Mathias Zeleny hat sich im Rahmen seiner Masterarbeit damit beschäftigt, wie man in Fußgängersimulationen berücksichtigen kann, dass Menschen oft in Gruppen unterwegs sind. Natürlich wäre für realistische Simulationsergebnisse die Berücksichtigung von Gruppen sehr wichtig. Besonders deutlich wird das an so katastrophalen Ereignissen wie den Unglücksfällen im Rahmen des <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Haddsch">Haddsch</a> in Mekka. Allerdings gibt es bisher kein allgemain akzeptiertes Modell für Gruppen in Fußgängersimulationen. Was ist die Hauptcharakteristik des Verhaltens einer Fußgängergruppe? Dass die Personen in der Regel nah beieinander bleiben. Allerdings ist dies sehr vage und wird beispielsweise an Hindernissen auch durchbrochen. Das "nah beieinander bleiben" läßt sich durch anziehende Kräfte modellhaft darstellen. Mathias betrachtete hierfür drei Modelle: <ul><li> Jede/r zieht jede/n an, </li><li> alle folgen einer Person,</li><li> Nachzügler schließen auf.</li></ul> Um mit diese Modelle zu testen, hat Mathias ein <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Schnittstelle_(Objektorientierung)">Interface</a> programmiert, in dem diese Gruppenmodelle für verschiedene Szenarien durchgespielt wurden. Die gewählten Geometrien waren dabei: <ul><li> Von links nach rechts ungehindert einen Korridor entlang laufen,</li><li> Korridor entlang laufen mit Hindernis,</li><li> Korridor entlang laufen mit Gegenverkehr.</li></ul> Die Reaktion auf die Anziehungskräfte der Gruppe und des Ziels und die Abstoßung der Wände und Hindernisse liefert die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Trajektorie_(Physik)">Trajektorien</a> für alle Fußgänger, die automatisch bewertet werden, ob sie mit der Realität mehr oder weniger gut übereinstimmen. Dafür musste er möglichst objektive Regeln aufstellen und diese dann überprüfen. Prototypisch wurden von ihm folgende Kriterien ausgewählt: <ul><li> Zeitbedarf für die Gruppe,</li><li> räumliche Nähe der Gruppe über möglichst lange Zeit,</li><li> Simulation läuft einwandfrei durch (also niemand läuft in eine Wand),</li><li> Personen kommen sich nicht zu nah (so dass sie sich durchdringen müssten),</li><li> es gibt keine Vollblockade.</li></ul> Die zugehörigen Bewertungsfunktionen wurden je auf Werte zwischen 0 und 1 normiert und anschließend entweder arithmetisch gemittelt oder für notwendige Bedingungen multipliziert. Die Ergebnisse erwiesen sich als noch nicht sehr aussagekräfitg. Als großes Problem stellte sich nämlich heraus, dass die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Diskretisierung">Zeitdiskretisierung</a> für die Gruppensimulationen unbedingt feiner gewählt werden muss als es in der herkömmlichen Fußgängersimulation üblich ist, da in nur einem Zeitschritt oft ein "in die Wand laufen" unausweichlich ist, wenn die Abstoßungskräfte zwischen Personen realistisch gewählt werden. Ein Gewinn ist darüber hinaus die formalisierte und objektifizierte Schnittstelle zur Evaluation von Gruppenmodellen, mit denen in Zukunft weiter in diesem Bereich geforscht werden kann. <h1>Literatur und weiterführende Informationen</h1> <ul><li> <a href="http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0378437101001418"> C. Burstedde e.a.: Simulation of pedestrian dynamics using a two-dimensional cellular automaton</a>, Physica A: Statistical Mechanics and its Applications 295 3–4, 507–525, 2001.</li><li> <a href="http://www.independent.co.uk/news/world/middle-east/hajj-stampede-history-of-disasters-affecting-annual-islamic-event-in-mecca-10515310.html">Independent: Hajj stampede: History of disasters a ecting annual Islamic event in Mecca</a>, 2015.</li><li> <a href="http: //www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1569190X09001555.">F. Qiu und X. Hu: Modeling group structures in pedestrian crowd simulation</a>. In: Simulation Modelling Practice and Theory 18.2, S. 190–205, 2010.</li><li> <a href="http://dx.doi.org/10.1371%2Fjournal.pone.0010047">M. Moussaïd u. a.:The Walking Behaviour of Pedestrian Social Groups and Its Impact on Crowd Dynamics</a>. In: PLoS ONE 5.4 (Apr. 2010), e10047, 2010.</li><li> <a href="http://dx.doi.org/10.1007/978-3-319-02447-9_87.">G. Köster u. a.: Pedestrian and Evacuation Dynamics 2012</a>. In: Hrsg. von U. Weidmann, U. Kirsch und M. Schreckenberg. Springer International Publishing. Kap. Validation of Crowd Models Including Social Groups, S. 1051–1063, 2014.</li></ul> <h1>Podcasts</h1><ul><li> <a href="http://modellansatz.de/fussgaengermodelle">T. Kretz: Fußgängermodelle</a>, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 90, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. </li><li> <a href="http://modellansatz.de/fussgaenger">H. Benner: Fußgänger</a>, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 43, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2015.</li></ul>

Modellansatz

Modellansatz 124

Mathias Zeleny hat sich im Rahmen seiner Masterarbeit damit beschäftigt, wie man in Fußgängersimulationen berücksichtigen kann, dass Menschen oft in Gruppen unterwegs sind. Natürlich wäre für realistische Simulationsergebnisse die Berücksichtigung von Gruppen sehr wichtig. Besonders deutlich wird das an so katastrophalen Ereignissen wie den Unglücksfällen im Rahmen des Haddsch in Mekka. Allerdings gibt es bisher kein allgemain akzeptiertes Modell für Gruppen in Fußgängersimulationen. Was ist die Hauptcharakteristik des Verhaltens einer Fußgängergruppe? Dass die Personen in der Regel nah beieinander bleiben. Allerdings ist dies sehr vage und wird beispielsweise an Hindernissen auch durchbrochen. Das "nah beieinander bleiben" läßt sich durch anziehende Kräfte modellhaft darstellen. Mathias betrachtete hierfür drei Modelle: Jede/r zieht jede/n an, alle folgen einer Person, Nachzügler schließen auf. Um mit diese Modelle zu testen, hat Mathias ein Interface programmiert, in dem diese Gruppenmodelle für verschiedene Szenarien durchgespielt wurden. Die gewählten Geometrien waren dabei: Von links nach rechts ungehindert einen Korridor entlang laufen, Korridor entlang laufen mit Hindernis, Korridor entlang laufen mit Gegenverkehr. Die Reaktion auf die Anziehungskräfte der Gruppe und des Ziels und die Abstoßung der Wände und Hindernisse liefert die Trajektorien für alle Fußgänger, die automatisch bewertet werden, ob sie mit der Realität mehr oder weniger gut übereinstimmen. Dafür musste er möglichst objektive Regeln aufstellen und diese dann überprüfen. Prototypisch wurden von ihm folgende Kriterien ausgewählt: Zeitbedarf für die Gruppe, räumliche Nähe der Gruppe über möglichst lange Zeit, Simulation läuft einwandfrei durch (also niemand läuft in eine Wand), Personen kommen sich nicht zu nah (so dass sie sich durchdringen müssten), es gibt keine Vollblockade. Die zugehörigen Bewertungsfunktionen wurden je auf Werte zwischen 0 und 1 normiert und anschließend entweder arithmetisch gemittelt oder für notwendige Bedingungen multipliziert. Die Ergebnisse erwiesen sich als noch nicht sehr aussagekräfitg. Als großes Problem stellte sich nämlich heraus, dass die Zeitdiskretisierung für die Gruppensimulationen unbedingt feiner gewählt werden muss als es in der herkömmlichen Fußgängersimulation üblich ist, da in nur einem Zeitschritt oft ein "in die Wand laufen" unausweichlich ist, wenn die Abstoßungskräfte zwischen Personen realistisch gewählt werden. Ein Gewinn ist darüber hinaus die formalisierte und objektifizierte Schnittstelle zur Evaluation von Gruppenmodellen, mit denen in Zukunft weiter in diesem Bereich geforscht werden kann.

Fußgängergruppen

<a href="http://www.math.kit.edu/ianm2/~maier/de">Markus Maier</a> hat 2016 in der <a href="http://www.math.kit.edu/ianm2/">Arbeitsgruppe</a> des <a href="http://www.math.kit.edu/ianm/">Instituts für Angewandte und Numerische Mathematik</a> am KIT promoviert, in der auch <a href="http://www.math.kit.edu/ianm2/~thaeter/">Gudrun</a> arbeitet. Sein Thema war The Mathematical Analysis of a Micro Scale Model for Lithium-Ion Batteries. Wie der Name der Arbeit suggeriert, betrachtet er Modelle für <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Lithium-Ionen-Akkumulator">Lithium-Ionen-Akkumulatoren</a> (die englische Übersetzung ist für uns Deutsche etwas irreführend Batteries), die auf mikroskopischer Ebene die Stromabgabe über die elektrochemischen Eigenschaften vorhersagen können. Ausgangspunkt des Themas war der Wunsch <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Kapazit%C3%A4t_(galvanische_Zelle)#Abnahme_w.C3.A4hrend_der_Nutzung">Degradation</a>smechanismen - also die Alterung der Akkus - besser zu verstehen. Das Thema Strom speichern ist sehr wichtig und wird in Zukunft noch wichtiger werden. Simulationen sind hier nötig, da jedwedes Messen auf der Mikroskala unmöglich ist - es geht um Objekte von der Größe einiger <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Meter#Mikrometer">Mikrometer</a>. Das Ausweichen auf die besser durch Messungen begleitbare makroskopische Ebene im Modell ist nicht möglich, weil man nur auf der Ebene der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Ion">Ionen</a> die Abläufe nachbilden kann, die zur Alterung führen. Ein Beispiel für so einen Prozess ist, dass die Lithium Ionen nach der Wanderung durch das <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Elektrolyt">Elektrolyt</a> in der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Kathode">Kathode</a> auf Platzproblem treffen, die dazu führen können, dass die Katode beschädigt wird, wenn sich die Ionen den nötigen Platz verschaffen. Diese Beschädigungen führen zu Reduzierung der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Kapazit%C3%A4t_(galvanische_Zelle)"> Kapazität</a>. Leider ist die modellhafte Auflösung der ganzen Mikrostruktur einer Batterie numerisch noch unmöglich - weshalb die Untersuchung der Arbeit im Moment nur lokale Ergebnisse enthält. Die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Kristall">kristalline Struktur</a> in der Kathode kann es auch ermöglichen, dass sich eine zweite Phase bildet, in der sich mehr Lithium-Partikel anlagern als ursprünglich Platz in der Kathode ist. Das führt auf ein 2-Phasen-Problem mit einem Phasenübergang. Der Rand zwischen den Phasen ist dann Teil der gesuchten Lösung des Problems. Dieser Teil ist im Moment noch nicht im Modell enthalten. Schließlich hat sich Markus darauf konzentriert, ein Kompromiss-Modell der Ingenieure zu untersuchen, das im Wesentlichen auf Erhaltungseigenschaften beruht. Es hat die Form eines Systems von zwei gekoppelten partiellen Differentialgleichungen für das <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Elektrisches_Potential">elektrische Potential</a> und die Lithium-Ionen-Verteilung, welche in den zwei aneinander grenzenden Gebieten gelten. Am Grenzübergang zwischen Elekrolyt und Lithium-Partikeln gilt eine nichtlinearen Gleichung. Die erste Frage ist: Wie sichert man die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung? Die Struktur des Beweises erweist sich als hilfreich für das anschließend gewählte numerische Verfahren. Es nutzt die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Monotone_Abbildung">Monotonie</a> des elektrischen Potentials aus. Die Argumente gelten allerdings nur für ein klein genug gewähltes Zeitintervall, weil ein konstanter Strom als Entaldungs-Randbedingung gewählt wurde (nur für kurze Zeiten realistisch). Für Modelle, die Degradation simulieren können, wären andere Randbedingungen nötig wie beispielsweise ein konstanter Widerstand. Ein Masterstudent hat mit dem <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Open_Source">Open Source</a> Finite-Elemente-Solver <a href="https://www.dealii.org/">deal.II</a> das vorgeschlagene Verfahren im Rahmen seiner Abschlussarbeit programmiert und nachgewiesen, dass es funktioniert und die Resultate überzeugen können. <h1>Literatur und weiterführende Informationen</h1> <ul><li> <a href="http://www.itwm.fraunhofer.de/fileadmin/ITWM-Media/Zentral/Pdf/Berichte_ITWM/2010/bericht_195.pdf">A. Latz &amp; J. Zausch: Thermodynamic consistent transport theory of Li-ion batteries</a>, Journal of Power Sources 196 3296--3302, 2011.</li><li> <a href="https://kops.uni-konstanz.de/bitstream/handle/123456789/24141/Seger_241413.pdf?sequence=1&amp;isAllowed=y">T. Seger: Elliptic-Parabolic Systems with Applications to Lithium-Ion Battery Models</a>, Doktorarbeit Universität Konstanz, 2013.</li><li> <a href="http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/er.3459/full">M. Kespe &amp; H. Nirschl: Numerical simulation of lithium-ion battery performance considering electrode microstructure</a>, International Journal of Energy Research 39 2062-2074, 2015.</li><li> <a href="http://www.nature.com/nature/journal/v414/n6861/abs/414359a0.html">J.-M. Tarascon &amp; M. Armand: Issues and challenges facing rechargeable lithium batteries</a>, Nature 414 359-367, 2001.</li></ul> <h1>Podcasts</h1> <ul><li> <a href="http://omegataupodcast.net/222-batterien/">A. Jossen: Batterien</a>, Gespräch mit Markus Völter im Omega Tau Podcast, Folge 222, 2016.</li><li> <a href="http://www.pkm.kit.edu/kitaudio.php">J. Holthaus: Batterien für morgen und übermorgen</a>, KIT.Audio Podcast, Folge 2, 2016.</li><li> <a href="http://proton-podcast.de/2016/12/07/proton015-elektrochemie-laser-radio/">D. Breitenbach, U. Gebhardt, S. Gaedtke: Elektrochemie, Laser, Radio</a>, Proton Podcast, Folge 15, 2016.</li></ul>

Modellansatz 123

Markus Maier hat 2016 in der Arbeitsgruppe des Instituts für Angewandte und Numerische Mathematik am KIT promoviert, in der auch Gudrun arbeitet. Sein Thema war The Mathematical Analysis of a Micro Scale Model for Lithium-Ion Batteries. Wie der Name der Arbeit suggeriert, betrachtet er Modelle für Lithium-Ionen-Akkumulatoren (die englische Übersetzung ist für uns Deutsche etwas irreführend Batteries), die auf mikroskopischer Ebene die Stromabgabe über die elektrochemischen Eigenschaften vorhersagen können. Ausgangspunkt des Themas war der Wunsch Degradationsmechanismen - also die Alterung der Akkus - besser zu verstehen. Das Thema Strom speichern ist sehr wichtig und wird in Zukunft noch wichtiger werden. Simulationen sind hier nötig, da jedwedes Messen auf der Mikroskala unmöglich ist - es geht um Objekte von der Größe einiger Mikrometer. Das Ausweichen auf die besser durch Messungen begleitbare makroskopische Ebene im Modell ist nicht möglich, weil man nur auf der Ebene der Ionen die Abläufe nachbilden kann, die zur Alterung führen. Ein Beispiel für so einen Prozess ist, dass die Lithium Ionen nach der Wanderung durch das Elektrolyt in der Kathode auf Platzproblem treffen, die dazu führen können, dass die Katode beschädigt wird, wenn sich die Ionen den nötigen Platz verschaffen. Diese Beschädigungen führen zu Reduzierung der Kapazität. Leider ist die modellhafte Auflösung der ganzen Mikrostruktur einer Batterie numerisch noch unmöglich - weshalb die Untersuchung der Arbeit im Moment nur lokale Ergebnisse enthält. Die kristalline Struktur in der Kathode kann es auch ermöglichen, dass sich eine zweite Phase bildet, in der sich mehr Lithium-Partikel anlagern als ursprünglich Platz in der Kathode ist. Das führt auf ein 2-Phasen-Problem mit einem Phasenübergang. Der Rand zwischen den Phasen ist dann Teil der gesuchten Lösung des Problems. Dieser Teil ist im Moment noch nicht im Modell enthalten. Schließlich hat sich Markus darauf konzentriert, ein Kompromiss-Modell der Ingenieure zu untersuchen, das im Wesentlichen auf Erhaltungseigenschaften beruht. Es hat die Form eines Systems von zwei gekoppelten partiellen Differentialgleichungen für das elektrische Potential und die Lithium-Ionen-Verteilung, welche in den zwei aneinander grenzenden Gebieten gelten. Am Grenzübergang zwischen Elekrolyt und Lithium-Partikeln gilt eine nichtlinearen Gleichung.  Die erste Frage ist: Wie sichert man die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung? Die Struktur des Beweises erweist sich als hilfreich für das anschließend gewählte numerische Verfahren. Es nutzt die Monotonie des elektrischen Potentials aus. Die Argumente gelten allerdings nur für ein klein genug gewähltes Zeitintervall, weil ein konstanter Strom als Entaldungs-Randbedingung gewählt wurde (nur für kurze Zeiten realistisch). Für Modelle, die Degradation simulieren können, wären andere Randbedingungen nötig wie beispielsweise ein konstanter Widerstand. (...)

Akkumulatoren

Das Gespräch mit Susanne Höllbacher von der <a href="http://gcsc.uni-frankfurt.de/simulation-and-modelling/">Simulationsgruppe</a> an der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Johann_Wolfgang_Goethe-Universit%C3%A4t_Frankfurt_am_Main">Frankfurter Goethe-Universität</a> war ein Novum in unserer Podcastgeschichte. Das erste mal hatte sich eine Hörerin gemeldet, die unser Interesse an Partikeln in Strömungen teilte, was sofort den Impuls in <a href="http://www.math.kit.edu/ianm2/~thaeter/de">Gudrun</a> auslöste, sie zu einem Podcastgespräch zu diesem Thema einzuladen. Susanne hat in der Arbeitsgruppe von <a href="http://atlas.gcsc.uni-frankfurt.de/~gwittum/">Gabriel Wittum</a> in Frankfurt promoviert. Dort werden <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Finite-Volumen-Verfahren">Finite-Volumen-Verfahren</a> zur Lösung von <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Differentialgleichung">Partiellen Differentialgleichungen</a> benutzt. Das Verfahren betrifft hier insbesondere die räumliche Diskretisierung: Das Rechengebiet wird in Kontrollvolumen aufgeteilt, in denen durch das Verfahren sichergestellt wird, dass bestimmte Größen erhalten bleiben (z.B. die Masse). Diese Verfahren stammen aus dem Umfeld <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Differentialgleichung#Hyperbolische_partielle_Differentialgleichungen">hyperbolischer Probleme</a>, die vor allem als Erhaltungsgesetze modelliert sind. Diese Gleichungen haben die Eigenschaft, dass Fehler nicht automatisch geglättet werden und abklingen sondern potentiell aufgeschaukelt werden können. Trotzdem ist es möglich, diese numerischen Verfahren ähnlich wie <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Finite-Elemente-Methode">Finite-Elemente-Verfahren</a> als Variationsprobleme zu formulieren und die beiden Familien in der Analyse etwas näher zusammenrücken zu lassen. Gemeinsam ist ihnen ja ohnehin, dass sie auf große Gleichungssysteme führen, die anschließend gelöst werden müssen. Hier ist eine billige und doch wirkungsvolle <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Vorkonditionierung">Vorkonditionierung</a> entscheidend für die Effizienz und sogar dafür, ob die Lösungen durch das numerische Verfahren überhaupt gefunden werden. Hier hilft es, schon auf Modell-Ebene die Eigenschaften des diskreten Systems zu berücksichtigen, da ein konsistentes Modell bereits als guter Vorkonditionierer fungiert. Das Promotionsprojekt von Susanne war es, eine Methode zur direkten numerischen Simulation (DNS) von Partikeln in Fluiden auf Basis eines finite Volumen-Verfahrens zu entwickeln. Eine grundsätzliche Frage ist dabei, wie man die Partikel darstellen möchte und kann, die ja winzige Festkörper sind und sich anders als die Strömung verhalten. Sie folgen anderen physikalischen Gesetzen und man ist geneigt, sie als Kräfte in die Strömung zu integrieren. Susanne hat die Partikel jedoch als Teil des Fluides modelliert, indem die Partikel als finite (und nicht infinitesimal kleine) Volumen mit zusätzlicher Rotation als Freiheitsgrad in die diskreten Gleichungen integriert werden. Damit fügen sich die Modelle für die Partikel natürlich und konsistent in das diskrete System für die Strömung ein. Vorhandene Symmetrien bleiben erhalten und ebenso die Kopplung der Kräfte zwischen Fluid und Partikel ist gewährleistet. Die Nebenbedingungen an das System werden so formuliert, dass eine <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Sattelpunktproblem">Sattelpunkt-Formulierung</a> vermieden wird. Die grundlegende Strategie dabei ist, die externen Kräfte, welche bedingt durch die Partikel und deren Ränder wirken, direkt in die Funktionenräume des zugrundeliegenden Operators zu integrieren. In biologischen Systemen mit hoher Viskotität des Fluides fungiert die Wirkung der Partikel auf das Fluid als Informationstransport zwischen den Partikeln und ist sehr wichtig. In der Umsetzung dieser Idee verhielten sich die Simulationen des Geschwindigkeitsfeldes sehr gutartig, aber Susanne beobachtete <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingung">Oszillationen</a> im Druck. Da sie sich nicht physikalisch erklären ließen, musste es sich um numerische <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Artefakt_(Technik)">Artekfakte</a> handeln. Bei näherem Hinsehen zeigte sich, dass es vor allem daran lag, dass die Richtungen von Kraftwirkungen auf dem Rand der Partikel im diskreten System nicht sinnvoll approximiert wurden. In den berechneten Lösungen für das Geschwindigkeitsfeld hat sich dies kaum messbar niedergeschlagen. Im Druck zeigte sich jedoch, dass es sich lohnt, hier das numerische Verfahren zu ändern, so dass die Normalenrichtungen auf dem Rand jeweils korrekt sind. Mathematisch heißt das, dass die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Ansatzfunktion">Ansatzfunktionen</a> so geändert werden, dass deren Freiheitsgrade auf dem Rand liegen. Der Aufwand dafür ist vergleichsweise gering und die Resultate sind überzeugend. Die Oszillationen verschwinden komplett. Der Nachweis der Stabilität des entstehenden Gleichungssystems lässt sich über die inf-sup-Bedingung des orginalen Verfahrens erbringen, da die Konstruktion den Raum in der passenden Weise erweitert. <h1>Literatur und weiterführende Informationen</h1> <ul><li> <a href="http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.711.7548&amp;rep=rep1&amp;type=pdf">S. V. Apte, M. Martin, N. A. Patankar: A numerical method for fully resolved simulation (FRS) of rigid particle–flow interactions in complex flows</a>, Journal of Computational Physics 228, S. 2712–2738, 2009.</li><li> <a href="https://pdfs.semanticscholar.org/2777/d3fa77fb9a5e4b1bf9df93f20353a5c10789.pdf">R. E. Bank, D. J. Rose: Some Error Estimates for the Box Method</a>, SIAM Journal on Numerical Analysis 24, S. 777–787, 1987.</li><li> <a href="https://www.elsevier.com/books/numerical-methods-for-fluids-part-3/unknown/978-0-444-51224-6#">Glowinski, R.: Finite element methods for incompressible viscous flow</a>, P. G. Ciarlet, J. L. Lions (Eds.), Handbook of Numerical Analysis IX (North-Holland, Amsterdam), S. 3–1176, 2003.</li><li> <a href="http://link.springer.com/book/10.1007/978-3-540-78495-1">Strang, G.: Wissenschaftlisches Rechnen</a>, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2010.</li><li> <a href="http://link.springer.com/article/10.1007/s00791-014-0232-9">A. Vogel, S. Reiter, M. Rupp, A. Naegel, G. Wittum: UG 4: A novel flexible software system for simulating PDE based models on high performance computers</a>, Computing and Visualization in Science 16, S. 165–179, 2013.</li><li> <a href="http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/nme.169/full">G. J. Wagner, N. Moes, W. K. Liu, T. Belytschko: The extended finite element method for rigid particles in Stokes flow</a>, International Journal for Numerical Methods in Engineering 51, S. 293–313, 2001.</li><li> <a href="http://qipp.mathematik.uni-dortmund.de/papers/WanTurek2006.pdf">D. Wan, S. Turek: Fictitious boundary and moving mesh methods for the numerical simulation of rigid particulate flows</a>, Journal of Computational Physics 222, S. 28–56, 2007.</li><li> <a href="http://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-642-05146-3">P. Wessling: Principles of Computational Fluid Dynamics</a>, Springer, Series in Computational Mathematics, 2001.</li><li> <a href="https://www.researchgate.net/profile/Qingsong_Zou/publication/225915198_Analysis_of_linear_and_quadratic_finite_volume_methods_for_elliptic_equatiosns/links/0c96051c01926bd209000000/Analysis-of-linear-and-quadratic-finite-volume-methods-for-elliptic-equatiosns.pdf">J. Xu, Q. Zou: Analysis of linear and quadratic simplicial finite volume methods for elliptic equations</a>, Numerische Mathematik 111, S. 469–492, 2009.</li><li> <a href="https://www.researchgate.net/profile/Xiu_Ye/publication/229872858_On_the_relation_between_finite_volume_and_finite_element_methods_applied_to_the_Stokes_equations/links/0f317530580c023971000000/On-the-relation-between-finite-volume-and-finite-element-methods-applied-to-the-Stokes-equations.pdf">X. Ye: On the Relationship Between Finite Volume and Finite Element Methods Applied to the Stokes Equations</a>, Numerical Methods for Partial Differential Equations 17, S. 440–453, 2001.</li></ul> <h1>Podcasts</h1> <ul><li> <a href="http://modellansatz.de/partikelstroemungen">T. Henn: Partikelströmungen</a>, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 115, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. <a href="http://modellansatz.de/partikelstroemungen">http://modellansatz.de/partikelstroemungen</a></li><li> <a href="http://modellansatz.de/filters">L.L.X. Augusto: Filters</a>, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 112, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. <a href="http://modellansatz.de/filters">http://modellansatz.de/filters</a></li><li> <a href="http://modellansatz.de/systembiologie">L. Adlung: Systembiologie</a>, Gespräch mit G. Thäter und S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 39, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014. <a href="http://modellansatz.de/systembiologie">http://modellansatz.de/systembiologie</a></li></ul>

Modellansatz 122

Das Gespräch mit Susanne Höllbacher von der Simulationsgruppe an der Frankfurter Goethe-Universität war ein Novum in unserer Podcastgeschichte. Das erste mal hatte sich eine Hörerin gemeldet, die unser Interesse an Partikeln in Strömungen teilte, was sofort den Impuls in Gudrun auslöste, sie zu einem Podcastgespräch zu diesem Thema einzuladen. Susanne hat in der Arbeitsgruppe von Gabriel Wittum in Frankfurt promoviert. Dort werden Finite-Volumen-Verfahren zur Lösung von Partiellen Differentialgleichungen benutzt. Das Verfahren betrifft hier insbesondere die räumliche Diskretisierung: Das Rechengebiet wird in Kontrollvolumen aufgeteilt, in denen durch das Verfahren sichergestellt wird, dass bestimmte Größen erhalten bleiben (z.B. die Masse). Diese Verfahren stammen aus dem Umfeld hyperbolischer Probleme, die vor allem als Erhaltungsgesetze modelliert sind. Diese Gleichungen haben die Eigenschaft, dass Fehler nicht automatisch geglättet werden und abklingen sondern potentiell aufgeschaukelt werden können. Trotzdem ist es möglich, diese numerischen Verfahren ähnlich wie Finite-Elemente-Verfahren als Variationsprobleme zu formulieren und die beiden Familien in der Analyse etwas näher zusammenrücken zu lassen. Gemeinsam ist ihnen ja ohnehin, dass sie auf große Gleichungssysteme führen, die anschließend gelöst werden müssen. Hier ist eine billige und doch wirkungsvolle Vorkonditionierung entscheidend für die Effizienz und sogar dafür, ob die Lösungen durch das numerische Verfahren überhaupt gefunden werden. Hier hilft es, schon auf Modell-Ebene die Eigenschaften des diskreten Systems zu berücksichtigen, da ein konsistentes Modell bereits als guter Vorkonditionierer fungiert. Das Promotionsprojekt von Susanne war es, eine Methode zur direkten numerischen Simulation (DNS) von Partikeln in Fluiden auf Basis eines finite Volumen-Verfahrens zu entwickeln. Eine grundsätzliche Frage ist dabei, wie man die Partikel darstellen möchte und kann, die ja winzige Festkörper sind und sich anders als die Strömung verhalten. Sie folgen anderen physikalischen Gesetzen und man ist geneigt, sie als Kräfte in die Strömung zu integrieren. Susanne hat die Partikel jedoch als Teil des Fluides modelliert, indem die Partikel als finite (und nicht infinitesimal kleine) Volumen mit zusätzlicher Rotation als Freiheitsgrad in die diskreten Gleichungen integriert werden. Damit fügen sich die Modelle für die Partikel natürlich und konsistent in das diskrete System für die Strömung ein. Vorhandene Symmetrien bleiben erhalten und ebenso die Kopplung der Kräfte zwischen Fluid und Partikel ist gewährleistet. Die Nebenbedingungen an das System werden so formuliert, dass eine Sattelpunkt-Formulierung vermieden wird. Die grundlegende Strategie dabei ist, die externen Kräfte, welche bedingt durch die Partikel und deren Ränder wirken, direkt in die Funktionenräume des zugrundeliegenden Operators zu integrieren. (...)

Finite Volumen

<a href="https://wt.iam.uni-bonn.de/constanza-rojas-molina/home/">Constanza Rojas-Molina</a> is a <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Postdoctoral_researcher">postdoc</a> at the <a href="http://www.iam.uni-bonn.de/">Institute of Applied Mathematics</a> of the University of Bonn. <a href="http://www.math.kit.edu/ianm2/~thaeter">Gudrun Thäter</a> met her in Bonn to talk about Constanza's blog <a href="https://ragebb.wordpress.com/">The Rage of the Blackboard</a>. <a href="https://ragebb.wordpress.com/about/ ">The blog’s title</a> makes reference to an angry blackboard, but also to the RAGE Theorem, named after the mathematical physicists D. Ruelle, W. Amrein, V. Georgescu, and V. Enss." Standing at a blackboard can be intimidating and quite a few might remember moments of anxiety when being asked to develop an idea in front of others at the blackboard. But as teachers and scientists we work with the blackboard on a daily basis and find a way to "tame" its "rage". Gudrun and Constanza share that they are working in fields of mathematics strongly intertwined with physics. While Gudrun is interested in <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Fluid_dynamics">Mathematical Fluid dynamics</a>, Constanza's field is <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_physics">Mathematical physics</a>. Results in both fields very much rely on understanding the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Spectrum_(functional_analysis)">spectrum</a> of <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_map">linear (or linearized) operators</a>. In the finite-dimensional case this means to study the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalues_and_eigenvectors">eigenvalues</a> of a matrix. They contain the essence of the action of the operator - represented by different matrices in differing coordinate systems. As women in academia and as female mathematicians Gudrun and Constanza share the experience that finding the essence of their actions in science and defining the goals worth to pursue are tasks as challenging as pushing science itself, since most traditional coordinate systems were made by male colleagues and do not work in the same way for women as for men. This is true even when raising own children does not enter the equation. For that Constanza started to reach out to women in her field to speak about their mathematical results as well as their experiences. Her idea was to share the main findings in her blog with an article and her drawings. When reaching out to a colleague she sends a document explaining the goal of the project and her questions in advance. Constanza prepares for the personal conversation by reading up about the mathematical results. But at the same moment she is interested in questions like: how do you work, how do you come up with ideas, what do you do on a regular day, etc. The general theme of all conversations is that a regular day does not exist when working at university. It seems that the only recurring task is daily improvisation on any schedule made in advance. One has to optimize how to live with the peculiar situation being pushed to handle several important tasks at once at almost any moment and needs techniques to find compromise and balance. An important question then is: how to stay productive and satisfied under these conditions, how to manage to stay in academia and what personal meaning does the word success then take. In order to distill the answers into a blog entry Constanza uses only a few quotes and sums up the conversation in a coherent text. Since she seeks out very interesting people, there is a lot of interesting material. Constanza focuses on the aspects that stay with her after a longer thought process. These ideas then mainly drive the blog article. Another part of the blog are two drawings: one portrait of the person and one which pictures the themes that were discussed and might not have made it into the text. Surprisingly it turned out to be hard to find partners to talk to, and the process to make it a blog entry takes Constanza a year or longer. On the other hand, she feels very lucky that she found women which were very generous with their time and in sharing their experiences. Besides the engagement and love for what they do, all the participants had this in common: they were already promoting the participation of women in science. To learn from them as a younger researcher means, for example, to see the own impact on students and that building a community is very important, and a success in its own. Though Constanza invests a lot of time in the blog project, it is worth the effort since it helps her to work towards a future either in or outside academia. Gudrun and Constanza found out that though both of their projects explore mathematical themes as well as people working in mathematics, the written parts of blog and podcast differ in that what makes it into the notes in Constanza's blog is, so to say, bonus material available only for the listening audience in Gudruns podcast (since it is never in the shownotes). In that sense, Gudrun's podcast and Constanza's blog are complementary views on the life of researchers. Constanza did her undergraduate studies in <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/La_Serena,_Chile">La Serena</a> in Chile. She started out with studying physics but soon switched to mathematics in order to understand the basics of physics. When she had almost finished her Masters program in La Serena she wanted to continue in science abroad. She was admitted to a french (one year) Master program at the <a href="http://www.upmc.fr/en/">University Paris 6</a> and later did her PhD in the nearby <a href="https://www.u-cergy.fr/en/index.html">University Cergy-Pontoise</a>. After that she applied for a <a href="http://ec.europa.eu/research/mariecurieactions/about/individual-fellowships_en">Marie-Curie fellowship</a> in order to continue her research in Germany. She spent time as postdoc at the <a href="http://www.mittag-leffler.se/">Mittag-Leffler-Institut in Stockholm</a> and at <a href="http://www.camtp.uni-mb.si/ ">CAMTP in Maribor</a> (Slovenia) before moving to the <a href="https://www.en.uni-muenchen.de/index.html">LMU Munich</a> for two years with the fellowship. After that she got the position in Bonn and is now preparing for her next step. Gudrun and Constanza want to thank <a href="http://www.math.kit.edu/iana1/~ried/">Tobias Ried</a> who put them in contact. <img src="http://www.math.kit.edu/ianm4/seite/ma-blackboard/media/gracias-512x386.jpg" alt="Gracias. Drawing by Constanza Rojas-Molina" title="Gracias. Drawing by Constanza Rojas-Molina" /> <h1>References and further reading</h1> <ul><li> <a href="https://www.facebook.com/womeninmaths/posts/1711263849086452:0">Women in Math statement</a></li><li> <a href="http://biblioweb.u-cergy.fr/theses/2012CERG0565.pdf ">Constanza Rojas-Molina: Etude mathématique des propriétés de transport des opérateurs de Schrödinger aléatoires avec structure quasi-cristalline</a> (The mathematical study of electronic transport in random Schrödinger operators with quasicrystalline structures). PhD-thesis Université de Cergy-Pontoise, 2012. </li><li> <a href="http://modellansatz.de/quantenchaos">A. Pohl: Quantenchaos</a>, Conversation with G. Thäter in the Modellansatz Podcast, Episode 79, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. <a href="http://modellansatz.de/quantenchaos">http://modellansatz.de/quantenchaos</a></li><li> <a href="https://eacasanova.wordpress.com/portfolio/pressnews/">Constanza's illustration blog</a></li></ul>

Modellansatz 121

Constanza Rojas-Molina is a postdoc at the Institute of Applied Mathematics of the University of Bonn. Gudrun Thäter met her in Bonn to talk about Constanza's blog The Rage of the Blackboard. The blog’s title makes reference to an angry blackboard, but also to the RAGE Theorem, named after the mathematical physicists D. Ruelle, W. Amrein, V. Georgescu, and V. Enss." Standing at a blackboard can be intimidating and quite a few might remember moments of anxiety when being asked to develop an idea in front of others at the blackboard. But as teachers and scientists we work with the blackboard on a daily basis and find a way to "tame" its "rage". Gudrun and Constanza share that they are working in fields of mathematics strongly intertwined with physics. While Gudrun is interested in Mathematical Fluid dynamics, Constanza's field is Mathematical physics. Results in both fields very much rely on understanding the spectrum of linear (or linearized) operators. In the finite-dimensional case this means to study the eigenvalues of a matrix. They contain the essence of the action of the operator - represented by different matrices in differing coordinate systems. As women in academia and as female mathematicians Gudrun and Constanza share the experience that finding the essence of their actions in science and defining the goals worth to pursue are tasks as challenging as pushing science itself, since most traditional coordinate systems were made by male colleagues and do not work in the same way for women as for men. This is true even when raising own children does not enter the equation. For that Constanza started to reach out to women in her field to speak about their mathematical results as well as their experiences. Her idea was to share the main findings in her blog with an article and her drawings. When reaching out to a colleague she sends a document explaining the goal of the project and her questions in advance. Constanza prepares for the personal conversation by reading up about the mathematical results. But at the same moment she is interested in questions like: how do you work, how do you come up with ideas, what do you do on a regular day, etc. The general theme of all conversations is that a regular day does not exist when working at university. It seems that the only recurring task is daily improvisation on any schedule made in advance. One has to optimize how to live with the peculiar situation being pushed to handle several important tasks at once at almost any moment and needs techniques to find compromise and balance. An important question then is: how to stay productive and satisfied under these conditions, how to manage to stay in academia and what personal meaning does the word success then take. In order to distill the answers into a blog entry Constanza uses only a few quotes and sums up the conversation in a coherent text. Since she seeks out very interesting people, there is a lot of interesting material. (...)

Rage of the Blackboard

<a href="http://www.math.kit.edu/stoch/~winter/de">Steffen Winter</a> befasst sich mit <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Fraktal">fraktaler Geometrie</a>, also mit Mengen, deren <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Dimension_(Mathematik)">Dimension</a> nicht ganzahllig ist. Einen intuitiven Zugang zum Konzept der Dimension bieten <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarmultiplikation">Skalierung</a>seigenschaften. Ein einfaches Beispiel, wie das funktioniert, ist das folgende: Wenn man die Seiten eines <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/W%C3%BCrfel_(Geometrie)">Würfel</a>s halbiert, reduziert sich das Volumen auf ein Achtel (ein Halb hoch 3). Bei einem <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Quadrat">Quadrat</a> führt die Halbierung der Seitenlänge zu einem Viertel (ein Halb hoch 2) des ursprünglichen Flächeninhalts und die Halbierung einer Strecke führt offenbar auf eine halb so lange Strecke (ein Halb hoch 1). Hier sieht man sehr schnell, dass die uns vertraute Dimension, nämlich 3 für den Würfel (und andere <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6rper_(Geometrie)">Körper</a>), 2 für das Quadrat (und andere <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Fl%C3%A4che_(Mathematik)">Flächen</a>) und 1 für Strecken (und z.B. <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Kurve_(Mathematik)">Kurven</a>) in die Skalierung des zugehörigen Maßes als Potenz eingeht. Mengen, bei denen diese Potenz nicht ganzzahlig ist, ergeben sich recht ästhetisch und intuitiv, wenn man mit <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Selbst%C3%A4hnlichkeit">selbstähnlichen Konstruktionen</a> arbeitet. Ein Beispiel ist der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Sierpinski-Teppich">Sierpinski-Teppich</a>. Er entsteht in einem iterativen Prozess des fortgesetzten Ausschneidens aus einem Quadrat, hat aber selbst den Flächeninhalt 0. Hier erkennt man durch die Konstruktion, dass die Skalierung ln 8/ln 3 ist, also kein ganzzahliger Wert sondern eine Zahl echt zwischen 1 und 2. Tatsächlich sind das Messen von Längen, Flächen und Volumina schon sehr alte und insofern klassische Probleme und auch die Defizite der beispielsweise in der Schule vermittelten Formeln beim Versuch, sie für Mengen wie den Sierpinski-Teppich anzuwenden, werden schon seit etwa 100 Jahren mit verschiedenen angepassten Maß- und Dimensionskonzepten behoben. Ein Dimensionsbegriff, der ganz ohne die Hilfe der Selbstähnlichkeit auskommt, wurde von <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Felix_Hausdorff">Felix Hausdorff</a> vorgeschlagen und heißt deshalb heute <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Hausdorff-Dimension">Hausdorff-Dimension</a>. Hier werden <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%9Cberdeckung_(Mathematik)">Überdeckungen</a> der zu untersuchenden Menge mit (volldimensionalen) Kugeln mit nach oben beschränktem (aber ansonsten beliebigem) Durchmesser angeschaut. Die Durchmesser der Kugeln werden zu einer Potenz s erhoben und aufsummiert. Man sucht unter allen Überdeckungen diejenigen, bei denen sich so die kleinste Durchmessersumme ergibt. Nun lässt man den maximal zulässigen Durchmesser immer kleiner werden. Die Hausdorff-Dimension ergibt sich als die kleinstmögliche Potenz s, für die diese minimalen Durchmessersummen gerade noch endlich bleiben. Ein verwandter aber nicht identischer Dimensionsbegriff ist die sogenannte <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Fraktale_Dimension#Boxcounting-Dimension">Box-Dimension</a>. Für hinreichend gutartige Mengen stimmen Hausdorff- und Box-Dimension überein, aber man kann zum Beispiel <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Cantor-Menge">Cantormengen</a> konstruieren, deren Dimensionen verschieden sind. Für die Box-Dimension kann der Fall eintreten, dass die Vereinigung abzählbar vieler Mengen der Dimension 0 zu einer Menge mit Dimension echt größer als 0 führt, was im Kontext von klassischen Dimensionen (und auch für die Hausdorff-Dimension) unmöglich ist und folglich eher als Hinweis zu werten ist, mit der Box-Dimension sehr vorsichtig zu arbeiten. Tatsächlich gibt es weitere Konzepte <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Fraktale_Dimension">fraktale Dimensionen</a> zu definieren. Interessant ist der Fakt, dass erst der Physiker und Mathematiker <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Beno%C3%AEt_Mandelbrot">Benoit Mandelbrot</a> seit Ende der 1960er Jahre eine intensivere Beschäftigung mit solchen Konzepten angestoßen hat. Er hatte in vielen physikalischen Phänomenen das Prinzip der Selbstähnlichkeit beobachtet - etwa dass sich Strukturen auf verschiedenen Größenskalen wiederholen. Wenn man z.B. ein Foto von einem Felsen macht und dazu keine Skala weiß, kann man nicht sagen, ob es sich um einen Stein, einen Ausschnitt aus einem mikroskopischen Bild oder um ein Kletterfelsen von 500m Höhe oder mehr handelt. Durch den Einzug von Computern an jedem Arbeitsplatz und später auch in jedem Haushalt (und den Kinderzimmern) wurde die Visualisierung solcher Mengen für jeden und jede sehr einfach möglich und führte zu einem regelrechten populärwissenschaftlichen Boom des Themas Fraktale. Schwierige offene Fragen im Kontext solcher fraktalen Mengen sind z.B., wie man Begriffe wie Oberflächeninhalt oder <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Kr%C3%BCmmung">Krümmung</a> sinnvoll auf fraktale Strukturen überträgt und dort nutzt, oder wie die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/W%C3%A4rmeleitung">Wärmeausbreitung</a> und die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Elektrische_Leitf%C3%A4higkeit">elektrische Leitfähigkeit</a> in solchen fraktalen Objekten beschrieben werden kann. <h1>Literatur und weiterführende Informationen</h1> <ul><li> <a href="http://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-0348-5027-8">B. Mandelbrot: Die fraktale Geometrie der Natur</a>, Springer-Verlag, 2013.</li><li> <a href="http://www.math.kit.edu/iag4/~winter/media/dissmath629.pdf">S. Winter: Curvature measures and fractals</a>, Diss. Math. 453, 1-66, 2008.</li><li> <a href="http://www.maa.org/press/maa-reviews/fractal-geometry-mathematical-foundations-and-applications">K. Falconer: Fractal geometry, mathematical foundations and applications</a>, John Wiley &amp; Sons, 2004.</li></ul> <h1>Podcasts</h1> <ul><li> <a href="http://modellansatz.de/julia-sets">P. Kraft: Julia Sets</a>, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 119, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. <a href="http://modellansatz.de/julia-sets">http://modellansatz.de/julia-sets</a></li></ul>

Modellansatz 120

Steffen Winter befasst sich mit fraktaler Geometrie, also mit Mengen, deren Dimension nicht ganzahllig ist. Einen intuitiven Zugang zum Konzept der Dimension bieten Skalierungseigenschaften. Ein einfaches Beispiel, wie das funktioniert, ist das folgende: Wenn man die Seiten eines Würfels halbiert, reduziert sich das Volumen auf ein Achtel (ein Halb hoch 3). Bei einem Quadrat führt die Halbierung der Seitenlänge zu einem Viertel (ein Halb hoch 2) des ursprünglichen Flächeninhalts und die Halbierung einer Strecke führt offenbar auf eine halb so lange Strecke (ein Halb hoch 1). Hier sieht man sehr schnell, dass die uns vertraute Dimension, nämlich 3 für den Würfel (und andere Körper), 2 für das Quadrat (und andere Flächen) und 1 für Strecken (und z.B. Kurven) in die Skalierung des zugehörigen Maßes als Potenz eingeht. Mengen, bei denen diese Potenz nicht ganzzahlig ist, ergeben sich recht ästhetisch und intuitiv, wenn man mit selbstähnlichen Konstruktionen arbeitet. Ein Beispiel ist der Sierpinski-Teppich. Er entsteht in einem iterativen Prozess des fortgesetzten Ausschneidens aus einem Quadrat, hat aber selbst den Flächeninhalt 0. Hier erkennt man durch die Konstruktion, dass die Skalierung ln 8/ln 3 ist, also kein ganzzahliger Wert sondern eine Zahl echt zwischen 1 und 2. Tatsächlich sind das Messen von Längen, Flächen und Volumina schon sehr alte und insofern klassische Probleme und auch die Defizite der beispielsweise in der Schule vermittelten Formeln beim Versuch, sie für Mengen wie den Sierpinski-Teppich anzuwenden, werden schon seit etwa 100 Jahren mit verschiedenen angepassten Maß- und Dimensionskonzepten behoben. Ein Dimensionsbegriff, der ganz ohne die Hilfe der Selbstähnlichkeit auskommt, wurde von Felix Hausdorff vorgeschlagen und heißt deshalb heute Hausdorff-Dimension. Hier werden Überdeckungen der zu untersuchenden Menge mit (volldimensionalen) Kugeln mit nach oben beschränktem (aber ansonsten beliebigem) Durchmesser angeschaut. Die Durchmesser der Kugeln werden zu einer Potenz s erhoben und aufsummiert. Man sucht unter allen Überdeckungen diejenigen, bei denen sich so die kleinste Durchmessersumme ergibt. Nun lässt man den maximal zulässigen Durchmesser immer kleiner werden. Die Hausdorff-Dimension ergibt sich als die kleinstmögliche Potenz s, für die diese minimalen Durchmessersummen gerade noch endlich bleiben. Ein verwandter aber nicht identischer Dimensionsbegriff ist die sogenannte Box-Dimension. Für hinreichend gutartige Mengen stimmen Hausdorff- und Box-Dimension überein, aber man kann zum Beispiel Cantormengen konstruieren, deren Dimensionen verschieden sind. Für die Box-Dimension kann der Fall eintreten, dass die Vereinigung abzählbar vieler Mengen der Dimension 0 zu einer Menge mit Dimension echt größer als 0 führt, was im Kontext von klassischen Dimensionen (und auch für die Hausdorff-Dimension) unmöglich ist und folglich eher als Hinweis zu werten ist, mit der Box-Dimension sehr vorsichtig zu arbeiten. (...)

Fraktale Geometrie

<a href="http://www.math.kit.edu/ianm2/~kraft/en">Pascal Kraft</a> is a researcher at the <a href="http://www.math.kit.edu/ianm2/en">Institute for Applied and Numerical Mathematics</a> of the <a href="http://www.kit.edu/">Karlsruhe Institute of Technology (KIT)</a> and he introduces us to <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Julia_set">Julia Sets</a> which he investigated for his Bachelors Thesis. It is natural for us to think something like this: If I take two simple things and put them together in some sense, nothing too complex should arise from that. A fascinating result of the work of mathematicians like <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Gaston_Julia">Gaston Julia</a> and <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Benoit_Mandelbrot">Benoît Mandelbrot</a> dating back to the first half of the 20th century show that this assumption doesn't always hold. In his bachelor's thesis under supervision of <a href="https://www.yin.kit.edu/59_1337.php">Jan-Philipp Weiß</a>, Pascal Kraft worked on the efficient computation of <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Julia_set">Julia Sets</a>. In laymans terms you can describe these sets as follows: Some electronic calculators have the functions of repeating the last action if you press "=" or "enter" multiple times. So if you used the root function of your calculator on a number and now you want the root of the result you simply press "=" again. Now imagine you had a function on your calculater that didn't only square the input but also added a certain value - say 0.5. Then you put in a number, apply this function and <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Iterated_function">keep repeating it over and over</a> again. Now you ask yourself if you keep pressing the "="-button if the result keeps on growing and tends to infinity or if it stays below some threshold indefinitely. Using real numbers this concept is somewhat boring but if we use <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number">complex numbers</a> we find, that the results are astonishing. To use a more precise definition: for a function <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$f%28z%29$&amp;sig=46bae4ed0a8c40471b67e9883b299d01" alt="f(z)" title="f(z)" style="vertical-align: middle" width="24" height="14" />, the Filled Julia Set is defined as the set of values <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$z$&amp;sig=99a5688ee069f1af189c0578464a0da6" alt="z" title="z" style="vertical-align: middle" width="7" height="6" />, for whom the series <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$%28f%5En%28z%29%29_n$&amp;sig=6dfc983957fd6f160c9eaea273f2f370" alt="(f^n(z))_n" title="(f^n(z))_n" style="vertical-align: middle" width="47" height="14" /> stays bounded. The Julia Set is defined as the boundary of this set. A typical example for a suitable function <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$f%28z%29$&amp;sig=46bae4ed0a8c40471b67e9883b299d01" alt="f(z)" title="f(z)" style="vertical-align: middle" width="24" height="14" /> in this context is <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$f%28z%29+%3D+z%5E2+%2B+c$&amp;sig=9513ba3838e9c6ebaac66cb5563f8756" alt="f(z) = z^2 + c" title="f(z) = z^2 + c" style="vertical-align: middle" width="80" height="14" />. We now look at the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_plane">complex plane</a> where the x-axis represents the real part of a complex number and the y-axis its imaginary part. For each point on this plane having a coordinate <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$%28x%2Cy%29$&amp;sig=cdd2ccc8f2603917882fe0f82e3c1e1b" alt="(x,y)" title="(x,y)" style="vertical-align: middle" width="29" height="14" /> we take the corresponding complex number <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$z%3Dx%2Biy$&amp;sig=122928f2f2c8a09600eb1e79954a3103" alt="z=x+iy" title="z=x+iy" style="vertical-align: middle" width="62" height="12" /> and plug this value into our function <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$f%28z%29$&amp;sig=46bae4ed0a8c40471b67e9883b299d01" alt="f(z)" title="f(z)" style="vertical-align: middle" width="24" height="14" /> and the results over and over again up to a certain degree until we see if this <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Sequence">sequence</a> diverges. Computing a graphical representation of such a Julia Set is a numerically costly task since we have no other way of determining its interior points other then trying out a large amount of starting points and seeing what happens after hundreds of iterations. The results, however, turn out to be surprising and worth the effort. The geometric representations - images - of filled Julia Sets turn out to be very aesthetically pleasing since they are no simple compositions of elementary shapes but rather consist of intricate shapes and patterns. The reason for these beautiful shapes lie in the nature of multiplication and addition on the complex plane: A multiplication can be a magnification and down-scaling, mirroring and rotation, whereas the complex addition is represented by a translation on the complex plane. Since the function is applied over and over again, the intrinsic features are repeated in scaled and rotated forms over and over again, and this results in a <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Self-similarity">self-similarity</a> on <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Scale_invariance">infinite scales</a>. In his bachelor's thesis, Pascal focussed on the efficient computation of such sets which can mean multiple things: it can either mean that the goal was to quickly write a program which could generate an image of a Julia Set, or that a program was sought which was very fast in computing such a program. Lastly it can also mean that we want to save power and seek a program which uses computational power efficiently to compute such an image, i.e. that consumes little energy. This is a typical problem when considering a numerical approach in any application and it arises very naturally here: While the computation of Julia Sets can greatly benefit from <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Parallel_computing">parallelization</a>, the benefits are at loss when many tasks are waiting for one calculation and therefore the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Speedup">speedup</a> and <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Performance_per_watt">computational efficiency</a> breaks down due to <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Amdahl%27s_law">Amdahl's law</a>. The difference of these optimization criteria becomes especially obvious when we want to do further research ontop of our problem solver that we have used so far. <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set">The Mandelbrot Set</a> for example is the set of values <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$c$&amp;sig=ac98556f8ac18ffc7418d941242547ed" alt="c" title="c" style="vertical-align: middle" width="6" height="6" />, for whom the Filled Julia Set is not equal to the Julia Set (i.e. the Filled Julia Set has <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Interior_(topology)">interior points</a>). One detail is important for the computation of either of these sets: If we check one single point we can never really say if it is inside the Filled Julia Set for sure (unless we can prove <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Periodic_function">periodicity</a> but that is not really feasible). What we can show however is, that if the magnitude of a point in the series of computations is above a certain bound, the results will tend to infinity from this point on. The approach is therefore to compute steps until either a maximum of steps is reached or a certain threshold is exceeded. Based on this assumption, we see that computing a point which lies inside the filled Julia Set is the bigger effort. So if computing a Julia Set for a given parameter is a lot of work, its complex parameter <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$c$&amp;sig=ac98556f8ac18ffc7418d941242547ed" alt="c" title="c" style="vertical-align: middle" width="6" height="6" /> most likely lies inside the Mandelbrot Set (as we find many points for whom the computation doesn't abort prematurely and it is therefore likely that some of these points will be interior). If we want to draw the Mandelbrot Set based on this approach, we have to compute thousands of Julia Sets and if the computation of a single image was to take a minute this would not really be feasible anymore. Since the computation of a Julia Set can even be done in a webbrowser these days, we include below a little tool which lets you set a complex parameter <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$c$&amp;sig=ac98556f8ac18ffc7418d941242547ed" alt="c" title="c" style="vertical-align: middle" width="6" height="6" /> and compute four different Julia Sets. Have fun with our <a href="http://www.math.kit.edu/ianm4/seite/ma-julia-sets/en#Interactive%20Julia%20Sets">Interactive Julia Sets</a>! <h1>References and further reading</h1> <ul><li> <a href="https://www.amazon.de/Fraktale-Julia-Mengen-CD-ROM-Julius-Dufner/dp/3817115644">J. Dufner, A. Roser, F. Unseld: Fraktale und Julia-Mengen</a>, Harri Deutsch Verlag, 1998.</li><li> <a href="http://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-61717-1">H.-O. Peitgen, P. H. Richter: The beauty of fractals: images of complex dynamical systems</a>, Springer Berlin Heidelberg, 1986.</li><li> <a href="http://www0.cs.ucl.ac.uk/staff/p.bentley/teaching/L6_reading/mandelbrot.pdf">B. B. Mandelbrot: Fractal aspects of the iteration of <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$z%5Cto%5Clambda+z%281-z%29$&amp;sig=4522918c200e1670ed78bc30a81eef52" alt="z\to\lambda z(1-z)" title="z\to\lambda z(1-z)" style="vertical-align: middle" width="84" height="14" /> for complex <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$%5Clambda$&amp;sig=ba6fbffcb119b475e87a5aac9730177e" alt="\lambda" title="\lambda" style="vertical-align: middle" width="8" height="9" /> and z</a>, Annals of the New York Academy of Sciences 357.1: 249-259, 1980.</li><li> P. Kraft: Paralleles Rechnen auf GPUs - Julia Mengen und das magnetische Pendel Fraktal, Bachelor Thesis. 2012.</li><li> <a href="https://eudml.org/doc/234994">J. Gaston: Mémoire sur l’itération des fonctions rationnelles</a>, Journal de Math´ematiques pures et appliqu ´ees 4 (Rep 1968), pp. 47-245 / 121-319, 1918.</li><li> <a href="http://www.ams.org/journals/bull/1984-11-01/S0273-0979-1984-15240-6/S0273-0979-1984-15240-6.pdf">P. Blanchard: Complex analytical dynamics on the Riemann sphere</a>, Bulletin of the American Mathematical Society 11, pp. 84-141, 1984.</li></ul>

Modellansatz 119

Pascal Kraft is a researcher at the Institute for Applied and Numerical Mathematics of the Karlsruhe Institute of Technology (KIT) and he introduces us to Julia Sets which he investigated for his Bachelors Thesis. It is natural for us to think something like this: If I take two simple things and put them together in some sense, nothing too complex should arise from that. A fascinating result of the work of mathematicians like Gaston Julia and Benoît Mandelbrot dating back to the first half of the 20th century show that this assumption doesn't always hold. In his bachelor's thesis under supervision of Jan-Philipp Weiß, Pascal Kraft worked on the efficient computation of Julia Sets. In laymans terms you can describe these sets as follows: Some electronic calculators have the functions of repeating the last action if you press "=" or "enter" multiple times. So if you used the root function of your calculator on a number and now you want the root of the result you simply press "=" again. Now imagine you had a function on your calculater that didn't only square the input but also added a certain value - say 0.5. Then you put in a number, apply this function and keep repeating it over and over again. Now you ask yourself if you keep pressing the "="-button if the result keeps on growing and tends to infinity or if it stays below some threshold indefinitely. Using real numbers this concept is somewhat boring but if we use complex numbers we find, that the results are astonishing. To use a more precise definition: for a function f(z), the Filled Julia Set is defined as the set of values z, for whom the series (f^n(z))_n stays bounded. The Julia Set is defined as the boundary of this set. A typical example for a suitable function f(z) in this context is f(z) = z^2 + c. We now look at the complex plane where the x-axis represents the real part of a complex number and the y-axis its imaginary part. For each point on this plane having a coordinate (x,y) we take the corresponding complex number z=x+iy and plug this value into our function f(z) and the results over and over again up to a certain degree until we see if this sequence diverges. Computing a graphical representation of such a Julia Set is a numerically costly task since we have no other way of determining its interior points other then trying out a large amount of starting points and seeing what happens after hundreds of iterations. The results, however, turn out to be surprising and worth the effort. The geometric representations - images - of filled Julia Sets turn out to be very aesthetically pleasing since they are no simple compositions of elementary shapes but rather consist of intricate shapes and patterns. The reason for these beautiful shapes lie in the nature of multiplication and addition on the complex plane: A multiplication can be a magnification and down-scaling, mirroring and rotation, whereas the complex addition is represented by a translation on the complex plane. (...)

Julia Sets

<a href="http://www.mathematik.uni-dortmund.de/~lschwach/">Lorenz Schwachhöfer</a> ist seit 2003 Professor für <a href="http://www.mathematik.tu-dortmund.de/">Mathematik an der TU Dortmund</a>. <a href="http://www.math.kit.edu/ianm2/~thaeter">Gudrun</a> kennt ihn aus ihrer Zeit als als Hochuldozentin dort (2004-2008). Seinen kurzen Gastaufenthalt in der <a href="http://www.math.kit.edu/iag5/">AG von Prof. Tuschmann</a> in Karlsruhe wollten die beiden ausnutzen, um ein Podcast-Gespräch zu führen. Das Forschungsgebiet von Lorenz Schwachhöfer gehört zur <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialgeometrie">Differentialgeometrie</a>. Deshalb dreht sich ihr Gespräch um zentrale Begriffe in diesem mathematischen Gebiet zwischen Geometrie und Analysis: Die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Kr%C3%BCmmung">Krümmung</a> und das Finden von <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Minimalfl%C3%A4che">Minimalflächen</a>. Der Begriff Krümmung kommt in unserer Alltagssprache vor. Die Mathematik muss das Konzept von "gekrümmt sein" nur klar fassen, um damit präzise arbeiten zu können. Die zentrale Eigenschaft, die durch das Wort beschrieben wird, ist wie sehr sich eine Fläche von einer Ebene unterscheidet. Oder auch wie stark sich eine Kurve von einer Geraden unterscheidet. Eine Ebene (bzw.eine Gerade) ist nicht gekrümmt. Mathematisch ausgedrückt haben sie deshalb die Krümmung 0. Wenn man nun untersuchen - und mit einer Zahl ausdrücken - möchte, wie sehr sich z.B. eine Kurve in jedem Punkt von eine Gerade unterscheidet, verwendet man folgenden Trick: Man definiert einen Parameter - z.B. die Bogenlänge - und stellt die Kurve als Funktion dieses Parameters dar. Dann berechnet man die Änderung des Richtungsvektors der Kurve in jedem Punkt. D.h. man braucht die zweite Ableitung nach dem Parameter in dem Punkt. Das Ergebnis für einen Kreis mit Radius r lautet dann: Er hat überall die Krümmung 1/r. Daran sieht man auch, dass kleine Kreise sehr stark gekrümmt sind während sehr große Kreise eine so kleine Krümmung haben, dass man sie fast nicht von einer Geraden unterscheiden kann. Auch die Erdoberfläche wirkt lokal wie eine Ebene, denn in der mit unseren Augen wahrgenommenen Umgebung ist ihre Krümmung klein. Was für Kurven recht anschaulich zu definieren geht, ist für Flächen im dreidimensionalen Raum nicht ganz so klar. Das einzig klare ist, dass für jede Art Krümmung, die man mathematisch definiert, jede Ebene in jedem Punkt die Krümmung 0 haben muss. Wenn man die Idee der Parametrisierung auf Flächen überträgt, geht das im Prinzip auch, wenn man zwei Parameter einführt und Krümmung auf eine bestimmte Richtung im Punkt auf der Fläche entlang bezieht. Beim <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Zylinder_(Geometrie)">Zylinder</a> kann man sich gut vorstellen, wie das Ergebnis aussieht: Es gibt die Richtung entlang der Kreislinie des Querschnitts. Diese Kurve ist ein Kreis und hat die Krümmung 1/r. Läuft man dazu im rechten Winkel auf der Zylinderhülle, folgt man einer Gerade (d.h. Krümmung in diese Richtung ist 0). Alle anderen Wege auf der Zylinderoberfläche liegen in Bezug auf die Krümmung zwischen diesen beiden Werten 1/r und 0. Tatsächlich kann man auch für allgemeine Flächen zeigen, dass man in jedem Punkt eine Zerlegung in zwei solche "Haupt"-Richtungen findet, für die maximale bzw. minimale Krümmungswerte gelten (und die senkrecht zueinander sind). Alle anderen Richtungen lassen sich daraus linear zusammensetzen. Die Kugeloberfläche hat z.B. eine hohe Symmetrie und verhält sich in allen Richtungen gleich. Alle Wege auf der Kugeloberfläche sind lokal Teile von Kreisen. Man kann sich hier auch überlegen, was tangential bedeutet, indem man in einem Punkt auf der Oberfläche eine Ebene anschmiegt. Die Richtung senkrecht auf dieser tangentialen Ebene ist die Normalenrichtung auf dem Punkt der Kugeloberfläche an dem die Tangentialebene anliegt. Tatsächlich gibt es für Flächen aber mehr als einen sinnvollen Krümmungsbegriff. Man kann z.B. einen Zylinder sehr schön in Papier "einwickeln". Bei einer Kugel geht das nicht - es bleibt immer Papier übrig, das man wegfalten muss. Wenn man einen <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Rotationshyperboloid">Kühlturm</a> einpacken möchte, reicht das Papier nicht für die nach innen einbuchtende Oberfläche. Die Eigenschaft, die wir mir dem Einwickeln veranschaulicht haben, wird mit dem Begriff der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsche_Kr%C3%BCmmung">Gaußkrümmung</a> ausgedrückt. Um sie zu berechnen, kann man in einem Punkt die oben definierten Richtungsskrümmungen anschauen. Maximal- und Minimalwerte werden für senkrecht aufeinander stehende Richtungen realisiert. Das Produkt der beiden extremen Krümmungen ergibt dann die Gaußkrümmung. In unserem Beispiel mit dem Zylinder ist die Gaußkrümmung also 0 mal 1/r = 0. Das ist aber tatsächlich ganz unabhängig von der Richtungskrümmung untersuchbar, weil es sich durch Längen- bzw. Flächenverhältnisse in der Fläche bestimmen lässt. Genauer gesagt: Wenn man auf der Kugel um einen Punkt einen Kreis auf der Kugeloberfläche zieht (d.h. seine Punkte liegen auf der Kugeloberfläche und haben alle den Abstand r vom gewählten Punkt), hat dieses Objekt einen kleineren Flächeninhalt als ein ebener Kreis mit dem gleichen Radius. Deshalb sagt man: Die Kugel hat positive Gaußkrümmung. Bei negativer Gaußkrümmung ist der Flächeninhalt auf der Oberfläche größer als in der Ebene. Das trifft für den Kühlturm zu. Diese Eigenschaft lässt sich innerhalb der Fläche untersuchen. Man braucht gar keine Einbettung in einen umgebenden Raum. Das ist zunächst sehr überraschend. Es ist aber unbedingt nötig für Anwendungen in der Astrophysik, wo die Raumzeit wegen der Gravitation gekrümmt ist (d.h. sie ist <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Nichteuklidische_Geometrie">kein euklidischer Raum</a>). Es hat aber niemand ein Bild, in welche höhere Dimension man die Raumzeit einbetten sollte, um dann mit der Krümmung in Bezug auf diesen Raum zu arbeiten. Neben den beiden schon diskutierten Begriffen kann man auch mit der mittleren Krümmung arbeiten. Sie ist definiert als Mittelwert aller Richtungskrümmungen. Man kannn aber zeigen, dass dies stets das <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Arithmetisches_Mittel">arithmetische Mittel</a> zwischen minimaler und maximaler Krümmung ist. Dies hat auch eine physikalische Interpretation - z.B. als Flächenspannung für eine Membran, die eingespannt ist. Die Membran versucht, einen möglichst geringen Flächeninhalt - eine sogenannte Minimalfläche - zu realisieren, weil dies dem minimalen Energieaufwand entspricht. Spannungsfreie Flächen sind sehr stabil und deshalb für Architekten interessant. Im Schülerlabor Mathematik kann man mit Seifenhäuten selbst ausprobieren, welche Flächen sich hier für unterschiedliche Randkurven herausbilden. Z.B. wurde die Dachkonstruktion des ehemaligen <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Olympiastadion_M%C3%BCnchen">Olympiastadions in München</a> aus Minimalflächen konstruiert, die mit Seifenhäuten gefunden, fotographiert und nachgebaut wurden.. Mathematisch sprechen wir vom <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Plateau-Problem">Plateau-Problem</a>. Die Frage ist dabei: Hat jede geschlossene Kurve mindestens eine zugehörige Minimalfläche? Heute wissen wir, dass die Antwort - unter sehr geringen Regularitätsforderungen an die Kurve - fast immer ja ist. Sehr verblüffendend ist in diesem Zusammenhang auch der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Gau%C3%9F-Bonnet">Satz von Gauß/Bonnet</a>. Er sagt, dass das Integral über die Gaußkrümmung jeder in sich selbst geschlossenen Fläche ein ganzzahliges Vielfaches von 2π ist. Dieser Faktor heißt dann <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Euler-Charakteristik">Euler-Charakteristik</a> und hängt nur von der Topologie (grob gesprochen der Zahl der Löcher im Gebiet) ab. Beim <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Torus">Torus</a> ist sie 0 und für die Kugeloberfläche 2. Interessant ist in diesem Zusammenhang auch die Behandlung von nicht glatten Kurven bzw. Flächen mit Ecken und Kanten. An den Kanten ist das Konzept der Gaußkrümmung noch recht einfach übertragbar. Der betrachtete Kreis auf der Oberfläche klappt sich dabei um die Kante herum. An den Ecken geht das nicht so einfach, sondern führt auf komplexere Gebilde. Wenn man sich aber z.B. einen Würfel ansieht, hat dieser fast überall die Krümmung 0. Trotzdem ist er (topologisch gesehen) einer Kugel viel ähnlicher als einer Ebene. Hier kann man den Begriff der Gaußkrümmung richtig für <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Polyeder">Polyeder</a> mit Kanten und Ecken verallgemeinern und der Satz von Gauß/Bonnet überträgt sich sinngemäß auf Polyeder. Das Integral wird zur Summe über die Polyederflächen und wir erhalten den wohlbekannten <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Eulerscher_Polyedersatz">Polyedersatz</a>: <ul><li> Euler-Charakteristik mal Anzahl der Flächen - Anzahl der Kanten + Anzahl der Ecken = 2 </li></ul> Der Polyedersatz ist eigentlich ein <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Kombinatorik">kombinatorisches</a> Ergebnis. Trotzdem zeigt sich hier, dass die topologischen Eigenschaften intrinsisch mit der Krümmung zusammenhängen, was sehr überraschend, aber auch sehr ästhetisch zwei einander sehr fremde Teilgebiete der Mathematik zusammenführt. Lorenz Schwachhöfer hat in <a href="http://www3.mathematik.tu-darmstadt.de/fb/mathe/home.html">Darmstadt</a> und in <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Tulane_University">New Orleans</a> Mathematik studiert und nach seiner Promotion 1992 (in <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Philadelphia_University">Philadelphia</a>) u.a. wissenschaftlich Station gemacht an der <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Washington_University_in_St._Louis">Washington Universität</a> (in St. Louis), dem <a href="https://www.mpim-bonn.mpg.de/de">Max Planck Institut für Mathematik</a> in Bonn, der <a href="https://www.math.uni-leipzig.de/cms/de/startseite/">Universität in Leipzig</a> (dort <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Habilitation">Habilitation</a>) und an der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Universit%C3%A9_libre_de_Bruxelles">Université Libre</a> in Brüssel. <h1>Literatur und weiterführende Informationen</h1> <ul><li> <a href="http://www.springer.com/de/book/9783642385216">J-H. Eschenburg &amp; J. Jost: Differentialgeometrie und Minimalflächen</a>. Springer Verlag, 3. Auflage, 2014.</li><li> <a href="https://www.amazon.de/Seifenh%C3%A4ute-Minimalfl%C3%A4chen-Natur-Geometrie-Architektur/dp/3639316827">T. Matiasek: Seifenhäute und Minimalflächen: Natur, Geometrie und Architektur</a>. VDM Verlag Dr. Müller, 2010</li><li> <a href="http://www.springer.com/de/book/9783658006143">Wolfgang Kühnel: Differentialgeometrie: Kurven - Flächen - Mannigfaltigkeiten</a>, Springer Verlag, 2013.</li><li> <a href="http://www.springer.com/de/book/9783528272555">Manfredo doCarmo, Differentialgeometrie von Kurven und Flächen</a>, Vieweg+Teubner Verlag, 1993.</li><li> <a href="https://www.degruyter.com/view/product/212049">Christian Bär, Elementare Differentialgeometrie</a>, deGruyter, 2017.</li><li> <a href="https://www.youtube.com/watch?v=1_-8ACyIJFw">Video Seifenhäute</a> (engl.)</li></ul> <h1>Podcasts</h1> <ul><li> <a href="http://modellansatz.de/metrische-geometrie">P. Schwer: Metrische Geometrie</a>. Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 102, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. <a href="http://modellansatz.de/metrische-geometrie">http://modellansatz.de/metrische-geometrie</a></li><li> <a href="http://modellansatz.de/qwirkle-gruppe">L. Mirlina, F. Dehnen: Qwirkle-Gruppe</a>. Gespräch mit S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 76, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2015. <a href="http://modellansatz.de/qwirkle-gruppe">http://modellansatz.de/qwirkle-gruppe</a></li></ul>

Modellansatz 118

Lorenz Schwachhöfer ist seit 2003 Professor für Mathematik an der TU Dortmund. Gudrun kennt ihn aus ihrer Zeit als als Hochuldozentin dort (2004-2008). Seinen kurzen Gastaufenthalt in der AG von Prof. Tuschmann in Karlsruhe wollten die beiden ausnutzen, um ein Podcast-Gespräch zu führen. Das Forschungsgebiet von Lorenz Schwachhöfer gehört zur Differentialgeometrie. Deshalb dreht sich ihr Gespräch um zentrale Begriffe in diesem mathematischen Gebiet zwischen Geometrie und Analysis: Die Krümmung und das Finden von Minimalflächen. Der Begriff Krümmung kommt in unserer Alltagssprache vor. Die Mathematik muss das Konzept von "gekrümmt sein" nur klar fassen, um damit präzise arbeiten zu können. Die zentrale Eigenschaft, die durch das Wort beschrieben wird, ist wie sehr sich eine Fläche von einer Ebene unterscheidet. Oder auch wie stark sich eine Kurve von einer Geraden unterscheidet. Eine Ebene (bzw.eine Gerade) ist nicht gekrümmt. Mathematisch ausgedrückt haben sie deshalb die Krümmung 0. Wenn man nun untersuchen - und mit einer Zahl ausdrücken - möchte, wie sehr sich z.B. eine Kurve in jedem Punkt von eine Gerade unterscheidet, verwendet man folgenden Trick: Man definiert einen Parameter - z.B. die Bogenlänge - und stellt die Kurve als Funktion dieses Parameters dar. Dann berechnet man die Änderung des Richtungsvektors der Kurve in jedem Punkt. D.h. man braucht die zweite Ableitung nach dem Parameter in dem Punkt. Das Ergebnis für einen Kreis mit Radius r lautet dann: Er hat überall die Krümmung 1/r. Daran sieht man auch, dass kleine Kreise sehr stark gekrümmt sind während sehr große Kreise eine so kleine Krümmung haben, dass man sie fast nicht von einer Geraden unterscheiden kann. Auch die Erdoberfläche wirkt lokal wie eine Ebene, denn in der mit unseren Augen wahrgenommenen Umgebung ist ihre Krümmung klein. Was für Kurven recht anschaulich zu definieren geht, ist für Flächen im dreidimensionalen Raum nicht ganz so klar. Das einzig klare ist, dass für jede Art Krümmung, die man mathematisch definiert, jede Ebene in jedem Punkt die Krümmung 0 haben muss. Wenn man die Idee der Parametrisierung auf Flächen überträgt, geht das im Prinzip auch, wenn man zwei Parameter einführt und Krümmung auf eine bestimmte Richtung im Punkt auf der Fläche entlang bezieht. Beim Zylinder kann man sich gut vorstellen, wie das Ergebnis aussieht: Es gibt die Richtung entlang der Kreislinie des Querschnitts. Diese Kurve ist ein Kreis und hat die Krümmung 1/r. Läuft man dazu im rechten Winkel auf der Zylinderhülle, folgt man einer Gerade (d.h. Krümmung in diese Richtung ist 0). Alle anderen Wege auf der Zylinderoberfläche liegen in Bezug auf die Krümmung zwischen diesen beiden Werten 1/r und 0. Tatsächlich kann man auch für allgemeine Flächen zeigen, dass man in jedem Punkt eine Zerlegung in zwei solche "Haupt"-Richtungen findet, für die maximale bzw. minimale Krümmungswerte gelten (und die senkrecht zueinander sind). (...)

Minimalflächen

<a href="http://www.math.kit.edu/iag6/~ueckerdt/de">Torsten Ueckerdt</a> arbeitet seit 2012 in der <a href="http://www.math.kit.edu/iag6/de">Arbeitsgruppe Diskrete Mathematik</a> an unserer <a href="http://www.math.kit.edu/">Fakultät für Mathematik</a> am <a href="http://www.kit.edu/">Karlsruher Institut für Technologie (KIT)</a>. Er hat an der <a href="http://www.math.tu-berlin.de/menue/home/">TU Berlin</a> Mathematik studiert und promoviert. Anschließend forschte er für einige Zeit in Prag mit <a href="http://kam.mff.cuni.cz/~honza/cv1.htm">Jan Kratochvil</a>. Er arbeitet unter anderem mit <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Graphentheorie">geometrischen Graphen</a>. <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Graphentheorie">Graphen</a> sind allgegenwärtige Modelle in vielen und sehr unterschiedlichen Anwendungen. Im jedem Fall bestehen sie aus Knoten und Kanten (zwischen den Knoten). Ein Beispiel für einen geometrischen Graphen, auf das wir im Gespräch mehrfach zurückkommen, ist die folgende Reduktion von <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Politische_Karte">Landkarten</a>: Knoten stehen für die Länder und Kanten zwischen zwei Knoten symbolisieren eine gemeinsame Grenze der Länder. Damit ist der Graph eine abstrakte aber dabei auch sehr klare Fassung der nachbarschaftlichen Lage der Länder in der Landkarte. Das heißt, dass für die Darstellung im Graphen die meiste geometrische Information der Landkarte aussortiert wird. <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Graphentheorie">Andere Beispiele für geometrische Graphen</a> sind Sichtbarkeitsgraphen, geometrische Vergleichbarkeits- und Schnittgraphen (z.B. Intervallgraphen), Einheitsdistanz-Graphen oder geordnete Graphen die etwa bei Schedulingproblemen eine große Rolle spielen. Wenn ein geometrisches Problem mittels eines Graphen abstrahiert wird, kann das immense Vorteile bringen. Zum Beispiel können so Resultate, Konzepte und Techniken für allgemeine Graphen verwendet werden. Auch das bloße "Vergessen" der geometrischen Einbettung kann die Argumentationen und Objekte erheblich vereinfachen. Andererseits ist das erstrebte Resultat für allgemeine Graphen eventuell gar nicht gültig. Eine wichtige Aufgabe ist es deshalb, eine gute Balance zu finden zwischen Abstraktion und wesentlicher geometrischer Information, die die Untersuchung beeinflusst. Interessant ist, dass bestimmte Eigenschaften des Graphen von der Geometrie "dahinter" diktiert werden. Sehr zugängliche Beispiele für die Nützlichkeit der Abstraktion durch Graphen sind das <a href="https://www.vismath.eu/info/themen/koenigsberger-brueckenproblem/">Königsberger Brückenproblem</a> und das <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Springerproblem">Springerproblem</a>. Andere Fragen, die Torsten umtreiben sind das Färben (z.B. von Knoten oder Kanten) und Überdecken von Graphen. Einige Bekanntheit erlangte z.B. das <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Vier-Farben-Satz">Vier-Farben-Problem</a>. Die Frage ist dabei, ob es für alle Landkarten möglich ist, die Länder mit vier unterschiedlichen Farben so einzufärben, dass Nachbarländer stets unterschiedliche Farben haben. Der Beweis dafür, dass dies eine wahre Aussage ist, ist inzwischen gelungen und hat zwei Hauptschritte. Im ersten Schritt werden die potentiell unendlich viele Fälle, die bei Landkarten auftreten können, auf endlich viele (leider noch sehr viele) zurückgeführt. Anschließend wird der Beweis durch Fallunterscheidungen für mehrere 1000 Fälle auf Computer ausgelagert. An diesem Beispiel zeigen sich auch deutlich einige typische Aspekte von Torstens Arbeit. Einerseits scheint es nicht sehr befriedigend, dass man auf Computer im Beweis nicht verzichten kann. Andererseits ist der schwierige Schritt eigentlich der erste und die hier entwickelte Idee ist in der Tat eine sehr allgemeine Methode, die inzwischen auch für andere Fragen immer wieder eingesetzt wurde. Sie ist also bedeutsamer als "nur" Hilfsmittel im Beweis des Vier-Farben-Satzes zu sein. Andererseits trägt die Idee zwar weit genug für das Problem, aber wahrscheinlich ist sie nicht wirklich optimal für die untersuchte Struktur, da noch zu viele Fälle zu betrachten bleiben, die dann brutal durchprobiert werden. So gibt es auch spannende Verallgemeinerungen des Vier-Farben-Problems die bis heute ungelöst sind. Beim sogenannten <a href="http://mathworld.wolfram.com/Earth-MoonProblem.html">Earth-Moon Problem</a> fragt man zum Beispiel was passiert wenn jedes Land der Erde zusätzlich eine Kolonie auf dem Mond errichtet und wir nun die Länder mit möglichst wenigen Farben einfärben wollen, so dass keine zwei Länder die auf der Erde oder auf dem Mond benachbart sind die gleiche Farbe erhalten. Wir wissen nur, dass die kleinste Anzahl benötigter Farben irgendwo zwischen 9 und 12 liegt. Es sind letztlich nicht die errechneten Zahlen (wie die vier im Vier-Farben-Satz) das eigentlich Interessante, sondern die für deren Bestimmung entwickelten neuen Methoden. Ein weiterer Aspekt ist die enge Verbindung von <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Kombinatorik">Kombinatorik</a> und Geometrie. Die Tatsache dass in so vielen Fällen die kontinuierliche und überabzählbare Welt der Geometrie eindeutig durch die diskrete und endliche Welt der Kombinatorik beschrieben werden kann, ist faszinierend und immer wieder spannend. In der diskreten und kombinatorischen Geometrie versucht Torsten zum Einen geometrische Arrangements kombinatorisch zu beschreiben und zum Anderen kombinatorische Objekte, wie zum Beispiel Graphen, geometrisch zu realisieren. Die einfach formulierbaren Fragen in Torstens Arbeiten haben häufig schwierige Antworten bzw. entziehen sich einer Bearbeitung noch ganz. Nicht zuletzt liegt das auch daran, dass die Kombinatorik schnell mit der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Abz%C3%A4hlende_Kombinatorik">explodierenden Komplexität</a> an die Wand fährt. Am Beispiel der Landkarte: Nur für zehn (oder weniger) Länder lassen sich Ideen relativ schnell (innerhalb eines Tages auf einem gängigen Computer) kombinatorisch ausprobieren - es hier genau 1.140.916 verschiedene Landkarten. Im Allgemeinen wächst die Anzahl der Landkarten allerdings exponentiell in der Anzahl der Länder - es gibt zwischen <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$27%2C2%5En$&amp;sig=ca84578ec93b9105403069546a51b623" alt="27,2^n" title="27,2^n" style="vertical-align: middle" width="33" height="12" /> und <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$30%2C06%5En$&amp;sig=ba43ffcb363f0245a710ccb53c4cb3a2" alt="30,06^n" title="30,06^n" style="vertical-align: middle" width="40" height="12" /> viele Karten mit n Ländern. Die einzige realistische Möglichkeit geometrische Graphen zu untersuchen, bspw. in Hinblick auf ihre Färbungen oder Überdeckungen, besteht also in der rigorosen Analyse im wiederholten Wechsel zwischen Geometrie und Kombinatorik - eine Herausforderung die Kreativität und Kontinuität erfordert, aber viel Freude und Inspiration birgt. <h1>Literatur und weiterführende Informationen</h1> <ul><li> <a href="http://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-662-06756-7">Jaroslav Nesetril: Diskrete Mathematik: Eine Entdeckungsreise</a>, Springer-Lehrbuch, 2007.</li><li> <a href="http://link.springer.com/book/10.1007/978-3-658-10323-1">Martin Aigner: Graphentheorie: Eine Einführung aus dem 4-Farben Problem</a>. Springer Fachmedien Wiesbaden, 2015.</li><li> <a href="http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Koenigsb/index.htm">Michael Reeken et al: Das Königsberger Brückenproblem - Eine Handreichung für Schüler und Schülerinnen</a>, MathePrisma, 1998.</li></ul> <h1>Podcasts</h1> <ul><li> <a href="http://modellansatz.de/graphpartitionierung">C. Schulz: Graphpartitionierung</a>, Gespräch mit Gudrun Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 38, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014. <a href="http://modellansatz.de/graphpartitionierung">http://modellansatz.de/graphpartitionierung</a></li><li> <a href="http://modellansatz.de/incredible-proof-machine">J. Breitner: Incredible Proof Machine</a>, Gespräch mit S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 78, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. <a href="http://modellansatz.de/incredible-proof-machine">http://modellansatz.de/incredible-proof-machine</a></li></ul>

Modellansatz 117

Torsten Ueckerdt arbeitet seit 2012 in der Arbeitsgruppe Diskrete Mathematik an unserer Fakultät für Mathematik am Karlsruher Institut für Technologie (KIT). Er hat an der TU Berlin Mathematik studiert und promoviert. Anschließend forschte er für einige Zeit in Prag mit Jan Kratochvil. Er arbeitet unter anderem mit geometrischen Graphen. Graphen sind allgegenwärtige Modelle in vielen und sehr unterschiedlichen Anwendungen. Im jedem Fall bestehen sie aus Knoten und Kanten (zwischen den Knoten). Ein Beispiel für einen geometrischen Graphen, auf das wir im Gespräch mehrfach zurückkommen, ist die folgende Reduktion von Landkarten: Knoten stehen für die Länder und Kanten zwischen zwei Knoten symbolisieren eine gemeinsame Grenze der Länder. Damit ist der Graph eine abstrakte aber dabei auch sehr klare Fassung der nachbarschaftlichen Lage der Länder in der Landkarte. Das heißt, dass für die Darstellung im Graphen die meiste geometrische Information der Landkarte aussortiert wird. Andere Beispiele für geometrische Graphen sind Sichtbarkeitsgraphen, geometrische Vergleichbarkeits- und Schnittgraphen (z.B. Intervallgraphen), Einheitsdistanz-Graphen oder geordnete Graphen die etwa bei Schedulingproblemen eine große Rolle spielen. Wenn ein geometrisches Problem mittels eines Graphen abstrahiert wird, kann das immense Vorteile bringen. Zum Beispiel können so Resultate, Konzepte und Techniken für allgemeine Graphen verwendet werden. Auch das bloße "Vergessen" der geometrischen Einbettung kann die Argumentationen und Objekte erheblich vereinfachen. Andererseits ist das erstrebte Resultat für allgemeine Graphen eventuell gar nicht gültig. Eine wichtige Aufgabe ist es deshalb, eine gute Balance zu finden zwischen Abstraktion und wesentlicher geometrischer Information, die die Untersuchung beeinflusst. Interessant ist, dass bestimmte Eigenschaften des Graphen von der Geometrie "dahinter" diktiert werden. Sehr zugängliche Beispiele für die Nützlichkeit der Abstraktion durch Graphen sind das Königsberger Brückenproblem und das Springerproblem. Andere Fragen, die Torsten umtreiben sind das Färben (z.B. von Knoten oder Kanten) und Überdecken von Graphen. Einige Bekanntheit erlangte z.B. das Vier-Farben-Problem. Die Frage ist dabei, ob es für alle Landkarten möglich ist, die Länder mit vier unterschiedlichen Farben so einzufärben, dass Nachbarländer stets unterschiedliche Farben haben. Der Beweis dafür, dass dies eine wahre Aussage ist, ist inzwischen gelungen und hat zwei Hauptschritte. Im ersten Schritt werden die potentiell unendlich viele Fälle, die bei Landkarten auftreten können, auf endlich viele (leider noch sehr viele) zurückgeführt. Anschließend wird der Beweis durch Fallunterscheidungen für mehrere 1000 Fälle auf Computer ausgelagert. (...)

Vier Farben

<a href="http://www.math.kit.edu/grk1294/~khrabustovskyi/en">Andrii Khrabustovskyi</a> works at our faculty in the group <a href="http://www.math.kit.edu/iana2/en">Nonlinear Partial Differential Equations</a> and is a member of the <a href="http://www.waves.kit.edu/index.php">CRC Wave phenomena: analysis and numerics</a>. He was born in <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Kharkiv">Kharkiv</a> in the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ukraine">Ukraine</a> and finished his studies as well as his PhD at the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/National_University_of_Kharkiv">Kharkiv National University</a> and the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Verkin_Institute_for_Low_Temperature_Physics_and_Engineering">Institute for Low Temperature Physics and Engineering</a> of the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/National_Academy_of_Sciences_of_Ukraine">National Academy of Sciences of Ukraine</a>. He joined our faculty in 2012 as postdoc in the former <a href="http://www.math.kit.edu/grk1294/en">Research Training Group 1294</a> Analysis, Simulation and Design of Nanotechnological Processes, which was active until 2014. <a href="http://www.math.kit.edu/ianm2/~thaeter/en">Gudrun Thäter</a> talked with him about one of his research interests Asymptotic analysis and homogenization of PDEs. <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Photonic_crystal">Photonic crystals</a> are periodic dielectric media in which electromagnetic waves from certain frequency ranges cannot propagate. Mathematically speaking this is due to gaps in the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Spectrum_(functional_analysis)">spectrum</a> of the related differential operators. For that an interesting question is if there are gaps inbetween bands of the spectrum of operators related to wave propagation, especially on periodic geometries and with periodic coeffecicients in the operator. It is known that the spectrum of periodic <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Self-adjoint_operator">selfadjoint</a> operators has bandstructure. This means the spectrum is a locally finite union of compact intervals called bands. In general, the bands may overlap and the existence of gaps is therefore not guaranteed. A simple example for that is the spectrum of the Laplacian in <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$+L_2%28R%5En%29+$&amp;sig=a2fb93eeb0202890ba9416bea23bf8ea" alt=" L_2(R^n) " title=" L_2(R^n) " style="vertical-align: middle" width="41" height="14" /> which is the half axis <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$%5B0%2C+%5Cinfty%29$&amp;sig=26e308d510773b0c2f4f1579613097ca" alt="[0, \infty)" title="[0, \infty)" style="vertical-align: middle" width="34" height="15" />. The classic approach to such problems in the whole space case is the <a href="http://www.math.ubc.ca/~ward/teaching/m605/every2_floquet1.pdf">Floquet–Bloch theory</a>. Homogenization is a collection of mathematical tools which are applied to media with strongly inhomogeneous parameters or highly oscillating geometry. Roughly spoken the aim is to replace the complicated inhomogeneous by a simpler homogeneous medium with similar properties and characteristics. In our case we deal with PDEs with periodic coefficients in a periodic geometry which is considered to be infinite. In the limit of a characteristic small parameter going to zero it behaves like a corresponding homogeneous medium. To make this a bit more mathematically rigorous one can consider a sequence of operators with a small parameter (e.g. concerning cell size or material properties) and has to prove some properties in the limit as the parameter goes to zero. The optimal result is that it converges to some operator which is the right homogeneous one. If this limit operator has gaps in its spectrum then the gaps are present in the spectra of pre-limit operators (for small enough parameter). The advantages of the homogenization approach compared to the classical one with Floquet Bloch theory are: <ol><li> The knowledge of the limit operator is helpful and only available through homogenization.</li><li> For finite domains Floquet Bloch does not work well. Though we always have a discrete spectrum we might want to have the gaps in fixed position independent of the size of our domain. Here the homogenization theory works in principle also for the bounded case (it is just a bit technical).</li></ol> An interesting geometry in this context is a domain with periodically distributed holes. The question arises: what happens if the sizes of holes and the period simultaneously go to zero? The easiest operator which we can study is the Laplace operator subject to the Dirichlet boundary conditions. There are three possible regimes: <ol><li> For holes of the same order as the period (even slightly smaller) the Dirichelet conditions on the boundary of holes dominate -- the solution for the corresponding Poisson equation tends to zero. </li><li> For significantly smaller holes the influence on the holes is so small that the problem "forgets" about the influence of the holes as the parameter goes to zero.</li><li> There is a borderline case which lies between cases 1 and 2. It represents some interesting effects and can explain the occurance of so-called strange terms. </li></ol> A traditional ansatz in homogenization works with the concept of so-called slow and fast variables. The name comes from the following observation. If we consider an infinite layer in cylindrical coordinates, then the variable r measures the distance from the origin when going "along the layer", <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$%5Cphi$&amp;sig=145f6b7bd59444fca5acb1ef39cc6315" alt="\phi" title="\phi" style="vertical-align: middle" width="8" height="12" /> the angle in that plane, and z is the variable which goes into the finite direction perpendicular to that plane. When we have functions <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$y%28x%29%3Dr%5Ek+f%28z%2C%5Cphi%29$&amp;sig=aa5337da9c782f0a9d5e38d419151210" alt="y(x)=r^k f(z,\phi)" title="y(x)=r^k f(z,\phi)" style="vertical-align: middle" width="96" height="14" /> then the derivative with respect to r changes the power to <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$r%5E%7Bk-1%7D$&amp;sig=23023f7c5c77b4b42546058c94c34998" alt="r^{k-1}" title="r^{k-1}" style="vertical-align: middle" width="25" height="11" /> while the other derivatives leave that power unchanged. In the interesting case k is negative and the r-derivate makes it decreasing even faster. This leads to the name fast variable. The properties in this simple example translate as follows. For any function <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$u$&amp;sig=fff40bd7821842f7cfef9fd5d422d7bf" alt="u" title="u" style="vertical-align: middle" width="8" height="6" /> we will think of having a set of slow and fast variables (characteristic to the problem) and a small parameter eps and try to find u as <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$+u%3Du_0%28x%29+%2B+%5Cvarepsilon+u_1%28x%2Cy%29+%2B+%5Cvarepsilon%5E2+u_2%28x%2Cy%29+%2B+...+$&amp;sig=566eda15d0553e49f4d9a3bddb552861" alt=" u=u_0(x) + \varepsilon u_1(x,y) + \varepsilon^2 u_2(x,y) + ... " title=" u=u_0(x) + \varepsilon u_1(x,y) + \varepsilon^2 u_2(x,y) + ... " style="vertical-align: middle" width="230" height="14" /> where in our applications typically <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$y%3Dx%2F%5Cvarepsilon$&amp;sig=a15f1c9a4fc85e26c5ec8d6309ec80be" alt="y=x/\varepsilon" title="y=x/\varepsilon" style="vertical-align: middle" width="46" height="14" />. One can formally sort through the <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$%5Cvarepsilon$&amp;sig=0b8b89ee1b0df9b70bc3196cefc70d4c" alt="\varepsilon" title="\varepsilon" style="vertical-align: middle" width="6" height="6" />-levels using the properties of the differential operator. The really hard part then is to prove that this formal result is indeed true by finding error estimates in the right (complicated) spaces. There are many more tools available like the technique of Tartar/Murat, who use a weak formulation with special test functions depending on the small parameter. The weak point of that theory is that we first have to know the resulat as the parameter goes to zero before we can to construct the test function. Also the concept of <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/%CE%93-convergence">Gamma convergence</a> or the <a href="https://www.emis.de/journals/PM/63f4/pm63f408.pdf">unfolding trick</a> of <a href="https://www.ljll.math.upmc.fr/membres/fiches/cioranescu.html">Cioranescu</a> are helpful. An interesting and new application to the mathematical results is the construction of wave guides. The corresponding domain in which we place a waveguide is bounded in two directions and unbounded in one (e.g. an unbounded cylinder). <a href="http://www.ipme.ru/ipme/labs/mmmm/nazarov.htm">Serguei Nazarov</a> proposed to make holes in order to make gaps into the line of the spectrum for a specified wave guide. Andrii Khrabustovskyi suggests to distribute finitely many traps, which do not influence the essential spectrum but add eigenvalues. One interesting effect is that in this way one can find terms which are nonlocal in time or space and thus stand for memory effects of the material. <h1>References</h1> <ul><li> <a href="http://arxiv.org/abs/1405.1367.pdf">P. Exner and A. Khrabustovskyi: On the spectrum of narrow Neumann waveguide with periodically distributed δ′ traps</a>, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 48 (31) (2015), 315301.</li><li> <a href="http://arxiv.org/abs/1308.4091.pdf">A. Khrabustovskyi: Opening up and control of spectral gaps of the Laplacian in periodic domains</a>, Journal of Mathematical Physics, 55 (12) (2014), 121502.</li><li> <a href="http://arxiv.org/abs/1201.3729.pdf">A. Khrabustovskyi: Periodic elliptic operators with asymptotically preassigned spectrum</a>, Asymptotic Analysis, 82 (1-2) (2013), 1-37.</li><li> <a href="http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1631072102000050">S.A. Nazarov, G. Thäter: Asymptotics at infinity of solutions to the Neumann problem in a sieve-type layer</a>, Comptes Rendus Mecanique 331(1) (2003) 85-90.</li><li> S.A. Nazarov: Asymptotic Theory of Thin Plates and Rods: Vol.1. Dimension Reduction and Integral Estimates. Nauchnaya Kniga: Novosibirsk, 2002.</li></ul>

Modellansatz 116

Andrii Khrabustovskyi works at our faculty in the group Nonlinear Partial Differential Equations and is a member of the CRC Wave phenomena: analysis and numerics. He was born in Kharkiv in the Ukraine and finished his studies as well as his PhD at the Kharkiv National University and the Institute for Low Temperature Physics and Engineering of the National Academy of Sciences of Ukraine. He joined our faculty in 2012 as postdoc in the former Research Training Group 1294 Analysis, Simulation and Design of Nanotechnological Processes, which was active until 2014. Gudrun Thäter talked with him about one of his research interests Asymptotic analysis and homogenization of PDEs. Photonic crystals are periodic dielectric media in which electromagnetic waves from certain frequency ranges cannot propagate. Mathematically speaking this is due to gaps in the spectrum of the related differential operators. For that an interesting question is if there are gaps inbetween bands of the spectrum of operators related to wave propagation, especially on periodic geometries and with periodic coeffecicients in the operator. It is known that the spectrum of periodic selfadjoint operators has bandstructure. This means the spectrum is a locally finite union of compact intervals called bands. In general, the bands may overlap and the existence of gaps is therefore not guaranteed. A simple example for that is the spectrum of the Laplacian in  L_2(R^n)  which is the half axis [0, \infty).  The classic approach to such problems in the whole space case is the Floquet–Bloch theory. Homogenization is a collection of mathematical tools which are applied to media with strongly inhomogeneous parameters or highly oscillating geometry. Roughly spoken the aim is to replace the complicated inhomogeneous by a simpler homogeneous medium with similar properties and characteristics. In our case we deal with PDEs with periodic coefficients in a periodic geometry which is considered to be infinite. In the limit of a characteristic small parameter going to zero it behaves like a corresponding homogeneous medium. To make this a bit more mathematically rigorous one can consider a sequence of operators with a small parameter (e.g. concerning cell size or material properties) and has to prove some properties in the limit as the parameter goes to zero. The optimal result is that it converges to some operator which is the right homogeneous one. If this limit operator has gaps in its spectrum then the gaps are present in the spectra of pre-limit operators (for small enough parameter). The advantages of the homogenization approach compared to the classical one with Floquet Bloch theory are: 1. The knowledge of the limit operator is helpful and only available through homogenization. 2. For finite domains Floquet Bloch does not work well. Though we always have a discrete spectrum we might want to have the gaps in fixed position independent of the size of our domain. (...)

Homogenization

<a href="http://www.math.kit.edu/ianm2/~henn/">Thomas Henn</a> hat im Oktober 2016 seine Promotion zum Thema Computersimulation von Partikelströmungen abgeschlossen. Partikelströmungen treten in zahlreichen natürlichen sowie künstlichen Vorgängen auf, beispielsweise als Transport von <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Feinstaub">Feinstaub</a> in den <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Atemtrakt">menschlichen Atemwegen</a>, als Bildung von <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Sedimentation">Sediment</a> in Flüssen oder als Feststoff–Fluid Gemisch bei <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Filtration_(Trennverfahren)">Filtrationen</a>. Simulationen von Partikelströmungen kommen zum Einsatz, wenn physische Untersuchungen nicht möglich sind. Darüber hinaus können sie Kosten experimenteller Studien verringern. Häufig ist das der Fall, wenn es um medizinische Anwendungen geht. Wenn man beispielsweise aus <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Computertomographie">CT-Aufnahmen</a> die genaue Geometrie des <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Nasenh%C3%B6hle">Naseninnenraum</a>s eines Patienten kennt, kann durch Simulation in dieser spezifischen Geometrie ermittelt werden, wo sich Partikel welcher Größe ablagern. Das ist in zwei Richtungen interessant: Erstens zur Vermeidung von Gesundheitsbelastungen durch Einlagerung von Partikeln in der Lunge (dort landen alle Partikel, die die Nase nicht filtern kann) aber zweitens auch bei der bestmöglichen Verabreichung von Medikamenten mittels Zerstäubung in die Nasenhöhle. Es hat sich gezeigt, dass die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Numerische_Str%C3%B6mungsmechanik">Simulation von Strömungen</a> mit einer großen Zahl an beliebig geformten Partikeln den herkömmlichen numerischen Methoden insbesondere bei der Parallelisierung Probleme bereitet. Deshalb wird die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Lattice-Boltzmann-Methode">Lattice Boltzmann Methode</a> (LBM) als neues Verfahren zur numerischen Simulation von Strömungen auf Partikelströmungen angewendet. Sie hat außerdem den Vorteil, dass komplexe Geometrien wie z.B. ein Naseninnenraum keine extra zu bewältigende Schwierigkeit darstellen. Die zentrale Idee für die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Parallele_Programmierung">effektive Parallelisierung</a> unter LBM ist eine Gebietszerlegung: Die durchströmte Geometrie wird in Zellen aufgeteilt und diese Zellen gerecht auf die zur Verfügung stehenden Prozessoren verteilt. Da die Rechnungen für die Strömungsrechnung mit LBM im wesentlichen lokal sind (es werden nur die Informationen einer Zelle und der direkten Nachbarzellen benötigt), ist das extrem effektiv. Wenn nun neben der Strömung auch noch die Bewegung der Partikel berechnet werden soll, müssen natürlich <ol><li> physikalische Bewegungsmodelle gefunden werden, die für die jeweilige <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Partikelgr%C3%B6%C3%9Fenverteilung">Partikelgröße</a> und -form passen,</li><li> daraus Gleichungen und deren <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Diskretisierung">Diskretisierung</a> abgeleitet werden</li><li> in der Implementierung die Vorteile der LBM bei der Parallelisierung möglichst nicht zerstört werden.</li></ol> Offensichtlich ist es am besten, wenn die Partikel möglichst gleichmäßig über die durchströmte Geometrie verteilt sind. Aber das kann man sich ja nicht immer so aussuchen. Je nach Größe und Dichte der Partikel wird es wichtig, neben der Wirkung des Fluids auf die Partikel auch <ol><li> Rückwirkung des Partikels auf die Strömung,</li><li> Wechselwirkung der Partikel untereinander (z.B. auch herausfinden, wann sich Partikel berühren)</li><li> Wechselwirkung der Partikel mit dem Rand der Geometrie</li></ol>zu betrachten. Als sehr hilfreich hat sich eine ganz neue Idee herausgestellt: Partikelströmungen als bewegtes poröses Medium zu modellieren. D.h. für große Partikel stellt man sich vor, sie haben einen festen Kern und außen einen glatten Übergang in der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Porosit%C3%A4t">Porösität</a> zur reinen <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Fluid">Fluidphase</a>. Es zeigt sich, dass man dann sogar auf ein Modell verzichten kann, das die Kontakte der Partikel modelliert, weil sich die Partikel so natürlich in der Strömung bewegen, wie man es auch im Experiment beobachtet. Alle Berechnungen müssen <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Validit%C3%A4t">validiert</a> werden, auch wenn manchmal nicht ganz klar ist, wie das erfolgen kann. Zum Glück ist hier aber die enge Zusammenarbeit mit der <a href="https://www.mvm.kit.edu/profil_vm.php">Verfahrenstechnik</a> am KIT eine große Hilfe, die die Computersimulationswerkzeuge auch für ihre Projekte nutzen und weiter entwickeln. <h1>Literatur und weiterführende Informationen</h1> <ul><li> <a href="http://modellansatz.de/filters">L.L.X. Augusto: Filters</a>, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 112, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. <a href="http://modellansatz.de/filters">http://modellansatz.de/filters</a> </li><li> <a href="http://optilb.org/openlb/">OpenLB</a> Open source Lattice Boltzmann Code </li><li> <a href="https://publikationen.bibliothek.kit.edu/1000052140">F. Bülow: Numerical simulation of destabilizing heterogeneous suspensions at vanishing Reynolds numbers</a>. Karlsruhe, 2015.</li><li> T. Henn et al.: Particle Flow Simulations with Homogenised Lattice Boltzmann Methods. To appear in <a href="http://www.sciencedirect.com/science/journal/16742001">Particuology</a>.</li><li> F. Klemens: Simulation of Fluid-Particle Dynamics with a Porous Media Lattice Boltzmann Method, MA thesis. Karlsruher Institut für Technologie, 2016.</li><li> <a href="http://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/6018">E. E. Michaelides: Particles, Bubbles &amp; Drops: Their Motion, Heat and Mass Transfer</a>, World Scientific Publishing Company Incorporated, 2006.</li><li> <a href="http://modellansatz.de/aorta-challenge">T.Henn: Aorta Challenge</a>, Gespräch mit S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 2, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2013. <a href="http://modellansatz.de/aorta-challenge">http://modellansatz.de/aorta-challenge</a></li></ul>

Modellansatz 115

Thomas Henn hat im Oktober 2016 seine Promotion zum Thema Computersimulation von Partikelströmungen abgeschlossen. Partikelströmungen treten in zahlreichen natürlichen sowie künstlichen Vorgängen auf, beispielsweise als Transport von Feinstaub in den menschlichen Atemwegen, als Bildung von Sediment in Flüssen oder als Feststoff–Fluid Gemisch bei Filtrationen. Simulationen von Partikelströmungen kommen zum Einsatz, wenn physische Untersuchungen nicht möglich sind. Darüber hinaus können sie Kosten experimenteller Studien verringern. Häufig ist das der Fall, wenn es um medizinische Anwendungen geht. Wenn man beispielsweise aus CT-Aufnahmen die genaue Geometrie des Naseninnenraums eines Patienten kennt, kann durch Simulation in dieser spezifischen Geometrie ermittelt werden, wo sich Partikel welcher Größe ablagern. Das ist in zwei Richtungen interessant: Erstens zur Vermeidung von Gesundheitsbelastungen durch Einlagerung von Partikeln in der Lunge (dort landen alle Partikel, die die Nase nicht filtern kann) aber zweitens auch bei der bestmöglichen Verabreichung von Medikamenten mittels Zerstäubung in die Nasenhöhle. Es hat sich gezeigt, dass die Simulation von Strömungen mit einer großen Zahl an beliebig geformten Partikeln den herkömmlichen numerischen Methoden insbesondere bei der Parallelisierung Probleme bereitet. Deshalb wird die Lattice Boltzmann Methode (LBM) als neues Verfahren zur numerischen Simulation von Strömungen auf Partikelströmungen angewendet. Sie hat außerdem den Vorteil, dass komplexe Geometrien wie z.B. ein Naseninnenraum keine extra zu bewältigende Schwierigkeit darstellen. Die zentrale Idee für die effektive Parallelisierung unter LBM ist eine Gebietszerlegung: Die durchströmte Geometrie wird in Zellen aufgeteilt und diese Zellen gerecht auf die zur Verfügung stehenden Prozessoren verteilt. Da die Rechnungen für die Strömungsrechnung mit LBM im wesentlichen lokal sind (es werden nur die Informationen einer Zelle und der direkten Nachbarzellen benötigt), ist das extrem effektiv. Wenn nun neben der Strömung auch noch die Bewegung der Partikel berechnet werden soll, müssen natürlich 1. physikalische Bewegungsmodelle gefunden werden, die für die jeweilige Partikelgröße und -form passen, 2. daraus Gleichungen und deren Diskretisierung abgeleitet werden 3. in der Implementierung die Vorteile der LBM bei der Parallelisierung möglichst nicht zerstört werden. Offensichtlich ist es am besten, wenn die Partikel möglichst gleichmäßig über die durchströmte Geometrie verteilt sind. Aber das kann man sich ja nicht immer so aussuchen. Je nach Größe und Dichte der Partikel wird es wichtig, neben der Wirkung des Fluids auf die Partikel auch 1. Rückwirkung des Partikels auf die Strömung, 2. Wechselwirkung der Partikel untereinander (z.B. auch herausfinden, wann sich Partikel berühren) 3. Wechselwirkung der Partikel mit dem Rand der Geometrie zu betrachten. (...)

Partikelströmungen

Helen hat am <a href="http://www.kit.edu">Karlsruher Institut für Technologie (KIT)</a> ihren <a href="http://www.math.kit.edu/lehre/seite/bachelor-math/">Bachelor in Mathematik</a> abgeschlossen. Als Bachelorarbeit hatte sie sich das Thema Schaukeln gewählt unter der Betreuung von <a href="http://www.math.kit.edu/ianm4/~thaeter/seite/abschlussarbeiten/#Bachelorarbeiten">Gudrun Thäter</a>. Es geht darin um Modelle, die tatsächlich die Schaukel vom Spielplatz untersuchen. Die zentrale Frage, die durch die Modelle und daraus abgeleitete Simulationen beantwortet werden soll ist: Wie funktioniert das Schwung geben beim schaukeln? Eine grundlegende Idee (die Helen aus der Literatur entnommen hat) ist es, die Schaukel als <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Mathematisches_Pendel">Fadenpendel</a> mit veränderlicher Fadenlänge anzusehen. Das liegt daran, dass das Schwung geben sich vor allem durch die Veränderung der Lage des Schwerpunkts erklärt, die dann im Modell als veränderliche Pendellänge eingeht. Fadenlänge als Funktion in der Zeit erwies sich als nicht praktikabel deshalb ist sie in Helens Modell nun eine Funktion von der Winkelauslenkung. Das führt auf eine Differentialgleichung zweiter Ordnung für die Variable der Auslenkung. Reibungsverluste der Schaukel werden auf herkömmliche Art integriert und als proportional zur Geschwindigkeit des Massepunktes angenommen. Um realistische Parameter für Rechnungen zu gewinnen, konnten wir leider keine Experimente mit schaukelnden Kindern durchführen, sondern haben uns auf Computer-Simulation für unterschiedliche Konstellationen verlassen und Parameter für die realistisch erscheinenden Szenarien daraus entnommen. In der Arbeit enthalten sind nun neben dem theoretischen Modell auch unterschiedliche Fälle mit verschiedenen Seillängen und Personengrößen durchgerechnet und graphisch dargestellt. Zwei Ergebnisse, die man daraus ablesen kann sind, dass kürzere Schaukeln es einem leichter machen, sich aufzuschaukeln und große Leute einen Vorteil haben, weil sie ihren Schwerpunkt über eine größere Strecke verschieben können. Schließlich war es entscheidend für den Erfolg der Arbeit, sich an der <a href="https://www.iai.kit.edu/Ansprechpersonen_1478.php">richtigen Stelle Rat</a> zu suchen. <h1>Literatur und weiterführende Informationen</h1> <ul><li> <a href="https://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/Splitter/PhysikDesAufschaukelns/">Physik des Aufschaukelns</a></li><li> <a href="http://www.home.hs-karlsruhe.de/~kero0001/Schaukel/Mama_Schaukel2.pdf">Anschubsen</a></li><li> <a href="http://link.springer.com/book/10.1007/978-3-8348-2575-9">K. Magnus: Schwingungen</a>, Teubner 1976.</li></ul>

Modellansatz 114

Helen hat am Karlsruher Institut für Technologie (KIT) ihren Bachelor in Mathematik abgeschlossen. Als Bachelorarbeit hatte sie sich das Thema Schaukeln gewählt unter der Betreuung von Gudrun Thäter. Es geht darin um Modelle, die tatsächlich die Schaukel vom Spielplatz untersuchen. Die zentrale Frage, die durch die Modelle und daraus abgeleitete Simulationen beantwortet werden soll ist: Wie funktioniert das Schwung geben beim schaukeln? Eine grundlegende Idee (die Helen aus der Literatur entnommen hat) ist es, die Schaukel als Fadenpendel mit veränderlicher Fadenlänge anzusehen. Das liegt daran, dass das Schwung geben sich vor allem durch die Veränderung der Lage des Schwerpunkts erklärt, die dann im Modell als veränderliche Pendellänge eingeht. Fadenlänge als Funktion in der Zeit erwies sich als nicht praktikabel deshalb ist sie in Helens Modell nun eine Funktion von der Winkelauslenkung. Das führt auf eine Differentialgleichung zweiter Ordnung für die Variable der Auslenkung. Reibungsverluste der Schaukel werden auf herkömmliche Art integriert und als proportional zur Geschwindigkeit des Massepunktes angenommen. Um realistische Parameter für Rechnungen zu gewinnen, konnten wir leider keine Experimente mit schaukelnden Kindern durchführen, sondern haben uns auf Computer-Simulation für unterschiedliche Konstellationen verlassen und Parameter für die realistisch erscheinenden Szenarien daraus entnommen. In der Arbeit enthalten sind nun neben dem theoretischen Modell auch unterschiedliche Fälle mit verschiedenen Seillängen und Personengrößen durchgerechnet und graphisch dargestellt. Zwei Ergebnisse, die man daraus ablesen kann sind, dass kürzere Schaukeln es einem leichter machen, sich aufzuschaukeln und große Leute einen Vorteil haben, weil sie ihren Schwerpunkt über eine größere Strecke verschieben können. Schließlich war es entscheidend für den Erfolg der Arbeit, sich an der richtigen Stelle Rat zu suchen.

Schaukeln

Strömungen beobachten wir fast jeden Tag. Die Meeresbrandung fasziniert uns und eine gut funktionierende Klimaanlage ist ein wunderbarer Luxus, egal ob sie wärmt oder kühlt. Strömungen zu beherrschen ist aber auch in vielen <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Verfahrenstechnik">verfahrenstechnischen Zusammenhängen</a> wichtig. Insofern haben Gleichungen, die Strömungen beschreiben, eine große praktische Relevanz und gleichzeitig eine fast emotionale Anziehungskraft. Das einfachste mathematische Modell, das auch für viele Computersimulationen genutzt wird, sind die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Inkompressibles_Fluid">inkompressiblen</a> <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Navier-Stokes-Gleichungen">Navier-Stokes Gleichungen</a> (INS). Hier ist die strömende Substanz dem Wasser ähnlich genug, dass nur in der Materialkonstante <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Viskosit%C3%A4t">Viskosität</a> verschiedene Fließfähigkeiten unterschieden werden. Als Lösungen des Systems von partiellen Differentialgleichungen suchen wir das Geschwindigkeitsfeld und den Druck als Funktionen von Raum und Zeit . Im 3d-Fall ist das ein System von vier Gleichungen. Drei davon sind eine Vektorgleichung, die aus der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Impulserhaltungssatz">Impulserhaltung</a> abgeleitet wird und die vierte ist die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Massenerhaltungssatz">Erhaltung der Masse</a>. Im inkompressiblen Fall vereinfacht sich diese aus die Forderung, dass die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Divergenz_eines_Vektorfeldes">Divergenz</a> des Geschwindigkeitsfeldes verschwindet. Die komplexer aussehende Gleichung ist die Vektorgleichung, weil hier die zweiten räumlichen Ableitungen des Geschwindigkeitsfeldes, der Druckgradient, die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit und ein nichtlinearer Term vorkommen. Die Gleichungen müssen im Strömungsgebiet gelten. Die Lösungen müssen sich aus dem Anfangszustand entwickeln (Anfangsbedingung) und am räumlichen Rand vorgeschriebenen Werten, den Randwerten (meist fordert man, dass die Geschwindigkeit Null ist) genügen. Dieses Modell ist in einem längeren Prozess entwickelt worden. Ein großer Durchbruch bei der mathematischen Analyse gelang dem französischen Mathematiker <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Jean_Leray">Leray</a> im Jahr 1934. Er hatte die geniale Idee, sich von dem Wunsch zu verabschieden, für diese komplizierte Gleichung eine punktweise zutreffende Lösung zu konstruieren. Statt dessen verallgemeinerte er den Lösungsbegriff und führte den Begriff der schwachen Lösung ein. Diese erfüllt die Gleichung nur im Sinne eines ausgeklügelten Systems von unendlich vielen Integralgleichungen. Er zeigte mit Hilfe von abstrakten Argumenten, dass die INS immer solche schwachen Lösungen haben. Heute ist bekannt, dass <ul><li> falls eine punktweise Lösung existiert (sogenannte starke Lösung), diese eindeutig ist (also insbesondere mit der schwachen übereinstimmt),</li><li> es in 2d immer eine punktweise Lösung gibt, die für alle Zeiten existiert (unter geringfügigen Bedingungen an den Rand), und</li><li> es unter Kleinheitsbedingungen an die Daten und bei glattem geometrischen Rand des Gebietes auch in 3d punktweise Lösungen gibt.</li></ul>Wir wissen jedoch in 3d nicht, ob die gefundenen schwache Lösung regulär bzw. stark ist (d.h. eine punktweise Lösung ist.) In Vorbereitung auf den Jahrtausendwechsel gab es in der Mathematik die Bestrebung, so wie dies 100 Jahre zuvor von Hilbert geschehen war, die wichtigsten mathematischen Problemstellungen in den Fokus zu nehmen. Das Ergebnis waren sieben sogenannte <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Millennium-Probleme">Milleniumsprobleme</a> der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Clay_Mathematics_Institute">Clay Foundation</a>, für deren Lösung jeweils ein Preisgeld von einer Millionen Dollar ausgelobt wurde. Eines dieser für so wichtig angesehenen Probleme ist die offene Frage der Regularität der schwachen Lösungen der INS. Woran liegt das? Eine Eigenschaft der INS, die sie schwierig macht, ist ihre Nichtlinearität. Sie ist nur quadratisch und hat eine besondere Struktur. Diese Struktur verdanken wir es z.B., dass die schwache Theorie erfolgreich ist. Es besteht Hoffnung, dass wir auch die Lücke zur starken Theorie unter Ausnutzung der Struktur schließen können. Der Standardweg im linearen Fall (z.B. beim Laplace-Problem) ist es, für die schwachen Lösungen mit einem Münchhausen-Prinzip (<a href="http://math.stackexchange.com/questions/456140/what-is-elliptic-bootstrapping">Elliptic Bootstrapping</a>) Stück für Stück mehr Regularität zu zeigen. Man kann so zeigen, dass die Lösung immer so gut ist, wie die es Daten erlauben. Man nennt das maximale Regularität. Leider ist für die INS das Wachstum in der Nichtlinearität zu schnell, um im 3d-Fall mit diesen Standardmethoden zu argumentieren (im 2d Fall geht es aber). Im 3d-Fall geht es aber unter bestimmten Zusatzbedingungen, z.B. einer höheren Integrierbarkeit des Geschwindigkeitsfeldes als die schwachen Lösungen von vornherein haben. Man fand dies über Skalierungs-Eigenschaften der Gleichung heraus. Grob gesagt, muss man fordern dass die Lösung zu einem Raum gehört, der Skalierungsinvariant ist. Eine weitere zusätzliche Forderung ist die Gültigkeit der Energiegleichung (Erhaltung der kinetischen Energie), denn leider weiß man bisher von schwachen Lösungen nur, dass sie eine Energieungleichung erfüllen. Eine zweite Schwierigkeit der INS ist der Zusammenhang zwischen Druck und Divergenzgleichung. Ein Trick der schwachen Theorie ist, dass wir uns von Anfang an auf Funktionen beschränken, die schwach divergenzfrei sind (also die Gleichung <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$+%5Cmathrm%7Bdiv%7D%5C%2C+v%3D0+$&amp;sig=79739afa16179038ad2bfce592c2069d" alt=" \mathrm{div}\, v=0 " title=" \mathrm{div}\, v=0 " style="vertical-align: middle" width="54" height="11" /> in Integralmittel erfüllen. Was in der Theorie sehr gut funktioniert, ist blöd für die Numerik, weil man Divergenzfreiheit immer wieder herstellen muss wegen der Rechenfehler im Prozess. Unter den Forschern gibt es zwei Richtungen: Entweder man sucht nach Blow-up Lösungen, also schwachen Lösungen, die keine punktweisen Lösungen sein können, oder man versucht die Zusatzforderungen aufzuweichen (um sie am Ende ganz weglassen zu können). Dabei gibt es ständig kleine Fortschritte. Es gibt auch zwei Wege, für allgemeinere Modelle Theorien zu entwickeln, die dann im Spezialfall auch etwas über INS sagen. Ein durch <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Olga_Ladyzhenskaya">O.A. Ladyzenskaya</a> vorgeschlagener Zugang geht über den <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/P-Laplacian">p-Laplace-Operator</a>. Hier findet man starke Lösungen für alle p&gt;2,5, die INS ist jedoch der Fall p=2. Als Materialgesetz interessant für Ingenieure ist aber der noch schwierigere Fall 1&lt;p&lt;2. Der zweite Weg sind kompressible Modelle zu nutzen, um Inkompressibilität durch eine Folge immer weniger kompressibler Modelle zu approximieren. Das ist aber sehr schwierig, denn die Skalierungszusammenhänge sind nicht klar und die kompressiblen Modelle sind in der Gültigkeit schwer zu verifizieren. Z.B. lassen sie in der Regel eine Dichte von Null zu, was physikalisch nicht sinnvoll ist. <a href="https://www.uni-koblenz-landau.de/de/koblenz/fb3/mathe/ueber-uns/mitglieder/wisMitarbeiterSammelordner/steinhauer">Mark Steinhauer</a> entdeckte die INS in seiner Studienzeit durch eine Vorlesung von <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Jens_Frehse">Jens Frehse</a> in Bonn. Es gab eine sehr enge Zusammenarbeit mit Schülern von <a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Jind%C5%99ich_Ne%C4%8Das">Jindřich Nečas</a> (von der Karlsuni in Prag) z.B. mit <a href="https://aam.uni-freiburg.de/agru/index.html">Michael Růžička</a> und <a href="http://www.karlin.mff.cuni.cz/~malek/new/index.php?title=Josef_M%C3%A1lek">Josef Málek</a> (und inzwischen deren Schüler). Er promovierte in Bonn und arbeitet heute als Dozent für Mathematik vor allem mit zukünftigen Lehrpersonen an der <a href="https://www.uni-koblenz-landau.de/de/uni/profil/ueber-uns">Uni in Koblenz</a>. <h1>Literatur und weiterführende Informationen</h1> <ul><li> <a href="http://scholar.google.de/scholar?cluster=2535465300213127504">Ladyzhenskaya, O. A. (1969) [1963</a>, The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flow], Mathematics and Its Applications, 2 (Revised Second ed.), New York–London–Paris: Gordon and Breach</li><li> <a href="http://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-4317-3">Ladyzhenskaya, O. A. (1985), The Boundary Value Problems of Mathematical Physics</a>, Applied Mathematical Sciences, 49, Berlin–Heidelberg–New York: Springer Verlag</li><li> <a href="http://link.springer.com/article/10.1007/BF02547354">Leray: Sur le mouvement d´un liquide visqueux emplissant l´espace</a>, Acta Mathematica, Band 63, 1934, S. 193–248</li><li> <a href="https://www.crcpress.com/Weak-and-Measure-Valued-Solutions-to-Evolutionary-PDEs/Necas-Malek-Rokyta-Ruzicka/p/book/9780412577505">Málek, J., Nečas, J., Rokyta, M.,Růžička, M.: Weak and measure–valued solutions to evolutionary PDE’s</a>, Series: Applied Mathematics and Mathematical Computation 13, Chapman and Hall (CRC Press), 1996. </li><li> <a href="http://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/S0036141002410988">Frehse, J., Málek, J., Steinhauer, M.: On analysis of steady flows of fluids with shear dependent viscosity based on the Lipschitz truncation method</a>, SIAM J. Math. Anal. 34 (No.5) (2003), 1064–1083. </li><li> <a href="http://www.ams.org/books/chel/343/">Temam, R. (2001), Navier–Stokes Equations, Theory and Numerical Analysis</a>, AMS Chelsea, pp. 107–112</li></ul>

Modellansatz 113

Strömungen beobachten wir fast jeden Tag. Die Meeresbrandung fasziniert uns und eine gut funktionierende Klimaanlage ist ein wunderbarer Luxus, egal ob sie wärmt oder kühlt. Strömungen zu beherrschen ist aber auch in vielen verfahrenstechnischen Zusammenhängen wichtig. Insofern haben Gleichungen, die Strömungen beschreiben, eine große praktische Relevanz und gleichzeitig eine fast emotionale Anziehungskraft. Das einfachste mathematische Modell, das auch für viele Computersimulationen genutzt wird, sind die inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen (INS). Hier ist die strömende Substanz dem Wasser ähnlich genug, dass nur in der Materialkonstante Viskosität verschiedene Fließfähigkeiten unterschieden werden. Als Lösungen des Systems von partiellen Differentialgleichungen suchen wir das Geschwindigkeitsfeld und den Druck als Funktionen von Raum und Zeit . Im 3d-Fall ist das ein System von vier Gleichungen. Drei davon sind eine Vektorgleichung, die aus der Impulserhaltung abgeleitet wird und die vierte ist die Erhaltung der Masse. Im inkompressiblen Fall vereinfacht sich diese aus die Forderung, dass die Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes verschwindet. Die komplexer aussehende Gleichung ist die Vektorgleichung, weil hier die zweiten räumlichen Ableitungen des Geschwindigkeitsfeldes, der Druckgradient, die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit und ein nichtlinearer Term vorkommen. Die Gleichungen müssen im Strömungsgebiet gelten. Die Lösungen müssen sich aus dem Anfangszustand entwickeln (Anfangsbedingung) und am räumlichen Rand vorgeschriebenen Werten, den Randwerten (meist fordert man, dass die Geschwindigkeit Null ist) genügen. Dieses Modell ist in einem längeren Prozess entwickelt worden. Ein großer Durchbruch bei der mathematischen Analyse gelang dem französischen Mathematiker Leray im Jahr 1934. Er hatte die geniale Idee, sich von dem Wunsch zu verabschieden, für diese komplizierte Gleichung eine punktweise zutreffende Lösung zu konstruieren. Statt dessen verallgemeinerte er den Lösungsbegriff und führte den Begriff der schwachen Lösung ein. Diese erfüllt die Gleichung nur im Sinne eines ausgeklügelten Systems von unendlich vielen Integralgleichungen. Er zeigte mit Hilfe von abstrakten Argumenten, dass die INS immer solche schwachen Lösungen haben. Heute ist bekannt, dass falls eine punktweise Lösung existiert (sogenannte starke Lösung), diese eindeutig ist (also insbesondere mit der schwachen übereinstimmt), es in 2d immer eine punktweise Lösung gibt, die für alle Zeiten existiert (unter geringfügigen Bedingungen an den Rand), und es unter Kleinheitsbedingungen an die Daten und bei glattem geometrischen Rand des Gebietes auch in 3d punktweise Lösungen gibt. Wir wissen jedoch in 3d nicht, ob die gefundenen schwache Lösung regulär bzw. stark ist (d.h. eine punktweise Lösung ist.) (...)

Reguläre Strömungen

Bei genauem Hinsehen finden wir die Naturwissenschaft und besonders Mathematik überall in unserem Leben, vom Wasserhahn über die automatischen Temporegelungen an Autobahnen, in der Medizintechnik bis hin zum Mobiltelefon. Woran die Forscher, Absolventen und Lehrenden in Karlsruhe gerade tüfteln, erfahren wir hier aus erster Hand.

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