemeine Graphen eventuell gar nicht gültig. Eine wichtige Aufgabe ist es deshalb, eine gute Balance zu finden zwischen Abstraktion und wesentlicher geometrischer Information, die die Untersuchung beeinflusst. Interessant ist, dass bestimmte Eigenschaften des Graphen von der Geometrie "dahinter" diktiert werden. Sehr zugängliche Beispiele für die Nützlichkeit der Abstraktion durch Graphen sind das <a href="https://www.vismath.eu/info/themen/koenigsberger-brueckenproblem/">Königsberger Brückenproblem</a> und das <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Springerproblem">Springerproblem</a>. Andere Fragen, die Torsten umtreiben sind das Färben (z.B. von Knoten oder Kanten) und Überdecken von Graphen. Einige Bekanntheit erlangte z.B. das <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Vier-Farben-Satz">Vier-Farben-Problem</a>. Die Frage ist dabei, ob es für alle Landkarten möglich ist, die Länder mit vier unterschiedlichen Farben so einzufärben, dass Nachbarländer stets unterschiedliche Farben haben. Der Beweis dafür, dass dies eine wahre Aussage ist, ist inzwischen gelungen und hat zwei Hauptschritte. Im ersten Schritt werden die potentiell unendlich viele Fälle, die bei Landkarten auftreten können, auf endlich viele (leider noch sehr viele) zurückgeführt. Anschließend wird der Beweis durch Fallunterscheidungen für mehrere 1000 Fälle auf Computer ausgelagert. An diesem Beispiel zeigen sich auch deutlich einige typische Aspekte von Torstens Arbeit. Einerseits scheint es nicht sehr befriedigend, dass man auf Computer im Beweis nicht verzichten kann. Andererseits ist der schwierige Schritt eigentlich der erste und die hier entwickelte Idee ist in der Tat eine sehr allgemeine Methode, die inzwischen auch für andere Fragen immer wieder eingesetzt wurde. Sie ist also bedeutsamer als "nur" Hilfsmittel im Beweis des Vier-Farben-Satzes zu sein. Andererseits trägt die Idee zwar weit genug für das Problem, aber wahrscheinlich ist sie nicht wirklich optimal für die untersuchte Struktur, da noch zu viele Fälle zu betrachten bleiben, die dann brutal durchprobiert werden. So gibt es auch spannende Verallgemeinerungen des Vier-Farben-Problems die bis heute ungelöst sind. Beim sogenannten <a href="http://mathworld.wolfram.com/Earth-MoonProblem.html">Earth-Moon Problem</a> fragt man zum Beispiel was passiert wenn jedes Land der Erde zusätzlich eine Kolonie auf dem Mond errichtet und wir nun die Länder mit möglichst wenigen Farben einfärben wollen, so dass keine zwei Länder die auf der Erde oder auf dem Mond benachbart sind die gleiche Farbe erhalten. Wir wissen nur, dass die kleinste Anzahl benötigter Farben irgendwo zwischen 9 und 12 liegt. Es sind letztlich nicht die errechneten Zahlen (wie die vier im Vier-Farben-Satz) das eigentlich Interessante, sondern die für deren Bestimmung entwickelten neuen Methoden. Ein weiterer Aspekt ist die enge Verbindung von <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Kombinatorik">Kombinatorik</a> und Geometrie. Die Tatsache dass in so vielen Fällen die kontinuierliche und überabzählbare Welt der Geometrie eindeutig durch die diskrete und endliche Welt der Kombinatorik beschrieben werden kann, ist faszinierend und immer wieder spannend. In der diskreten und kombinatorischen Geometrie versucht Torsten zum Einen geometrische Arrangements kombinatorisch zu beschreiben und zum Anderen kombinatorische Objekte, wie zum Beispiel Graphen, geometrisch zu realisieren. Die einfach formulierbaren Fragen in Torstens Arbeiten haben häufig schwierige Antworten bzw. entziehen sich einer Bearbeitung noch ganz. Nicht zuletzt liegt das auch daran, dass die Kombinatorik schnell mit der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Abz%C3%A4hlende_Kombinatorik">explodierenden Komplexität</a> an die Wand fährt. Am Beispiel der Landkarte: Nur für zehn (oder weniger) Länder lassen sich Ideen relativ schnell (innerhalb eines Tages auf einem gängigen Computer) kombinatorisch ausprobieren - es hier genau 1.140.916 verschiedene Landkarten. Im Allgemeinen wächst die Anzahl der Landkarten allerdings exponentiell in der Anzahl der Länder - es gibt zwischen <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$27%2C2%5En$&amp;sig=ca84578ec93b9105403069546a51b623" alt="27,2^n" title="27,2^n" style="vertical-align: middle" width="33" height="12" /> und <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$30%2C06%5En$&amp;sig=ba43ffcb363f0245a710ccb53c4cb3a2" alt="30,06^n" title="30,06^n" style="vertical-align: middle" width="40" height="12" /> viele Karten mit n Ländern. Die einzige realistische Möglichkeit geometrische Graphen zu untersuchen, bspw. in Hinblick auf ihre Färbungen oder Überdeckungen, besteht also in der rigorosen Analyse im wiederholten Wechsel zwischen Geometrie und Kombinatorik - eine Herausforderung die Kreativität und Kontinuität erfordert, aber viel Freude und Inspiration birgt. <h1>Literatur und weiterführende Informationen</h1> <ul><li> <a href="http://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-662-06756-7">Jaroslav Nesetril: Diskrete Mathematik: Eine Entdeckungsreise</a>, Springer-Lehrbuch, 2007.</li><li> <a href="http://link.springer.com/book/10.1007/978-3-658-10323-1">Martin Aigner: Graphentheorie: Eine Einführung aus dem 4-Farben Problem</a>. Springer Fachmedien Wiesbaden, 2015.</li><li> <a href="http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Koenigsb/index.htm">Michael Reeken et al: Das Königsberger Brückenproblem - Eine Handreichung für Schüler und Schülerinnen</a>, MathePrisma, 1998.</li></ul> <h1>Podcasts</h1> <ul><li> <a href="http://modellansatz.de/graphpartitionierung">C. Schulz: Graphpartitionierung</a>, Gespräch mit Gudrun Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 38, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014. <a href="http://modellansatz.de/graphpartitionierung">http://modellansatz.de/graphpartitionierung</a></li><li> <a href="http://modellansatz.de/incredible-proof-machine">J. Breitner: Incredible Proof Machine</a>, Gespräch mit S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 78, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. <a href="http://modellansatz.de/incredible-proof-machine">http://modellansatz.de/incredible-proof-machine</a></li></ul>

Modellansatz 117

Torsten Ueckerdt arbeitet seit 2012 in der Arbeitsgruppe Diskrete Mathematik an unserer Fakultät für Mathematik am Karlsruher Institut für Technologie (KIT). Er hat an der TU Berlin Mathematik studiert und promoviert. Anschließend forschte er für einige Zeit in Prag mit Jan Kratochvil. Er arbeitet unter anderem mit geometrischen Graphen. Graphen sind allgegenwärtige Modelle in vielen und sehr unterschiedlichen Anwendungen. Im jedem Fall bestehen sie aus Knoten und Kanten (zwischen den Knoten). Ein Beispiel für einen geometrischen Graphen, auf das wir im Gespräch mehrfach zurückkommen, ist die folgende Reduktion von Landkarten: Knoten stehen für die Länder und Kanten zwischen zwei Knoten symbolisieren eine gemeinsame Grenze der Länder. Damit ist der Graph eine abstrakte aber dabei auch sehr klare Fassung der nachbarschaftlichen Lage der Länder in der Landkarte. Das heißt, dass für die Darstellung im Graphen die meiste geometrische Information der Landkarte aussortiert wird. Andere Beispiele für geometrische Graphen sind Sichtbarkeitsgraphen, geometrische Vergleichbarkeits- und Schnittgraphen (z.B. Intervallgraphen), Einheitsdistanz-Graphen oder geordnete Graphen die etwa bei Schedulingproblemen eine große Rolle spielen. Wenn ein geometrisches Problem mittels eines Graphen abstrahiert wird, kann das immense Vorteile bringen. Zum Beispiel können so Resultate, Konzepte und Techniken für allgemeine Graphen verwendet werden. Auch das bloße "Vergessen" der geometrischen Einbettung kann die Argumentationen und Objekte erheblich vereinfachen. Andererseits ist das erstrebte Resultat für allgemeine Graphen eventuell gar nicht gültig. Eine wichtige Aufgabe ist es deshalb, eine gute Balance zu finden zwischen Abstraktion und wesentlicher geometrischer Information, die die Untersuchung beeinflusst. Interessant ist, dass bestimmte Eigenschaften des Graphen von der Geometrie "dahinter" diktiert werden. Sehr zugängliche Beispiele für die Nützlichkeit der Abstraktion durch Graphen sind das Königsberger Brückenproblem und das Springerproblem. Andere Fragen, die Torsten umtreiben sind das Färben (z.B. von Knoten oder Kanten) und Überdecken von Graphen. Einige Bekanntheit erlangte z.B. das Vier-Farben-Problem. Die Frage ist dabei, ob es für alle Landkarten möglich ist, die Länder mit vier unterschiedlichen Farben so einzufärben, dass Nachbarländer stets unterschiedliche Farben haben. Der Beweis dafür, dass dies eine wahre Aussage ist, ist inzwischen gelungen und hat zwei Hauptschritte. Im ersten Schritt werden die potentiell unendlich viele Fälle, die bei Landkarten auftreten können, auf endlich viele (leider noch sehr viele) zurückgeführt. Anschließend wird der Beweis durch Fallunterscheidungen für mehrere 1000 Fälle auf Computer ausgelagert. (...)

Vier Farben

<a href="http://www.math.kit.edu/grk1294/~khrabustovskyi/en">Andrii Khrabustovskyi</a> works at our faculty in the group <a href="http://www.math.kit.edu/iana2/en">Nonlinear Partial Differential Equations</a> and is a member of the <a href="http://www.waves.kit.edu/index.php">CRC Wave phenomena: analysis and numerics</a>. He was born in <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Kharkiv">Kharkiv</a> in the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ukraine">Ukraine</a> and finished his studies as well as his PhD at the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/National_University_of_Kharkiv">Kharkiv National University</a> and the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Verkin_Institute_for_Low_Temperature_Physics_and_Engineering">Institute for Low Temperature Physics and Engineering</a> of the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/National_Academy_of_Sciences_of_Ukraine">National Academy of Sciences of Ukraine</a>. He joined our faculty in 2012 as postdoc in the former <a href="http://www.math.kit.edu/grk1294/en">Research Training Group 1294</a> Analysis, Simulation and Design of Nanotechnological Processes, which was active until 2014. <a href="http://www.math.kit.edu/ianm2/~thaeter/en">Gudrun Thäter</a> talked with him about one of his research interests Asymptotic analysis and homogenization of PDEs. <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Photonic_crystal">Photonic crystals</a> are periodic dielectric media in which electromagnetic waves from certain frequency ranges cannot propagate. Mathematically speaking this is due to gaps in the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Spectrum_(functional_analysis)">spectrum</a> of the related differential operators. For that an interesting question is if there are gaps inbetween bands of the spectrum of operators related to wave propagation, especially on periodic geometries and with periodic coeffecicients in the operator. It is known that the spectrum of periodic <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Self-adjoint_operator">selfadjoint</a> operators has bandstructure. This means the spectrum is a locally finite union of compact intervals called bands. In general, the bands may overlap and the existence of gaps is therefore not guaranteed. A simple example for that is the spectrum of the Laplacian in <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$+L_2%28R%5En%29+$&amp;sig=a2fb93eeb0202890ba9416bea23bf8ea" alt=" L_2(R^n) " title=" L_2(R^n) " style="vertical-align: middle" width="41" height="14" /> which is the half axis <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$%5B0%2C+%5Cinfty%29$&amp;sig=26e308d510773b0c2f4f1579613097ca" alt="[0, \infty)" title="[0, \infty)" style="vertical-align: middle" width="34" height="15" />. The classic approach to such problems in the whole space case is the <a href="http://www.math.ubc.ca/~ward/teaching/m605/every2_floquet1.pdf">Floquet–Bloch theory</a>. Homogenization is a collection of mathematical tools which are applied to media with strongly inhomogeneous parameters or highly oscillating geometry. Roughly spoken the aim is to replace the complicated inhomogeneous by a simpler homogeneous medium with similar properties and characteristics. In our case we deal with PDEs with periodic coefficients in a periodic geometry which is considered to be infinite. In the limit of a characteristic small parameter going to zero it behaves like a corresponding homogeneous medium. To make this a bit more mathematically rigorous one can consider a sequence of operators with a small parameter (e.g. concerning cell size or material properties) and has to prove some properties in the limit as the parameter goes to zero. The optimal result is that it converges to some operator which is the right homogeneous one. If this limit operator has gaps in its spectrum then the gaps are present in the spectra of pre-limit operators (for small enough parameter). The advantages of the homogenization approach compared to the classical one with Floquet Bloch theory are: <ol><li> The knowledge of the limit operator is helpful and only available through homogenization.</li><li> For finite domains Floquet Bloch does not work well. Though we always have a discrete spectrum we might want to have the gaps in fixed position independent of the size of our domain. Here the homogenization theory works in principle also for the bounded case (it is just a bit technical).</li></ol> An interesting geometry in this context is a domain with periodically distributed holes. The question arises: what happens if the sizes of holes and the period simultaneously go to zero? The easiest operator which we can study is the Laplace operator subject to the Dirichlet boundary conditions. There are three possible regimes: <ol><li> For holes of the same order as the period (even slightly smaller) the Dirichelet conditions on the boundary of holes dominate -- the solution for the corresponding Poisson equation tends to zero. </li><li> For significantly smaller holes the influence on the holes is so small that the problem "forgets" about the influence of the holes as the parameter goes to zero.</li><li> There is a borderline case which lies between cases 1 and 2. It represents some interesting effects and can explain the occurance of so-called strange terms. </li></ol> A traditional ansatz in homogenization works with the concept of so-called slow and fast variables. The name comes from the following observation. If we consider an infinite layer in cylindrical coordinates, then the variable r measures the distance from the origin when going "along the layer", <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$%5Cphi$&amp;sig=145f6b7bd59444fca5acb1ef39cc6315" alt="\phi" title="\phi" style="vertical-align: middle" width="8" height="12" /> the angle in that plane, and z is the variable which goes into the finite direction perpendicular to that plane. When we have functions <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$y%28x%29%3Dr%5Ek+f%28z%2C%5Cphi%29$&amp;sig=aa5337da9c782f0a9d5e38d419151210" alt="y(x)=r^k f(z,\phi)" title="y(x)=r^k f(z,\phi)" style="vertical-align: middle" width="96" height="14" /> then the derivative with respect to r changes the power to <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$r%5E%7Bk-1%7D$&amp;sig=23023f7c5c77b4b42546058c94c34998" alt="r^{k-1}" title="r^{k-1}" style="vertical-align: middle" width="25" height="11" /> while the other derivatives leave that power unchanged. In the interesting case k is negative and the r-derivate makes it decreasing even faster. This leads to the name fast variable. The properties in this simple example translate as follows. For any function <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$u$&amp;sig=fff40bd7821842f7cfef9fd5d422d7bf" alt="u" title="u" style="vertical-align: middle" width="8" height="6" /> we will think of having a set of slow and fast variables (characteristic to the problem) and a small parameter eps and try to find u as <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$+u%3Du_0%28x%29+%2B+%5Cvarepsilon+u_1%28x%2Cy%29+%2B+%5Cvarepsilon%5E2+u_2%28x%2Cy%29+%2B+...+$&amp;sig=566eda15d0553e49f4d9a3bddb552861" alt=" u=u_0(x) + \varepsilon u_1(x,y) + \varepsilon^2 u_2(x,y) + ... " title=" u=u_0(x) + \varepsilon u_1(x,y) + \varepsilon^2 u_2(x,y) + ... " style="vertical-align: middle" width="230" height="14" /> where in our applications typically <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$y%3Dx%2F%5Cvarepsilon$&amp;sig=a15f1c9a4fc85e26c5ec8d6309ec80be" alt="y=x/\varepsilon" title="y=x/\varepsilon" style="vertical-align: middle" width="46" height="14" />. One can formally sort through the <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$%5Cvarepsilon$&amp;sig=0b8b89ee1b0df9b70bc3196cefc70d4c" alt="\varepsilon" title="\varepsilon" style="vertical-align: middle" width="6" height="6" />-levels using the properties of the differential operator. The really hard part then is to prove that this formal result is indeed true by finding error estimates in the right (complicated) spaces. There are many more tools available like the technique of Tartar/Murat, who use a weak formulation with special test functions depending on the small parameter. The weak point of that theory is that we first have to know the resulat as the parameter goes to zero before we can to construct the test function. Also the concept of <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/%CE%93-convergence">Gamma convergence</a> or the <a href="https://www.emis.de/journals/PM/63f4/pm63f408.pdf">unfolding trick</a> of <a href="https://www.ljll.math.upmc.fr/membres/fiches/cioranescu.html">Cioranescu</a> are helpful. An interesting and new application to the mathematical results is the construction of wave guides. The corresponding domain in which we place a waveguide is bounded in two directions and unbounded in one (e.g. an unbounded cylinder). <a href="http://www.ipme.ru/ipme/labs/mmmm/nazarov.htm">Serguei Nazarov</a> proposed to make holes in order to make gaps into the line of the spectrum for a specified wave guide. Andrii Khrabustovskyi suggests to distribute finitely many traps, which do not influence the essential spectrum but add eigenvalues. One interesting effect is that in this way one can find terms which are nonlocal in time or space and thus stand for memory effects of the material. <h1>References</h1> <ul><li> <a href="http://arxiv.org/abs/1405.1367.pdf">P. Exner and A. Khrabustovskyi: On the spectrum of narrow Neumann waveguide with periodically distributed δ′ traps</a>, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 48 (31) (2015), 315301.</li><li> <a href="http://arxiv.org/abs/1308.4091.pdf">A. Khrabustovskyi: Opening up and control of spectral gaps of the Laplacian in periodic domains</a>, Journal of Mathematical Physics, 55 (12) (2014), 121502.</li><li> <a href="http://arxiv.org/abs/1201.3729.pdf">A. Khrabustovskyi: Periodic elliptic operators with asymptotically preassigned spectrum</a>, Asymptotic Analysis, 82 (1-2) (2013), 1-37.</li><li> <a href="http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1631072102000050">S.A. Nazarov, G. Thäter: Asymptotics at infinity of solutions to the Neumann problem in a sieve-type layer</a>, Comptes Rendus Mecanique 331(1) (2003) 85-90.</li><li> S.A. Nazarov: Asymptotic Theory of Thin Plates and Rods: Vol.1. Dimension Reduction and Integral Estimates. Nauchnaya Kniga: Novosibirsk, 2002.</li></ul>

Modellansatz 116

Andrii Khrabustovskyi works at our faculty in the group Nonlinear Partial Differential Equations and is a member of the CRC Wave phenomena: analysis and numerics. He was born in Kharkiv in the Ukraine and finished his studies as well as his PhD at the Kharkiv National University and the Institute for Low Temperature Physics and Engineering of the National Academy of Sciences of Ukraine. He joined our faculty in 2012 as postdoc in the former Research Training Group 1294 Analysis, Simulation and Design of Nanotechnological Processes, which was active until 2014. Gudrun Thäter talked with him about one of his research interests Asymptotic analysis and homogenization of PDEs. Photonic crystals are periodic dielectric media in which electromagnetic waves from certain frequency ranges cannot propagate. Mathematically speaking this is due to gaps in the spectrum of the related differential operators. For that an interesting question is if there are gaps inbetween bands of the spectrum of operators related to wave propagation, especially on periodic geometries and with periodic coeffecicients in the operator. It is known that the spectrum of periodic selfadjoint operators has bandstructure. This means the spectrum is a locally finite union of compact intervals called bands. In general, the bands may overlap and the existence of gaps is therefore not guaranteed. A simple example for that is the spectrum of the Laplacian in  L_2(R^n)  which is the half axis [0, \infty).  The classic approach to such problems in the whole space case is the Floquet–Bloch theory. Homogenization is a collection of mathematical tools which are applied to media with strongly inhomogeneous parameters or highly oscillating geometry. Roughly spoken the aim is to replace the complicated inhomogeneous by a simpler homogeneous medium with similar properties and characteristics. In our case we deal with PDEs with periodic coefficients in a periodic geometry which is considered to be infinite. In the limit of a characteristic small parameter going to zero it behaves like a corresponding homogeneous medium. To make this a bit more mathematically rigorous one can consider a sequence of operators with a small parameter (e.g. concerning cell size or material properties) and has to prove some properties in the limit as the parameter goes to zero. The optimal result is that it converges to some operator which is the right homogeneous one. If this limit operator has gaps in its spectrum then the gaps are present in the spectra of pre-limit operators (for small enough parameter). The advantages of the homogenization approach compared to the classical one with Floquet Bloch theory are: 1. The knowledge of the limit operator is helpful and only available through homogenization. 2. For finite domains Floquet Bloch does not work well. Though we always have a discrete spectrum we might want to have the gaps in fixed position independent of the size of our domain. (...)

Homogenization

<a href="http://www.math.kit.edu/ianm2/~henn/">Thomas Henn</a> hat im Oktober 2016 seine Promotion zum Thema Computersimulation von Partikelströmungen abgeschlossen. Partikelströmungen treten in zahlreichen natürlichen sowie künstlichen Vorgängen auf, beispielsweise als Transport von <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Feinstaub">Feinstaub</a> in den <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Atemtrakt">menschlichen Atemwegen</a>, als Bildung von <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Sedimentation">Sediment</a> in Flüssen oder als Feststoff–Fluid Gemisch bei <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Filtration_(Trennverfahren)">Filtrationen</a>. Simulationen von Partikelströmungen kommen zum Einsatz, wenn physische Untersuchungen nicht möglich sind. Darüber hinaus können sie Kosten experimenteller Studien verringern. Häufig ist das der Fall, wenn es um medizinische Anwendungen geht. Wenn man beispielsweise aus <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Computertomographie">CT-Aufnahmen</a> die genaue Geometrie des <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Nasenh%C3%B6hle">Naseninnenraum</a>s eines Patienten kennt, kann durch Simulation in dieser spezifischen Geometrie ermittelt werden, wo sich Partikel welcher Größe ablagern. Das ist in zwei Richtungen interessant: Erstens zur Vermeidung von Gesundheitsbelastungen durch Einlagerung von Partikeln in der Lunge (dort landen alle Partikel, die die Nase nicht filtern kann) aber zweitens auch bei der bestmöglichen Verabreichung von Medikamenten mittels Zerstäubung in die Nasenhöhle. Es hat sich gezeigt, dass die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Numerische_Str%C3%B6mungsmechanik">Simulation von Strömungen</a> mit einer großen Zahl an beliebig geformten Partikeln den herkömmlichen numerischen Methoden insbesondere bei der Parallelisierung Probleme bereitet. Deshalb wird die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Lattice-Boltzmann-Methode">Lattice Boltzmann Methode</a> (LBM) als neues Verfahren zur numerischen Simulation von Strömungen auf Partikelströmungen angewendet. Sie hat außerdem den Vorteil, dass komplexe Geometrien wie z.B. ein Naseninnenraum keine extra zu bewältigende Schwierigkeit darstellen. Die zentrale Idee für die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Parallele_Programmierung">effektive Parallelisierung</a> unter LBM ist eine Gebietszerlegung: Die durchströmte Geometrie wird in Zellen aufgeteilt und diese Zellen gerecht auf die zur Verfügung stehenden Prozessoren verteilt. Da die Rechnungen für die Strömungsrechnung mit LBM im wesentlichen lokal sind (es werden nur die Informationen einer Zelle und der direkten Nachbarzellen benötigt), ist das extrem effektiv. Wenn nun neben der Strömung auch noch die Bewegung der Partikel berechnet werden soll, müssen natürlich <ol><li> physikalische Bewegungsmodelle gefunden werden, die für die jeweilige <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Partikelgr%C3%B6%C3%9Fenverteilung">Partikelgröße</a> und -form passen,</li><li> daraus Gleichungen und deren <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Diskretisierung">Diskretisierung</a> abgeleitet werden</li><li> in der Implementierung die Vorteile der LBM bei der Parallelisierung möglichst nicht zerstört werden.</li></ol> Offensichtlich ist es am besten, wenn die Partikel möglichst gleichmäßig über die durchströmte Geometrie verteilt sind. Aber das kann man sich ja nicht immer so aussuchen. Je nach Größe und Dichte der Partikel wird es wichtig, neben der Wirkung des Fluids auf die Partikel auch <ol><li> Rückwirkung des Partikels auf die Strömung,</li><li> Wechselwirkung der Partikel untereinander (z.B. auch herausfinden, wann sich Partikel berühren)</li><li> Wechselwirkung der Partikel mit dem Rand der Geometrie</li></ol>zu betrachten. Als sehr hilfreich hat sich eine ganz neue Idee herausgestellt: Partikelströmungen als bewegtes poröses Medium zu modellieren. D.h. für große Partikel stellt man sich vor, sie haben einen festen Kern und außen einen glatten Übergang in der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Porosit%C3%A4t">Porösität</a> zur reinen <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Fluid">Fluidphase</a>. Es zeigt sich, dass man dann sogar auf ein Modell verzichten kann, das die Kontakte der Partikel modelliert, weil sich die Partikel so natürlich in der Strömung bewegen, wie man es auch im Experiment beobachtet. Alle Berechnungen müssen <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Validit%C3%A4t">validiert</a> werden, auch wenn manchmal nicht ganz klar ist, wie das erfolgen kann. Zum Glück ist hier aber die enge Zusammenarbeit mit der <a href="https://www.mvm.kit.edu/profil_vm.php">Verfahrenstechnik</a> am KIT eine große Hilfe, die die Computersimulationswerkzeuge auch für ihre Projekte nutzen und weiter entwickeln. <h1>Literatur und weiterführende Informationen</h1> <ul><li> <a href="http://modellansatz.de/filters">L.L.X. Augusto: Filters</a>, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 112, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. <a href="http://modellansatz.de/filters">http://modellansatz.de/filters</a> </li><li> <a href="http://optilb.org/openlb/">OpenLB</a> Open source Lattice Boltzmann Code </li><li> <a href="https://publikationen.bibliothek.kit.edu/1000052140">F. Bülow: Numerical simulation of destabilizing heterogeneous suspensions at vanishing Reynolds numbers</a>. Karlsruhe, 2015.</li><li> T. Henn et al.: Particle Flow Simulations with Homogenised Lattice Boltzmann Methods. To appear in <a href="http://www.sciencedirect.com/science/journal/16742001">Particuology</a>.</li><li> F. Klemens: Simulation of Fluid-Particle Dynamics with a Porous Media Lattice Boltzmann Method, MA thesis. Karlsruher Institut für Technologie, 2016.</li><li> <a href="http://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/6018">E. E. Michaelides: Particles, Bubbles &amp; Drops: Their Motion, Heat and Mass Transfer</a>, World Scientific Publishing Company Incorporated, 2006.</li><li> <a href="http://modellansatz.de/aorta-challenge">T.Henn: Aorta Challenge</a>, Gespräch mit S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 2, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2013. <a href="http://modellansatz.de/aorta-challenge">http://modellansatz.de/aorta-challenge</a></li></ul>

Modellansatz 115

Thomas Henn hat im Oktober 2016 seine Promotion zum Thema Computersimulation von Partikelströmungen abgeschlossen. Partikelströmungen treten in zahlreichen natürlichen sowie künstlichen Vorgängen auf, beispielsweise als Transport von Feinstaub in den menschlichen Atemwegen, als Bildung von Sediment in Flüssen oder als Feststoff–Fluid Gemisch bei Filtrationen. Simulationen von Partikelströmungen kommen zum Einsatz, wenn physische Untersuchungen nicht möglich sind. Darüber hinaus können sie Kosten experimenteller Studien verringern. Häufig ist das der Fall, wenn es um medizinische Anwendungen geht. Wenn man beispielsweise aus CT-Aufnahmen die genaue Geometrie des Naseninnenraums eines Patienten kennt, kann durch Simulation in dieser spezifischen Geometrie ermittelt werden, wo sich Partikel welcher Größe ablagern. Das ist in zwei Richtungen interessant: Erstens zur Vermeidung von Gesundheitsbelastungen durch Einlagerung von Partikeln in der Lunge (dort landen alle Partikel, die die Nase nicht filtern kann) aber zweitens auch bei der bestmöglichen Verabreichung von Medikamenten mittels Zerstäubung in die Nasenhöhle. Es hat sich gezeigt, dass die Simulation von Strömungen mit einer großen Zahl an beliebig geformten Partikeln den herkömmlichen numerischen Methoden insbesondere bei der Parallelisierung Probleme bereitet. Deshalb wird die Lattice Boltzmann Methode (LBM) als neues Verfahren zur numerischen Simulation von Strömungen auf Partikelströmungen angewendet. Sie hat außerdem den Vorteil, dass komplexe Geometrien wie z.B. ein Naseninnenraum keine extra zu bewältigende Schwierigkeit darstellen. Die zentrale Idee für die effektive Parallelisierung unter LBM ist eine Gebietszerlegung: Die durchströmte Geometrie wird in Zellen aufgeteilt und diese Zellen gerecht auf die zur Verfügung stehenden Prozessoren verteilt. Da die Rechnungen für die Strömungsrechnung mit LBM im wesentlichen lokal sind (es werden nur die Informationen einer Zelle und der direkten Nachbarzellen benötigt), ist das extrem effektiv. Wenn nun neben der Strömung auch noch die Bewegung der Partikel berechnet werden soll, müssen natürlich 1. physikalische Bewegungsmodelle gefunden werden, die für die jeweilige Partikelgröße und -form passen, 2. daraus Gleichungen und deren Diskretisierung abgeleitet werden 3. in der Implementierung die Vorteile der LBM bei der Parallelisierung möglichst nicht zerstört werden. Offensichtlich ist es am besten, wenn die Partikel möglichst gleichmäßig über die durchströmte Geometrie verteilt sind. Aber das kann man sich ja nicht immer so aussuchen. Je nach Größe und Dichte der Partikel wird es wichtig, neben der Wirkung des Fluids auf die Partikel auch 1. Rückwirkung des Partikels auf die Strömung, 2. Wechselwirkung der Partikel untereinander (z.B. auch herausfinden, wann sich Partikel berühren) 3. Wechselwirkung der Partikel mit dem Rand der Geometrie zu betrachten. (...)

Partikelströmungen

Helen hat am <a href="http://www.kit.edu">Karlsruher Institut für Technologie (KIT)</a> ihren <a href="http://www.math.kit.edu/lehre/seite/bachelor-math/">Bachelor in Mathematik</a> abgeschlossen. Als Bachelorarbeit hatte sie sich das Thema Schaukeln gewählt unter der Betreuung von <a href="http://www.math.kit.edu/ianm4/~thaeter/seite/abschlussarbeiten/#Bachelorarbeiten">Gudrun Thäter</a>. Es geht darin um Modelle, die tatsächlich die Schaukel vom Spielplatz untersuchen. Die zentrale Frage, die durch die Modelle und daraus abgeleitete Simulationen beantwortet werden soll ist: Wie funktioniert das Schwung geben beim schaukeln? Eine grundlegende Idee (die Helen aus der Literatur entnommen hat) ist es, die Schaukel als <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Mathematisches_Pendel">Fadenpendel</a> mit veränderlicher Fadenlänge anzusehen. Das liegt daran, dass das Schwung geben sich vor allem durch die Veränderung der Lage des Schwerpunkts erklärt, die dann im Modell als veränderliche Pendellänge eingeht. Fadenlänge als Funktion in der Zeit erwies sich als nicht praktikabel deshalb ist sie in Helens Modell nun eine Funktion von der Winkelauslenkung. Das führt auf eine Differentialgleichung zweiter Ordnung für die Variable der Auslenkung. Reibungsverluste der Schaukel werden auf herkömmliche Art integriert und als proportional zur Geschwindigkeit des Massepunktes angenommen. Um realistische Parameter für Rechnungen zu gewinnen, konnten wir leider keine Experimente mit schaukelnden Kindern durchführen, sondern haben uns auf Computer-Simulation für unterschiedliche Konstellationen verlassen und Parameter für die realistisch erscheinenden Szenarien daraus entnommen. In der Arbeit enthalten sind nun neben dem theoretischen Modell auch unterschiedliche Fälle mit verschiedenen Seillängen und Personengrößen durchgerechnet und graphisch dargestellt. Zwei Ergebnisse, die man daraus ablesen kann sind, dass kürzere Schaukeln es einem leichter machen, sich aufzuschaukeln und große Leute einen Vorteil haben, weil sie ihren Schwerpunkt über eine größere Strecke verschieben können. Schließlich war es entscheidend für den Erfolg der Arbeit, sich an der <a href="https://www.iai.kit.edu/Ansprechpersonen_1478.php">richtigen Stelle Rat</a> zu suchen. <h1>Literatur und weiterführende Informationen</h1> <ul><li> <a href="https://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/Splitter/PhysikDesAufschaukelns/">Physik des Aufschaukelns</a></li><li> <a href="http://www.home.hs-karlsruhe.de/~kero0001/Schaukel/Mama_Schaukel2.pdf">Anschubsen</a></li><li> <a href="http://link.springer.com/book/10.1007/978-3-8348-2575-9">K. Magnus: Schwingungen</a>, Teubner 1976.</li></ul>

Modellansatz 114

Helen hat am Karlsruher Institut für Technologie (KIT) ihren Bachelor in Mathematik abgeschlossen. Als Bachelorarbeit hatte sie sich das Thema Schaukeln gewählt unter der Betreuung von Gudrun Thäter. Es geht darin um Modelle, die tatsächlich die Schaukel vom Spielplatz untersuchen. Die zentrale Frage, die durch die Modelle und daraus abgeleitete Simulationen beantwortet werden soll ist: Wie funktioniert das Schwung geben beim schaukeln? Eine grundlegende Idee (die Helen aus der Literatur entnommen hat) ist es, die Schaukel als Fadenpendel mit veränderlicher Fadenlänge anzusehen. Das liegt daran, dass das Schwung geben sich vor allem durch die Veränderung der Lage des Schwerpunkts erklärt, die dann im Modell als veränderliche Pendellänge eingeht. Fadenlänge als Funktion in der Zeit erwies sich als nicht praktikabel deshalb ist sie in Helens Modell nun eine Funktion von der Winkelauslenkung. Das führt auf eine Differentialgleichung zweiter Ordnung für die Variable der Auslenkung. Reibungsverluste der Schaukel werden auf herkömmliche Art integriert und als proportional zur Geschwindigkeit des Massepunktes angenommen. Um realistische Parameter für Rechnungen zu gewinnen, konnten wir leider keine Experimente mit schaukelnden Kindern durchführen, sondern haben uns auf Computer-Simulation für unterschiedliche Konstellationen verlassen und Parameter für die realistisch erscheinenden Szenarien daraus entnommen. In der Arbeit enthalten sind nun neben dem theoretischen Modell auch unterschiedliche Fälle mit verschiedenen Seillängen und Personengrößen durchgerechnet und graphisch dargestellt. Zwei Ergebnisse, die man daraus ablesen kann sind, dass kürzere Schaukeln es einem leichter machen, sich aufzuschaukeln und große Leute einen Vorteil haben, weil sie ihren Schwerpunkt über eine größere Strecke verschieben können. Schließlich war es entscheidend für den Erfolg der Arbeit, sich an der richtigen Stelle Rat zu suchen.

Schaukeln

Strömungen beobachten wir fast jeden Tag. Die Meeresbrandung fasziniert uns und eine gut funktionierende Klimaanlage ist ein wunderbarer Luxus, egal ob sie wärmt oder kühlt. Strömungen zu beherrschen ist aber auch in vielen <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Verfahrenstechnik">verfahrenstechnischen Zusammenhängen</a> wichtig. Insofern haben Gleichungen, die Strömungen beschreiben, eine große praktische Relevanz und gleichzeitig eine fast emotionale Anziehungskraft. Das einfachste mathematische Modell, das auch für viele Computersimulationen genutzt wird, sind die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Inkompressibles_Fluid">inkompressiblen</a> <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Navier-Stokes-Gleichungen">Navier-Stokes Gleichungen</a> (INS). Hier ist die strömende Substanz dem Wasser ähnlich genug, dass nur in der Materialkonstante <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Viskosit%C3%A4t">Viskosität</a> verschiedene Fließfähigkeiten unterschieden werden. Als Lösungen des Systems von partiellen Differentialgleichungen suchen wir das Geschwindigkeitsfeld und den Druck als Funktionen von Raum und Zeit . Im 3d-Fall ist das ein System von vier Gleichungen. Drei davon sind eine Vektorgleichung, die aus der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Impulserhaltungssatz">Impulserhaltung</a> abgeleitet wird und die vierte ist die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Massenerhaltungssatz">Erhaltung der Masse</a>. Im inkompressiblen Fall vereinfacht sich diese aus die Forderung, dass die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Divergenz_eines_Vektorfeldes">Divergenz</a> des Geschwindigkeitsfeldes verschwindet. Die komplexer aussehende Gleichung ist die Vektorgleichung, weil hier die zweiten räumlichen Ableitungen des Geschwindigkeitsfeldes, der Druckgradient, die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit und ein nichtlinearer Term vorkommen. Die Gleichungen müssen im Strömungsgebiet gelten. Die Lösungen müssen sich aus dem Anfangszustand entwickeln (Anfangsbedingung) und am räumlichen Rand vorgeschriebenen Werten, den Randwerten (meist fordert man, dass die Geschwindigkeit Null ist) genügen. Dieses Modell ist in einem längeren Prozess entwickelt worden. Ein großer Durchbruch bei der mathematischen Analyse gelang dem französischen Mathematiker <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Jean_Leray">Leray</a> im Jahr 1934. Er hatte die geniale Idee, sich von dem Wunsch zu verabschieden, für diese komplizierte Gleichung eine punktweise zutreffende Lösung zu konstruieren. Statt dessen verallgemeinerte er den Lösungsbegriff und führte den Begriff der schwachen Lösung ein. Diese erfüllt die Gleichung nur im Sinne eines ausgeklügelten Systems von unendlich vielen Integralgleichungen. Er zeigte mit Hilfe von abstrakten Argumenten, dass die INS immer solche schwachen Lösungen haben. Heute ist bekannt, dass <ul><li> falls eine punktweise Lösung existiert (sogenannte starke Lösung), diese eindeutig ist (also insbesondere mit der schwachen übereinstimmt),</li><li> es in 2d immer eine punktweise Lösung gibt, die für alle Zeiten existiert (unter geringfügigen Bedingungen an den Rand), und</li><li> es unter Kleinheitsbedingungen an die Daten und bei glattem geometrischen Rand des Gebietes auch in 3d punktweise Lösungen gibt.</li></ul>Wir wissen jedoch in 3d nicht, ob die gefundenen schwache Lösung regulär bzw. stark ist (d.h. eine punktweise Lösung ist.) In Vorbereitung auf den Jahrtausendwechsel gab es in der Mathematik die Bestrebung, so wie dies 100 Jahre zuvor von Hilbert geschehen war, die wichtigsten mathematischen Problemstellungen in den Fokus zu nehmen. Das Ergebnis waren sieben sogenannte <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Millennium-Probleme">Milleniumsprobleme</a> der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Clay_Mathematics_Institute">Clay Foundation</a>, für deren Lösung jeweils ein Preisgeld von einer Millionen Dollar ausgelobt wurde. Eines dieser für so wichtig angesehenen Probleme ist die offene Frage der Regularität der schwachen Lösungen der INS. Woran liegt das? Eine Eigenschaft der INS, die sie schwierig macht, ist ihre Nichtlinearität. Sie ist nur quadratisch und hat eine besondere Struktur. Diese Struktur verdanken wir es z.B., dass die schwache Theorie erfolgreich ist. Es besteht Hoffnung, dass wir auch die Lücke zur starken Theorie unter Ausnutzung der Struktur schließen können. Der Standardweg im linearen Fall (z.B. beim Laplace-Problem) ist es, für die schwachen Lösungen mit einem Münchhausen-Prinzip (<a href="http://math.stackexchange.com/questions/456140/what-is-elliptic-bootstrapping">Elliptic Bootstrapping</a>) Stück für Stück mehr Regularität zu zeigen. Man kann so zeigen, dass die Lösung immer so gut ist, wie die es Daten erlauben. Man nennt das maximale Regularität. Leider ist für die INS das Wachstum in der Nichtlinearität zu schnell, um im 3d-Fall mit diesen Standardmethoden zu argumentieren (im 2d Fall geht es aber). Im 3d-Fall geht es aber unter bestimmten Zusatzbedingungen, z.B. einer höheren Integrierbarkeit des Geschwindigkeitsfeldes als die schwachen Lösungen von vornherein haben. Man fand dies über Skalierungs-Eigenschaften der Gleichung heraus. Grob gesagt, muss man fordern dass die Lösung zu einem Raum gehört, der Skalierungsinvariant ist. Eine weitere zusätzliche Forderung ist die Gültigkeit der Energiegleichung (Erhaltung der kinetischen Energie), denn leider weiß man bisher von schwachen Lösungen nur, dass sie eine Energieungleichung erfüllen. Eine zweite Schwierigkeit der INS ist der Zusammenhang zwischen Druck und Divergenzgleichung. Ein Trick der schwachen Theorie ist, dass wir uns von Anfang an auf Funktionen beschränken, die schwach divergenzfrei sind (also die Gleichung <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$+%5Cmathrm%7Bdiv%7D%5C%2C+v%3D0+$&amp;sig=79739afa16179038ad2bfce592c2069d" alt=" \mathrm{div}\, v=0 " title=" \mathrm{div}\, v=0 " style="vertical-align: middle" width="54" height="11" /> in Integralmittel erfüllen. Was in der Theorie sehr gut funktioniert, ist blöd für die Numerik, weil man Divergenzfreiheit immer wieder herstellen muss wegen der Rechenfehler im Prozess. Unter den Forschern gibt es zwei Richtungen: Entweder man sucht nach Blow-up Lösungen, also schwachen Lösungen, die keine punktweisen Lösungen sein können, oder man versucht die Zusatzforderungen aufzuweichen (um sie am Ende ganz weglassen zu können). Dabei gibt es ständig kleine Fortschritte. Es gibt auch zwei Wege, für allgemeinere Modelle Theorien zu entwickeln, die dann im Spezialfall auch etwas über INS sagen. Ein durch <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Olga_Ladyzhenskaya">O.A. Ladyzenskaya</a> vorgeschlagener Zugang geht über den <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/P-Laplacian">p-Laplace-Operator</a>. Hier findet man starke Lösungen für alle p&gt;2,5, die INS ist jedoch der Fall p=2. Als Materialgesetz interessant für Ingenieure ist aber der noch schwierigere Fall 1&lt;p&lt;2. Der zweite Weg sind kompressible Modelle zu nutzen, um Inkompressibilität durch eine Folge immer weniger kompressibler Modelle zu approximieren. Das ist aber sehr schwierig, denn die Skalierungszusammenhänge sind nicht klar und die kompressiblen Modelle sind in der Gültigkeit schwer zu verifizieren. Z.B. lassen sie in der Regel eine Dichte von Null zu, was physikalisch nicht sinnvoll ist. <a href="https://www.uni-koblenz-landau.de/de/koblenz/fb3/mathe/ueber-uns/mitglieder/wisMitarbeiterSammelordner/steinhauer">Mark Steinhauer</a> entdeckte die INS in seiner Studienzeit durch eine Vorlesung von <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Jens_Frehse">Jens Frehse</a> in Bonn. Es gab eine sehr enge Zusammenarbeit mit Schülern von <a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Jind%C5%99ich_Ne%C4%8Das">Jindřich Nečas</a> (von der Karlsuni in Prag) z.B. mit <a href="https://aam.uni-freiburg.de/agru/index.html">Michael Růžička</a> und <a href="http://www.karlin.mff.cuni.cz/~malek/new/index.php?title=Josef_M%C3%A1lek">Josef Málek</a> (und inzwischen deren Schüler). Er promovierte in Bonn und arbeitet heute als Dozent für Mathematik vor allem mit zukünftigen Lehrpersonen an der <a href="https://www.uni-koblenz-landau.de/de/uni/profil/ueber-uns">Uni in Koblenz</a>. <h1>Literatur und weiterführende Informationen</h1> <ul><li> <a href="http://scholar.google.de/scholar?cluster=2535465300213127504">Ladyzhenskaya, O. A. (1969) [1963</a>, The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flow], Mathematics and Its Applications, 2 (Revised Second ed.), New York–London–Paris: Gordon and Breach</li><li> <a href="http://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-4317-3">Ladyzhenskaya, O. A. (1985), The Boundary Value Problems of Mathematical Physics</a>, Applied Mathematical Sciences, 49, Berlin–Heidelberg–New York: Springer Verlag</li><li> <a href="http://link.springer.com/article/10.1007/BF02547354">Leray: Sur le mouvement d´un liquide visqueux emplissant l´espace</a>, Acta Mathematica, Band 63, 1934, S. 193–248</li><li> <a href="https://www.crcpress.com/Weak-and-Measure-Valued-Solutions-to-Evolutionary-PDEs/Necas-Malek-Rokyta-Ruzicka/p/book/9780412577505">Málek, J., Nečas, J., Rokyta, M.,Růžička, M.: Weak and measure–valued solutions to evolutionary PDE’s</a>, Series: Applied Mathematics and Mathematical Computation 13, Chapman and Hall (CRC Press), 1996. </li><li> <a href="http://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/S0036141002410988">Frehse, J., Málek, J., Steinhauer, M.: On analysis of steady flows of fluids with shear dependent viscosity based on the Lipschitz truncation method</a>, SIAM J. Math. Anal. 34 (No.5) (2003), 1064–1083. </li><li> <a href="http://www.ams.org/books/chel/343/">Temam, R. (2001), Navier–Stokes Equations, Theory and Numerical Analysis</a>, AMS Chelsea, pp. 107–112</li></ul>

Modellansatz 113

Strömungen beobachten wir fast jeden Tag. Die Meeresbrandung fasziniert uns und eine gut funktionierende Klimaanlage ist ein wunderbarer Luxus, egal ob sie wärmt oder kühlt. Strömungen zu beherrschen ist aber auch in vielen verfahrenstechnischen Zusammenhängen wichtig. Insofern haben Gleichungen, die Strömungen beschreiben, eine große praktische Relevanz und gleichzeitig eine fast emotionale Anziehungskraft. Das einfachste mathematische Modell, das auch für viele Computersimulationen genutzt wird, sind die inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen (INS). Hier ist die strömende Substanz dem Wasser ähnlich genug, dass nur in der Materialkonstante Viskosität verschiedene Fließfähigkeiten unterschieden werden. Als Lösungen des Systems von partiellen Differentialgleichungen suchen wir das Geschwindigkeitsfeld und den Druck als Funktionen von Raum und Zeit . Im 3d-Fall ist das ein System von vier Gleichungen. Drei davon sind eine Vektorgleichung, die aus der Impulserhaltung abgeleitet wird und die vierte ist die Erhaltung der Masse. Im inkompressiblen Fall vereinfacht sich diese aus die Forderung, dass die Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes verschwindet. Die komplexer aussehende Gleichung ist die Vektorgleichung, weil hier die zweiten räumlichen Ableitungen des Geschwindigkeitsfeldes, der Druckgradient, die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit und ein nichtlinearer Term vorkommen. Die Gleichungen müssen im Strömungsgebiet gelten. Die Lösungen müssen sich aus dem Anfangszustand entwickeln (Anfangsbedingung) und am räumlichen Rand vorgeschriebenen Werten, den Randwerten (meist fordert man, dass die Geschwindigkeit Null ist) genügen. Dieses Modell ist in einem längeren Prozess entwickelt worden. Ein großer Durchbruch bei der mathematischen Analyse gelang dem französischen Mathematiker Leray im Jahr 1934. Er hatte die geniale Idee, sich von dem Wunsch zu verabschieden, für diese komplizierte Gleichung eine punktweise zutreffende Lösung zu konstruieren. Statt dessen verallgemeinerte er den Lösungsbegriff und führte den Begriff der schwachen Lösung ein. Diese erfüllt die Gleichung nur im Sinne eines ausgeklügelten Systems von unendlich vielen Integralgleichungen. Er zeigte mit Hilfe von abstrakten Argumenten, dass die INS immer solche schwachen Lösungen haben. Heute ist bekannt, dass falls eine punktweise Lösung existiert (sogenannte starke Lösung), diese eindeutig ist (also insbesondere mit der schwachen übereinstimmt), es in 2d immer eine punktweise Lösung gibt, die für alle Zeiten existiert (unter geringfügigen Bedingungen an den Rand), und es unter Kleinheitsbedingungen an die Daten und bei glattem geometrischen Rand des Gebietes auch in 3d punktweise Lösungen gibt. Wir wissen jedoch in 3d nicht, ob die gefundenen schwache Lösung regulär bzw. stark ist (d.h. eine punktweise Lösung ist.) (...)

Reguläre Strömungen

Liliana de Luca Xavier Augusto is PhD student of chemical engineering at the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Federal_University_of_S%C3%A3o_Carlos">Federal University of São Carlos</a> in Brasil. She spent one year of her PhD (October 2015-2016) at the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Karlsruhe_Institute_of_Technology">KIT</a> in Karlsruhe to work with the group developing the software <a href="http://optilb.org/openlb/">OpenLB</a> at the <a href="http://www.math.kit.edu">Mathematical Department</a> and the <a href="https://www.ciw.kit.edu/">Department of Chemical Engineering</a>. Liliana Augusto investigates <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Filtration">filtering devices</a> which work on a micro (<img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$10%5E%7B-6%7Dm$&amp;sig=170f332ec4e326be1703b6cecb35c76c" alt="10^{-6}m" title="10^{-6}m" style="vertical-align: middle" width="38" height="12" />) and nano (<img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$10%5E%7B-9%7Dm$&amp;sig=86ec22c74a70d796c779d25d87293402" alt="10^{-9}m" title="10^{-9}m" style="vertical-align: middle" width="38" height="12" />) level, and computes the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Pressure_measurement">pressure drop</a> between in- and outlet of the filter as well as the collection efficiency. There is a research group conducting experimental setups for these problems, but her research group focuses specifically on mathematical modeling and computer simulation. Due to the small scale and nature of the experiments, one cannot easily take pictures from the physical filters by <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Electron_microscope">electronic microsopy</a>, but it is indeed feasible to deduce some important characteristics and geometry such as the size of the fibres for proper modelling and simulation. Appropriate models for the small scale are mesoscopic like <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Lattice_Boltzmann_methods">Lattice Boltzmann Model</a> where microscopic models are very expensive- too expensive. She is busy with special <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Boundary_value_problem">boundary conditions</a> necessary <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/No-slip_condition">no-slip boundary condition</a> on the macro scale has to be translated. There is a certain slip to be taken into account to align the results with experimental findings. Lattice Boltzman methods are not very prominent in Brasil. She was looking for suitable partners and found the development group around <a href="http://optilb.org/openlb/">OpenLB</a> who had co-operations with Brazil. She tried to apply the software on the problem, and she found out about the possibility to work in Germany through a program of the Brasilian government. It is not so common to go abroad as a PhD-student in Brazil. She learnt a lot not only in an academical manner but highly recommends going abroad to experience new cultures as well. She does not speak German- everything, from looking for partners to arriving in Germany, happened so fast that she could not learn the language beforehand. At the university, English was more than sufficient for scientific work, but she had difficulties finding a place to stay. In the end, she found a room in a student dorm with German students and a few other international students. <h1>References</h1> <ul><li> <a href="http://porto.polito.it/2607558/">L.L.X. Augusto e.a.: CFD Simulation of nanofiber-enhanced air filter media</a> - FILTECH 2015 - G6 - Modelling and simulation, 2015.</li><li> <a href="http://porto.polito.it/2607157/">L.L.X. Augusto e.a.: Predicting air flow resistance and capture efficiency of fibrous air filter media</a> - Roomvent, 2014.</li></ul>

Modellansatz 112

Liliana de Luca Xavier Augusto is PhD student of chemical engineering at the Federal University of São Carlos in Brasil. She spent one year of her PhD (October 2015-2016) at the KIT in Karlsruhe to work with the group developing the software OpenLB at the Mathematical Department and the Department of Chemical Engineering. Liliana Augusto investigates filtering devices which work on a micro (10^{-6}m) and nano (10^{-9}m) level, and computes the pressure drop between in- and outlet of the filter as well as the collection efficiency. There is a research group conducting experimental setups for these problems, but her research group focuses specifically on mathematical modeling and computer simulation. Due to the small scale and nature of the experiments, one cannot easily take pictures from the physical filters by electronic microsopy, but it is indeed feasible to deduce some important characteristics and geometry such as the size of the fibres for proper modelling and simulation. Appropriate models for the small scale are mesoscopic like Lattice Boltzmann Model where microscopic models are very expensive- too expensive. She is busy with special boundary conditions necessary no-slip boundary condition on the macro scale has to be translated. There is a certain slip to be taken into account to align the results with experimental findings. Lattice Boltzman methods are not very prominent in Brasil. She was looking for suitable partners and found the development group around OpenLB who had co-operations with Brazil. She tried to apply the software on the problem, and she found out about the possibility to work in Germany through a program of the Brasilian government. It is not so common to go abroad as a PhD-student in Brazil. She learnt a lot not only in an academical manner but highly recommends going abroad to experience new cultures as well. She does not speak German- everything, from looking for partners to arriving in Germany, happened so fast that she could not learn the language beforehand. At the university, English was more than sufficient for scientific work, but she had difficulties finding a place to stay. In the end, she found a room in a student dorm with German students and a few other international students.

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<a href="http://www.mi.fu-berlin.de/math/groups/discgeom/ziegler/">Günter M. Ziegler</a> hat unsere Fakultät besucht, um im <a href="http://www.math.kit.edu/didaktik/edu/didkoll-dauerdauer/">Didaktik-Kolloquium</a> einen Vortrag mit dem Titel Was ist Mathematik? zu halten. Diese Gelegenheit ergriff <a href="http://www.math.kit.edu/ianm2/~thaeter">Gudrun Thäter</a>, um ihn auf ein kurzes Gespräch zu diesem weitreichenden Thema einzuladen. <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/G%C3%BCnter_Ziegler">Günter M. Ziegler</a> studierte Mathematik und Physik an der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Ludwig-Maximilians-Universit%C3%A4t_M%C3%BCnchen">LMU München</a>. Er promovierte 1987 am <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Massachusetts_Institute_of_Technology">MIT</a> in Cambridge und war anschließend in <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Universit%C3%A4t_Augsburg">Augsburg</a> und <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Mittag-Leffler-Institut">Djursholm</a> (Schweden) wissenschaftlich tätig. 1992 habilitierte er an der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Technische_Universit%C3%A4t_Berlin">TU Berlin</a> und arbeitete anschließend sowohl am <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Konrad-Zuse-Zentrum_f%C3%BCr_Informationstechnik_Berlin">Konrad-Zuse-Zentrum</a> als auch an der TU in Berlin (seit 1995 als Professor). 2011 folgte er einem Ruf auf eine Professur für Mathematik an die FU Berlin. Im Jahr 2001 erhielt er den höchstdotierten deutschen Wissenschaftspreis, den <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Gottfried-Wilhelm-Leibniz-Preis">Gottfried-Wilhelm-Leibniz-Preis der DFG</a>. Professor Ziegler ist natürlich als jemand, der selbst in der Mathematik forscht, berufen, fundiert über sein Bild der Mathematik zu reden. Darüber hinaus hat er aber auch maßgeblich als <a href="http://dmv.mathematik.de/">Präsident des Berufsverbandes der Mathematiker</a>, der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Deutsche_Mathematiker-Vereinigung">DMV</a> (von 2006 bis 2008) mit darauf hingearbeitet, das Bild der Mathematik in der Öffentlichkeit zu korrigieren und die Allgegenwart mathematischer Techniken und Ergebnisse im Alltag aller Menschen mit dem <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Wissenschaftsjahr#Jahr_der_Mathematik_2008">Wissenschaftsjahr der Mathematik 2008</a> ins Bewusstsein zu heben. Seither schreibt er auch regelmäßig die Kolumne Mathematik im Alltag in den <a href="https://www.degruyter.com/view/j/dmvm">Mitteilungen der DMV</a>. Er ist Autor verschiedener Bücher zum Themenkreis und wurde für seine vielfältige Tätigkeit 2008 mit dem <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Communicator-Preis">Communicator Preis</a> ausgezeichnet. Auf dem Internationalen Mathematikerkongress <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Internationaler_Mathematikerkongress">ICM</a> 2014 in Seoul präsentierte er einen eingeladenen Vortrag What is Mathematics? Das Gespräch berührt unter anderem die Themen: <ul><li> Wie fing die persönliche Begeisterung für Mathematik an? </li><li> Wer ist eigentlich Mathematiker bzw. Mathematikerin? </li><li> Wie kann man die vielfältigen Facetten der Mathematik sichtbar machen?</li><li> Wie geht das in der Schule?</li><li> Wie müssen wir Lehrpersonen hierfür ausbilden?</li><li> Was ist eine Zahl? </li></ul> <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Mathematik">Wikipedia</a> definiert Mathematik als "Wissenschaft ..., die durch logische Definitionen selbstgeschaffene abstrakte Strukturen mittels der Logik auf ihre Eigenschaften und Muster untersucht.". Dies klingt sehr langweilig und übersieht, dass Mathematik viele Aspekte hat: <ol><li> Mathematik ist als ein Teil unserer Kultur eingebettet in die Geschichte der Menschheit und war lange auf das engste verbunden mit der Wissenschaft Physik. </li><li> Mathematik ist aber auch ein Werkzeugkasten für den Alltag. Für Deutschland ist das sehr spürbar seit dem Rechenbüchlein von <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Adam_Ries">Adam Ries</a> (1522) - heute gehört dazu auch noch Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung zur Sortierung von Daten und Fakten. </li><li> Mathematik ist Zukunftswissen als Grundlage von Hightech. Das zeigt sich u.a. darin, dass es Grundlage für jedes ingenieurwissenschaftliche Studium ist. </li><li> Mathematik ist eine natürliche menschliche Tätigkeit, in der er seiner Neugier folgt und die spannend und herausfordernd ist.</li></ol> Schüler lernen im Lauf der Schulkarriere in der Regel nicht alle diese Facetten kennen. Nach dem Namen der verwendeten Schulbücher könnte man zum Beispiel denken, <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrie">Geometrie</a> und <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Algebra">Algebra</a> bildeten zusammen die Mathematik. Außerdem hat sich im Lauf der Zeit die Mathematik verändert. Das wird z.B. sichtbar in der Rolle der Computer früher und heute. Im Vergleich dazu gibt zu wenig Wechsel im schulischen Lernstoff. Was über die Zeit bleibt, sind natürlich die Fertigkeiten sauber zu argumentieren, präzise zu formulieren und logisch zu denken. Das muss man unter anderem auch als Ingenieur, Mediziner und Jurist können. Darüber hinaus ist es eine Grundfertigkeit im Alltag, Statistiken zu lesen und zu verstehen. Ein gutes Beispiel, um auch schon in der Schule aufzuzeigen, wo und wie überall Mathematik benutzt wird, wäre z.B. zu vermitteln wie die Wettervorhersage entsteht: Wie wird es gerechnet, mit welchen Unsicherheiten ist das Ergebnis behaftet usw.. Die Numerik ist im Detail zu schwierig, aber die Prinzipien lassen sich durchaus aufzeigen. Man kann auch damit beginnen, dazu Geschichten zu erzählen, die zunächst Grundprinzipien klar machen und anschließend bestimmte Aspekte auch genau und in der Tiefe verständlich machen. Deshalb wurde eine "Erzählvorlesung" <a href="http://lwb.mi.fu-berlin.de/math/module/pan.shtml">Panorama der Mathematik</a> in Berlin entwickelt, die das insbesondere für Lehramtskandidaten und -kandidatinnen sichtbar machen soll und Mathematik in einen weiten Kontext setzt. Es wird die Entwicklung von Mathematik als von Fragen getriebener Prozess dargestellt und ihre Ergebnisse nicht als alternativlos. Denn nicht einmal die Darstellung der Zahlen im Dezimalsystem ist die einzige Möglichkeit, die sich hätte durchsetzen können. <h1>Literatur und weiterführende Informationen</h1> <ul><li> <a href="http://www.springer.com/de/book/9783540637776">R. Courant &amp; H. Robbins: Was ist Mathematik?</a> Springer 2001, ISBN 978-3540637776.</li><li> <a href="http://www.leeds.ac.uk/educol/documents/190670.pdf">H. Mendick et.al: Mathematical Bilder and identities: Education, entertainment, social justice</a>. 2008</li><li> <a href="https://www.piper.de/buecher/darf-ich-zahlen-isbn-978-3-492-26482-2">G.M. Ziegler: Darf ich Zahlen? Geschichten aus der Mathematik</a>. Piper-Verlag, 2010, ISBN 3-492-05346-7.</li><li> <a href="https://www.amazon.de/Mathematik-Das-doch-keine-Kunst/dp/3813505847">G.M. Ziegler: Mathematik – Das ist doch keine Kunst!</a>. Albrecht Knaus Verlag, München 2013, ISBN 978-3-8135-0584-9.</li></ul> <h1>Podcasts</h1> <ul><li> <a href="http://forschergeist.de/podcast/fg031-abenteuer-mathematik/">G.M. Ziegler: Abenteuer Mathematik</a>, Gespräch mit Tim Pritlove im Forschergeist Podcast, Folge 31, Stifterverband/Metaebene, 2016.</li><li> <a href="http://modellansatz.de/topologie">W. Lück: Topologie</a>, Gespräch mit Gudrun Thäter, Folge 40, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014.</li></ul>

Modellansatz 111

Günter M. Ziegler hat unsere Fakultät besucht, um im Didaktik-Kolloquium einen Vortrag mit dem Titel Was ist Mathematik? zu halten. Diese Gelegenheit ergriff Gudrun Thäter, um ihn auf ein kurzes Gespräch zu diesem weitreichenden Thema einzuladen. Günter M. Ziegler studierte Mathematik und Physik an der LMU München. Er promovierte 1987 am MIT in Cambridge und war anschließend in Augsburg und Djursholm (Schweden) wissenschaftlich tätig. 1992 habilitierte er an der TU Berlin und arbeitete anschließend sowohl am Konrad-Zuse-Zentrum als auch an der TU in Berlin (seit 1995 als Professor). 2011 folgte er einem Ruf auf eine Professur für Mathematik an die FU Berlin. Im Jahr 2001 erhielt er den höchstdotierten deutschen Wissenschaftspreis, den Gottfried-Wilhelm-Leibniz-Preis der DFG. Professor Ziegler ist natürlich als jemand, der selbst in der Mathematik forscht, berufen, fundiert über sein Bild der Mathematik zu reden. Darüber hinaus hat er aber auch maßgeblich als Präsident des Berufsverbandes der Mathematiker, der DMV (von 2006 bis 2008) mit darauf hingearbeitet, das Bild der Mathematik in der Öffentlichkeit zu korrigieren und die Allgegenwart mathematischer Techniken und Ergebnisse im Alltag aller Menschen mit dem Wissenschaftsjahr der Mathematik 2008 ins Bewusstsein zu heben. Seither schreibt er auch regelmäßig die Kolumne Mathematik im Alltag in den Mitteilungen der DMV. Er ist Autor verschiedener Bücher zum Themenkreis und wurde für seine vielfältige Tätigkeit 2008 mit dem Communicator Preis ausgezeichnet. Auf dem Internationalen Mathematikerkongress ICM 2014 in Seoul präsentierte er einen eingeladenen Vortrag What is Mathematics? Das Gespräch berührt unter anderem die Themen: Wie fing die persönliche Begeisterung für Mathematik an? Wer ist eigentlich Mathematiker bzw. Mathematikerin? Wie kann man die vielfältigen Facetten der Mathematik sichtbar machen? Wie geht das in der Schule? Wie müssen wir Lehrpersonen hierfür ausbilden? Was ist eine Zahl?  Wikipedia definiert Mathematik als "Wissenschaft ..., die durch logische Definitionen selbstgeschaffene abstrakte Strukturen mittels der Logik auf ihre Eigenschaften und Muster untersucht.". Dies klingt sehr langweilig und übersieht, dass Mathematik viele Aspekte hat: Mathematik ist als ein Teil unserer Kultur eingebettet in die Geschichte der Menschheit und war lange auf das engste verbunden mit der Wissenschaft Physik. Mathematik ist aber auch ein Werkzeugkasten für den Alltag. Für Deutschland ist das sehr spürbar seit dem Rechenbüchlein von Adam Ries (1522) - heute gehört dazu auch noch Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung zur Sortierung von Daten und Fakten. Mathematik ist Zukunftswissen als Grundlage von Hightech. Das zeigt sich u.a. darin, dass es Grundlage für jedes ingenieurwissenschaftliche Studium ist. Mathematik ist eine natürliche menschliche Tätigkeit, in der er seiner Neugier folgt und die spannend und herausfordernd ist. (...)

Was ist Mathematik?

Modellansatz 110

Marco Lübbecke hat als Mathematiker den Lehrstuhl für Operations Research an der RWTH Aachen inne. Sein Lehrstuhl ist sowohl der Fakultät für Wirtschaftswissenschaften als auch der Fachgruppe für Mathematik zugeordnet. Zum Gespräch mit Sebastian Ritterbusch in Karlsruhe kam es anlässlich des Treffens der DFG Forschergruppe 2083: Integrierte Planung im öffentlichen Verkehr auf Einladung von Peter Vortisch, der auch schon zur Verkehrsmodellierung in Folge 93 in diesem Podcast zu hören war. Auf Twitter sind Marco Lübbecke unter @mluebbecke und sein Lehrstuhl unter @RWTH_OR zu finden und er schreibt das Blog Café Opt. Operations Research befasst sich zusammenfassend mit mathematischen Modellen und Methoden zur Entscheidungsunterstützung. Dabei steht oft die Frage einer möglichst guten oder optimierten Entscheidung im Vordergrund und daher ist das Gebiet von mathematischer Seite im Bereich der mathematischen Optimierung angesiedelt. Die Optimierung behandelt grundsätzlich die Bestimmung eines optimalen Werts einer Zielfunktion (und einer dazugehörenden Lösung) unter Berücksichtigung von einschränkenden Nebenbedingungen, den Restriktionen. Daneben steht aber auch die Frage der geeigneten Abbildung und Modellierung der Wirklichkeit und den Fehlerquellen der Beschreibung wie auch die grundsätzliche Herangehensweise an das Problem. Das optimierte Zusammenspiel von Menschen, Algorithmen und Technologie wird seit 2011 auch oft mit dem Begriff Industrie 4.0 für eine erhoffte vierte industrielle Revolution beschrieben. Die einheitliche Definition des Begriffs lassen aber selbst renommierte Industrievertreter offen. Als eine Schnittmenge der Beschreibungen kann man die lokale Intelligenz von Fertigungskomponenten ausmachen, die über Vernetzung und Sensorik zu einem besseren Gesamtprozess führen kann. Im Kleinen werden so Entscheidungsprozesse durchgeführt und dies führt grundlegend auf die gerade eingeführte mathematische Optimierungstheorie mit allen ihren Facetten. So gesehen ist die Industrie 4.0 als Optimierungsproblem eigentlich ohne Mathematik undenkbar. Ein in der Universität sehr naheliegendes Feld der Optimierung ist die Vorlesungsplanung, und hier ist aus der Forschung zusammen mit Gerald Lach in Kooperation zwischen der TU Berlin und der RWTH Aachen die Lösung Mathplan entstanden, die inzwischen an vielen Universitäten erfolgreich zur Vorlesungs-, Tutorien- und Klausurplanung eingesetzt wird. Mit genügend Zeit und genügend Personal kann man zwar einen einigermaßen akzeptablen Plan mit viel Erfahrung auch ohne besondere mathematische Optimierung aufstellen, das ändert sich aber schlagartig, wenn kurzfristige Änderungen berücksichtigt und Konflikte aufgelöst werden müssen. Mathematisch geht es hier um ganzzahlige lineare Programme, für die zwar Lösungsverfahren bekannt waren, diese für die Größenordnung der Probleme nicht geeignet waren. Eine Modellreduktion ohne Verlust der Optimalität führte hier zur Lösung. (...)

Operations Research

This is the last of four conversation Gudrun had during the <a href="https://sites.google.com/site/bamc2016oxford/">British Applied Mathematics Colloquium</a> which took place 5th – 8th April 2016 in Oxford. <a href="http://www.math.ucla.edu/~bertozzi/">Andrea Bertozzi</a> from the <a href="http://www.ucla.edu/">University of California in Los Angeles</a> (UCLA) held a <a href="https://sites.google.com/site/bamc2016oxford/programme/public-lecture">public lecture</a> on The Mathematics of Crime. She has been Professor of Mathematics at UCLA since 2003 and <a href="http://newsroom.ucla.edu/releases/andrea-bertozzi-appointed-to-hold-243181">Betsy Wood Knapp Chair for Innovation and Creativity</a> (since 2012). From 1995-2004 she worked mostly at <a href="https://duke.edu/">Duke University</a> first as Associate Professor of Mathematics and then as Professor of Mathematics and Physics. As an undergraduate at <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Princeton_University">Princeton University</a> she studied physics and astronomy alongside her major in mathematics and went through a Princeton PhD-program. For her thesis she worked in applied analysis and studied fluid flow. As postdoc she worked with <a href="https://web.math.princeton.edu/~const/">Peter Constantin</a> at the University of Chicago (1991-1995) on <a href="http://link.springer.com/article/10.1007/BF02097055">global regularity for vortex patches</a>. But even more importantly, this was the moment when she found research problems that needed knowledge about <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Partial_differential_equation">PDEs</a> and flow but in addition both <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_analysis">numerical analysis</a> and <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Computational_science">scientific computing</a>. She found out that she really likes to collaborate with very different specialists. Today hardwork can largely be carried out on a desktop but occasionally clusters or supercomputers are necessary. The initial request to work on Mathematics in crime came from a colleague, the social scientist <a href="http://paleo.sscnet.ucla.edu/">Jeffrey Brantingham</a>. He works in Anthropology at UCLA and had well established contacts with the police in LA. He was looking for mathematical input on some of his problems and raised that issue with Andrea Bertozzi. Her postdoc <a href="http://science.iupui.edu/people/george-mohler">George Mohler</a> came up with the idea to adapt an earthquake model after a discussion with <a href="http://directory.stat.ucla.edu/rick-paik-schoenberg">Frederic Paik Schoenberg</a>, a world expert in that field working at UCLA. The idea is to model crimes of opportunity as being triggered by crimes that already happend. So the likelihood of new crimes can be predicted as an excitation in space and time like the shock of an earthquake. Of course, here statistical models are necessary which say how the excitement is distributed and decays in space and time. Mathematically this is a self-exciting point process. The traditional <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_point_process">Poisson process model</a> has a single parameter and thus, no memory - i.e. no connections to other events can be modelled. The Hawkes process builds on the Poisson process as background noise but adds new events which then are triggering events according to an excitation rate and the exponential decay of excitation over time. This is a memory effect based on actual events (not only on a likelihood) and a three parameter model. It is not too difficult to process field data, fit data to that model and make an extrapolation in time. Meanwhile the results of that idea work really well in the field. Results of field trials both in the UK and US have just been published and there is a <a href="http://www.predpol.com/">commercial product</a> available providing services to the police. In addition to coming up with useful ideas and having an interdisciplinary group of people committed to make them work it was necessery to find funding in order to support students to work on that topic. The <a href="http://www.nsf.gov/awardsearch/showAward?AWD_ID=0527388">first grant</a> came from the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/National_Science_Foundation">National Science Foundation</a> and from this time on the group included <a href="http://socialecology.uci.edu/faculty/gtita">George Tita</a> (UC Irvine) a criminology expert in LA-Gangs and <a href="https://www.math.ucla.edu/people/ladder/lchayes">Lincoln Chayes</a> as another mathematician in the team. The practical implementation of this crime prevention method for the police is as follows: Before the policemen go out on a shift they ususally meet to divide their teams over the area they are serving. The teams take the crime prediction for that shift which is calculated by the computer model on the basis of whatever data is available up to shift. According to expected spots of crimes they especially assign teams to monitor those areas more closely. After introducing this method in the police work in <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Santa_Cruz,_California">Santa Cruz</a> (California) police observed a significant reduction of 27% in crime. Of course this is a wonderful success story. Another success story involves the career development of the students and postdocs who now have permanent positions. Since this was the first group in the US to bring mathematics to police work this opened a lot of doors for young people involved. Another interesting topic in the context of Mathematics and crime are gang crime data. As for the the crime prediction model the attack of one gang on a rival gang usually triggers another event soon afterwards. A well chosen group of undergraduates already is mathematically educated enough to study the temporary distribution of gang related crime in LA with 30 street gangs and a complex net of enemies. We are speaking about hundreds of crimes in one year related to the activity of gangs. The mathematical tool which proved to be useful was a <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_likelihood">maximum liklihood</a> penalization model again for the Hawkes process applied on the expected retaliatory behaviour. A more complex problem, which was treated in a PhD-thesis, is to single out gangs which would be probably responsable for certain crimes. This means to solve the inverse problem: We know the time and the crime and want to find out who did it. The result was published in <a href="ftp://ftp.math.ucla.edu/pub/camreport/cam11-14.pdf">Inverse Problems 2011</a>. The tool was a variational model with an energy which is related to the data. The missing information is guessed and then put into the energy . In finding the best guess related to the chosen energy model a probable candidate for the crime is found. For a small number of unsolved crimes one can just go through all possible combinations. For hundreds or even several hundreds of unsolved crimes - all combinations cannot be handled. We make it easier by increasing the number of choices and formulate a continuous instead of the discrete problem, for which the optimization works with a standard <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Gradient_descent">gradient descent</a> algorithm. A third topic and a third tool is <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Compressed_sensing">Compressed sensing</a>. It looks at sparsitiy in data like the probability distribution for crime in different parts of the city. Usually the crime rate is high in certain areas of a city and very low in others. For these sharp changes one needs different methods since we have to allow for jumps. Here the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Total_variation">total variation</a> enters the model as the <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$L%5E1$&amp;sig=0e967016ad54584d998b707400212f0e" alt="L^1" title="L^1" style="vertical-align: middle" width="14" height="11" />-norm of the gradient. It promotes sparsity of edges in the solution. Before coming up with this concept it was necessary to cross-validate quite a number of times, which is computational very expensive. So instead of in hours the result is obtained in a couple minutes now. When Andrea Bertozzi was a young child she spent a lot of Sundays in the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Museum_of_Science_%28Boston%29">Science museum in Boston</a> and wanted to become a scientist when grown up. The only problem was, that she could not decide which science would be the best choice since she liked everything in the museum. Today she says having chosen applied mathematics indeed she can do all science since mathematics works as a connector between sciences and opens a lot of doors. <h1>References</h1> <ul><li> <a href="http://www.math.ucla.edu/~bertozzi/press.html">Press coverage</a> of Crime prevention collected</li><li> <a href="http://paleo.sscnet.ucla.edu/ucmasc.htm">Website of Mathematical and Simulation Modeling of Crime</a></li></ul> <h1>Examples for work of undergraduates</h1> <ul><li> <a href="http://www.math.ucla.edu/~bertozzi/RTG/Summer2010/Crime-Report.pdf"> M. Allenby, e.a.: A Point Process Model for Simulating Gang-on-Gang Violence,</a> Project Report, 2010.</li><li> <a href="http://www.ams.org/amsmtgs/2124_progfull.html">K. Louie: Statistical Modeling of Gang Violence in Los Angeles,</a> talk at AMS Joint meetings San Francisco, AMS Session on Mathematics in the Social Sciences, 2010]</li></ul> <h1>Publications of A. Bertozzi and co-workers on Crime prevention</h1> <ul><li> <a href="http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/01621459.2015.1077710">G.O. Mohler e.a.: Randomized controlled field trials of predictive policing</a>, J. Am. Stat. Assoc., 111(512), 1399-1411, 2015.</li><li> <a href="http://rsta.royalsocietypublishing.org/content/372/2028/20130403.abstract">J. T. Woodworth e.a.: Nonlocal Crime Density Estimation Incorporating Housing Information</a>, Phil. Trans. Roy. Soc. A, 372(2028), 20130403, 2014. </li><li> <a href="http://www.math.ucla.edu/~bertozzi/papers/zipkin-cops-final.pdf"> J. Zipkin, M. B. Short &amp; A. L. Bertozzi: Cops on the dots in a mathematical model of urban crime and police response</a>, Discrete and Continuous Dynamical Systems B, 19(5), pp. 1479-1506, 2014. </li><li> <a href="http://www.math.ucla.edu/~bertozzi/papers/SIAPHuiyi.pdf"> H. Hu e.a.: A Method Based on Total Variation for Network Modularity Optimization using the MBO Scheme</a>, SIAM J. Appl. Math., 73(6), pp. 2224-2246, 2013. </li><li> <a href="http://aimsciences.org/journals/displayArticles.jsp?paperID=7285">L.M. Smith e.a.: Adaptation of an Ecological Territorial Model to Street Gang Spatial Patterns in Los Angeles </a> Discrete and Continuous Dynamical Systems A, 32(9), pp. 3223 - 3244, 2012.</li><li> <a href="http://www.math.ucla.edu/~mbshort/papers/crime3.pdf">G. Mohler e.a.. (2011): Self- exciting point process modeling of crime</a>, Journal of the American Statistical Association, 106(493):100–108, 2011.</li><li> <a href="http://iopscience.iop.org/article/10.1088/0266-5611/27/11/115013">A. Stomakhin, M. Short, and A. Bertozzi: Reconstruction of missing data in social networks based on temporal patterns of interactions</a>. Inverse Problems, 27, 2011.</li><li> <a href="http://www.math.ucla.edu/~bertozzi/papers/M3AS10.pdf">N. Rodriguez &amp; A. Bertozzi: Local Existence and Uniqueness of Solutions to a PDE model for Criminal Behavior</a> , M3AS, special issue on Mathematics and Complexity in Human and Life Sciences, Vol. 20, Issue supp01, pp. 1425-1457, 2010.</li></ul> <h1>Related Podcasts</h1> <ul><li> <a href="http://www.ams.org/samplings/mathmoments/mm97-forecasting-crime-podcast">AMS - Mathematical Moments Podcast: MM97 - Forecasting Crime</a></li></ul> <h1>British Applied Mathematics Colloquium 2016 Special</h1> <ul><li> <a href="http://modellansatz.de/crop-growth">J.Dodd: Crop Growth</a>, Conversation with G. Thäter in the Modellansatz Podcast episode 89, Department of Mathematics, Karlsruhe Institute of Technology (KIT), 2016. <a href="http://modellansatz.de/crop-growth">http://modellansatz.de/crop-growth</a></li><li> <a href="http://modellansatz.de/viscoelastic-fluids">H. Wilson: Viscoelastic Fluids</a>, Conversation with G. Thäter in the Modellansatz Podcast episode 92, Department of Mathematics, Karlsruhe Institute of Technology (KIT), 2016. <a href="http://modellansatz.de/viscoelastic-fluids">http://modellansatz.de/viscoelastic-fluids</a></li><li> <a href="http://modellansatz.de/robot">A. Hosoi: Robots</a>, Conversation with G. Thäter in the Modellansatz Podcast, episode 108, Department for Mathematics, Karlsruhe Institute of Technologie (KIT), 2016. <a href="http://modellansatz.de/robot">http://modellansatz.de/robot</a></li><li> <a href="http://modellansatz.de/crime-prevention">A. Bertozzi: Crime Prevention</a>, Conversation with G. Thäter in the Modellansatz Podcast, episode 109, Department for Mathematics, Karlsruhe Institute of Technologie (KIT), 2016. <a href="http://modellansatz.de/crime-prevention">http://modellansatz.de/crime-prevention</a></li></ul>

Modellansatz 109

This is the last of four conversation Gudrun had during the British Applied Mathematics Colloquium which took place 5th – 8th April 2016 in Oxford. Andrea Bertozzi from the University of California in Los Angeles (UCLA) held a public lecture on The Mathematics of Crime. She has been Professor of Mathematics at UCLA since 2003 and Betsy Wood Knapp Chair for Innovation and Creativity (since 2012). From 1995-2004 she worked mostly at Duke University first as Associate Professor of Mathematics and then as Professor of Mathematics and Physics. As an undergraduate at Princeton University she studied physics and astronomy alongside her major in mathematics and went through a Princeton PhD-program. For her thesis she worked in applied analysis and studied fluid flow. As postdoc she worked with Peter Constantin at the University of Chicago (1991-1995) on global regularity for vortex patches. But even more importantly, this was the moment when she found research problems that needed knowledge about PDEs and flow but in addition both numerical analysis and scientific computing. She found out that she really likes to collaborate with very different specialists. Today hardwork can largely be carried out on a desktop but occasionally clusters or supercomputers are necessary. The initial request to work on Mathematics in crime came from a colleague, the social scientist Jeffrey Brantingham. He works in Anthropology at UCLA and had well established contacts with the police in LA. He was looking for mathematical input on some of his problems and raised that issue with Andrea Bertozzi. Her postdoc George Mohler came up with the idea to adapt an earthquake model after a discussion with Frederic Paik Schoenberg, a world expert in that field working at UCLA. The idea is to model crimes of opportunity as being triggered by crimes that already happend. So the likelihood of new crimes can be predicted as an excitation in space and time like the shock of an earthquake. Of course, here statistical models are necessary which say how the excitement is distributed and decays in space and time. Mathematically this is a self-exciting point process. The traditional Poisson process model has a single parameter and thus, no memory - i.e. no connections to other events can be modelled. The Hawkes process builds on the Poisson process as background noise but adds new events which then are triggering events according to an excitation rate and the exponential decay of excitation over time. This is a memory effect based on actual events (not only on a likelihood) and a three parameter model. It is not too difficult to process field data, fit data to that model and make an extrapolation in time. Meanwhile the results of that idea work really well in the field. (...)

Crime Prevention

This is another conversation Gudrun had during the <a href="https://sites.google.com/site/bamc2016oxford/">British Applied Mathematics Colloquium</a> which took place 5th – 8th April 2016 in Oxford. Since 2002 <a href="http://meche.mit.edu/people/faculty/PEKO@MIT.EDU">Anette Hosoi</a> has been Professor of Mechanical Engineering at <a href="http://web.mit.edu/">MIT</a> (in Cambridge, Massachusetts). She is also a <a href="http://math.mit.edu/directory/profile.php?pid=1234"> member of the Mathematical Faculty</a> at MIT. After undergraduate education in Princeton she changed to Chicago for a Master's and her PhD in physics. Anette Hosoi wanted to do fluid dynamics even before she had any course on that topic. Then she started to work as Assistant Professor at MIT where everyone wanted to build robots. So she had to find an intersection between fluid and roboters. Her first project were <a href="http://edition.cnn.com/2008/TECH/science/06/30/animal.robots/">Robo-snailes</a> with her student <a href="http://web.mit.edu/chosetec/www/">Brian Chan</a>. Snails move using a thin film of fluid under their foot (and muscles). Since then she has been working on the fascinating boundary of flow and biomechanics. At the BAM Colloquium she was invited for a plenary lecture on "Marine Mammals and Fluid Rectifiers: The Hydrodynamics of Hairy Surfaces". It started with a <a href="https://www.youtube.com/watch?v=rVlhMGQgDkY">video</a> of <a href="http://www.bostondynamics.com/">Boston dynamics</a> which showed the terrific abilities some human-like robots have today. Nevertheless, these robots are rigid systems with a finite number of degrees of freedom. Anette Hosoi is working in control and fluid mechanics and got interested in <a href="http://news.mit.edu/2014/squishy-robots-0714">soft systems</a> in the context of robots of a new type. Soft systems are a completely new way to construct robots and for that one has to rethink everything from the bottom up.You are a dreamer she was told for that more than once. For example Octopuses (and <a href="http://spectrum.mit.edu/articles/slick-physics/">snails</a>) move completely different to us and most animals the classcallly designed robots with two, four or more legs copy. At the moment the investigation of those motions is partially triggered by the plausible visualization in computer games and in animated movie sequences. A prominent example for that is the contribution of two mathematicians at <a href="http://www.ucla.edu/">UCLA</a> to represent all interactions with <a href="http://newsroom.ucla.edu/stories/math-wizards-create-snow-for-disney-263913"> snow</a> in the animated movie Frozen. The short verison of their task was to get the <a href="http://www.math.ucla.edu/~jteran/">physics right</a> when snow falls off trees or people fall into snow - otherwise it just doesn't look right. To operate robots which are not built with mechanical devices but use properties of fluids to move one needs valves and pumps to control flow. They should be cheap and efficient and without any moving parts (since moving parts cause problems). A first famous example for such component is a fluid rectifier which was patented by <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Nikola_Tesla">Nicola Tesla</a> in the 1920ies. His device relied on inertia. But in the small devices as necessary for the new robots there are no inertia. For that Anette Hosoi and her <a href="https://hosoigroup.wordpress.com/">group</a> need to implement new mechnisms. A promising effect is elasticity - especially in channels. Or putting hair on the boundary of channels. Hair can cause asymmetric behaviour in the system. In one direction it bends easily with the flow while in the opposite direction it might hinder flow. While trying to come up with clever ideas for the new type of robots the group found a topic which is present (almost) everywhere in biology - which means a gold mine for research and open questions. Of course hair is interacting with the flow and not just a rigid boundary and one has to admit that in real life applications the related flow area usually is not small (i.e. not negligible in modelling and computations). Mathematically spoken, the model needs a change in the results for the boundary layer. This is clear from the observations and the sought after applications. But it is clear from the mathematical model as well. At the moment they are able to treat the case of low <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Reynolds_number">Reynolds number</a> and the linear <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Stokes_flow">Stokes equation</a> which of course, is a simplification. But for that case the new boundary conditions are not too complicated and can be treated similar as for <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Porous_medium">porous media</a> (i.e. one has to find an effective <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Permeability_%28earth_sciences%29">permeability</a>). Fortunately even analytic solutions could be calculated. As next steps it would be very interesting to model plunging hairy surfaces into fluids or withdrawing hairy surfaces from fluids (which is even more difficult). This would have a lot of interesting applications and a first question could be to find optimal hair arrangements. This would mean to copy tricks of <a href="https://www.youtube.com/watch?v=XasiQRyhb3U">bat tongues</a> like people at <a href="https://www.brown.edu/">Brown University</a> are doing. <h1>References</h1> <ul><li> <a href="https://www.pathlms.com/siam/courses/2382/sections/3093">I. E. Block Community Lecture: Razor Clams to Robots: The Mathematics Behind Biologically Inspired Design</a> , A. Hosoi at SIAM Annual meeting, 2013.</li><li> <a href="https://www.math.ubc.ca/~njb/Research/snail.pdf">B. Chan, N.J. Balmforth and A.E. Hosoi: Building a better snail: Lubrication and adhesive locomotion</a>, Phys. Fluids, 17, 113101, 2005.</li></ul>

Modellansatz 108

Since 2002 Anette Hosoi has been Professor of Mechanical Engineering at MIT (in Cambridge, Massachusetts). She is also a member of the Mathematical Faculty at MIT. After undergraduate education in Princeton she changed to Chicago for a Master's and her PhD in physics. Anette Hosoi wanted to do fluid dynamics even before she had any course on that topic. Then she started to work as Assistant Professor at MIT where everyone wanted to build robots. So she had to find an intersection between fluid and roboters. Her first project were Robo-snailes with her student Brian Chan. Snails move using a thin film of fluid under their foot (and muscles). Since then she has been working on the fascinating boundary of flow and biomechanics. At the BAM Colloquium she was invited for a plenary lecture on "Marine Mammals and Fluid Rectifiers: The Hydrodynamics of Hairy Surfaces". It started with a video of Boston dynamics which showed the terrific abilities some human-like robots have today. Nevertheless, these robots are rigid systems with a finite number of degrees of freedom. Anette Hosoi is working in control and fluid mechanics and got interested in soft systems in the context of robots of a new type. Soft systems are a completely new way to construct robots and for that one has to rethink everything from the bottom up.You are a dreamer she was told for that more than once. For example Octopuses (and snails) move completely different to us and most animals the classcallly designed robots with two, four or more legs copy. At the moment the investigation of those motions is partially triggered by the plausible visualization in computer games and in animated movie sequences. A prominent example for that is the contribution of two mathematicians at UCLA to represent all interactions with snow in the animated movie Frozen. The short verison of their task was to get the physics right when snow falls off trees or people fall into snow - otherwise it just doesn't look right. To operate robots which are not built with mechanical devices but use properties of fluids to move one needs valves and pumps to control flow. They should be cheap and efficient and without any moving parts (since moving parts cause problems). A first famous example for such component is a fluid rectifier which was patented by Nicola Tesla in the 1920ies. His device relied on inertia. But in the small devices as necessary for the new robots there are no inertia. For that Anette Hosoi and her group need to implement new mechnisms. A promising effect is elasticity - especially in channels. Or putting hair on the boundary of channels. Hair can cause asymmetric behaviour in the system. In one direction it bends easily with the flow while in the opposite direction it might hinder flow. (...)

Robots

Bei genauem Hinsehen finden wir die Naturwissenschaft und besonders Mathematik überall in unserem Leben, vom Wasserhahn über die automatischen Temporegelungen an Autobahnen, in der Medizintechnik bis hin zum Mobiltelefon. Woran die Forscher, Absolventen und Lehrenden in Karlsruhe gerade tüfteln, erfahren wir hier aus erster Hand.

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