Einen fahrbaren Roboter zu bauen- das ist schon eine echte Herausforderung. Um diesem aber auch noch beizubringen autonom Aufgaben zu lösen, bedienten sich <a href="http://www.michaelfuerst.de/">Michael Fürst</a> und sein Team der Mathematik: Im Rahmen der <a href="https://entropia.de/GPN16">Gulasch Programmier-Nacht (GPN16)</a> des <a href="https://entropia.de/">Entropia e.V.</a> in der <a href="https://www.hfg-karlsruhe.de/">Hochschule für Gestaltung (HfG)</a> und dem <a href="http://zkm.de/">Zentrum für Kunst und Medien (ZKM)</a> in Karlsruhe berichtete er über die <a href="https://media.ccc.de/v/gpn16-7621-probabilistische_robotik">Verfahren der Probabilistischen Robotik (Video)</a> und welche Erfahrungen sie damit machen konnten- und erzählt uns im Gespräch mit <a href="http://www.math.kit.edu/ianm4/~ritterbusch/de">Sebastian Ritterbusch</a> davon. Michael Fürst studiert <a href="https://www.informatik.kit.edu/">Informatik</a> am <a href="http://www.kit.edu/">Karlsruher Institut für Technologie (KIT)</a> und befasst sich im <a href="http://wordpress.kamaro-engineering.de/teams/informatik-2/">Team Informatik</a> der <a href="http://wordpress.kamaro-engineering.de/">Hochschulgruppe Kamaro Engineering</a> speziell mit <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Robustheit">robusten</a> <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Probabilistische_Aussage">probabilistischen Methoden</a> zur <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Entscheidungsverfahren">Entscheidungsfindung</a>. Der aktuelle Roboter <a href="http://wordpress.kamaro-engineering.de/beteigeuze/">Beteigeuze</a> der Hochschulgruppe ist die zweite Generation und wurde dafür ausgelegt, Aufgaben in der Überwachung und Bewirtschaftung von Maisfeldern oder der Navigation im urbanen Umfeld zu erfüllen. Die Hochschulgruppe gibt es seit 3 Jahren und besteht aus 30-45 Mitgliedern. Sie ist eingebettet in das <a href="https://www.fast.kit.edu/mobima/">Teilinstitut Mobile Arbeitsmaschinen (MOBIMA)</a> am <a href="https://www.fast.kit.edu/fast/">Institut für Fahrzeugsystemtechnik (FAST)</a> am KIT mit dessen Unterstützung und <a href="http://wordpress.kamaro-engineering.de/foerderer/">Drittspenden</a> sich die Hochschulgruppe finanziert. Die interdisziplinäre Hochschulgruppe besteht aus vier Teams: Das <a href="http://wordpress.kamaro-engineering.de/teams/organisation-2/">Organisationsteam</a>, das <a href="http://wordpress.kamaro-engineering.de/teams/mechanik/">Mechanik-Team</a>, das <a href="http://wordpress.kamaro-engineering.de/teams/elektrotechnik-2/">Elektrotechnik-Team</a> und das <a href="http://wordpress.kamaro-engineering.de/teams/informatik-2/">Informatik-Team</a>. Die Gruppe organisiert sich auch als Verein mit Vorstand und einer Leitung in jedem Team, um mit einer flachen Hierarchie jedem die Möglichkeit zu bieten sich in das Projekt einzubringen. Auf der einen Seite will die Gruppe die autonome Robotik voranzubringen und allen Teammitgliedern gleichzeitig auch die Möglichkeit zu bieten, praktisches Wissen und Erfahrungen neben dem oft theoretischem Studium zu erlangen. Das Team nimmt dazu regelmäßig an verschiedenen internationalen Wettbewerben teil, wie dem <a href="http://www.fieldrobot.com/event/">Field Robot Event</a>, dem <a href="https://www.sick.com/de/de/robotday-2016/w/robotday2016/">SICK Robot Day</a> oder der <a href="http://robotika.cz/competitions/robotour/2015/en">Robotour</a>. Technisch basiert die Software-Lösung des Roboters inzwischen auf dem <a href="http://www.ros.org/">Robot Operating System (ROS)</a>, mit dem auf einer <a href="http://www.ubuntu.com/">Ubuntu-Plattform</a> auf einem im Roboter eingebauten Computer in <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Java_%28Programmiersprache%29">Java</a>, <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Python_%28Programmiersprache%29">Python</a> oder <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/C%2B%2B">C++</a> die gestellten Aufgaben bearbeitet werden. Mit 40kg Gewicht ist der Roboter für seine Größe kein Leichtgewicht und kann daher nicht beliebig Batterien transportieren, so dass dem Lademanagement eine besondere Rolle zufällt. Die gewählte Größe ermöglicht gerade bei der Feldarbeit einen <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Nichtinvasiv">nicht-invasiven Ansatz</a>, der im Vergleich zu anderen Varianten, wie der automatischen Steuerung von <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Traktor">Traktoren</a>, die Pflanzen nicht schädigt. Der Roboter erfasst seine Umwelt mit einer Vielzahl von Sensoren: Die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Lidar">Lidar-Sensor</a>en zur Entfernungsmessung in verschiedenen Richtungen sind dabei besonders wichtig, und sie messen bis zu 50mal pro Sekunde. Sie bestimmen die Entfernungen zur Umgebung des Roboters in einer Ebene bis 16m in einer <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Aufl%C3%B6sung_%28Physik%29">Auflösung</a> von bis zu drei Messpunkten pro Winkel-Grad und 3cm Entfernungsauflösung- mit gewissen Fehlerraten und Problemen mit reflektierenden Oberflächen. Zusätzlich misst eine <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Inertiale_Messeinheit">intertiale Messeinheit</a> <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Beschleunigungssensor">translative</a> und <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Drehratensensor">radiale</a> <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Beschleunigung">Beschleunigungen</a> wie auch die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Kompass">Ausrichtung zum Erdmagnetfeld</a>. Zusätzlich können auch digitale Kameras zur Detektion von befahrbaren Untergründen, Objekten oder zur Analyse von Pflanzen eingebaut und verwendet werden. Zusätzlich messen <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Inkrementalgeber">Radencoder</a> die Umdrehungen und Auslenkung durch <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Servo">Servos</a> der Räder, womit der Roboter durch <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Odometrie">Odometrie</a> seine durchgeführte Bewegung aus sich selbst heraus abschätzt. Durch die Kombination der Lidar-Daten mit der Odometrie durch ein <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Simultaneous_Localization_and_Mapping">SLAM-Verfahren (Simultaneous Localization and Mapping)</a> ermöglicht mit einem <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Kalman-Filter">Kalman-Filter</a> durch Analyse der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Kovarianzmatrix">Kovarianzen</a> die robuste Erstellung einer Karte während des Befahrens, und korrigiert Fehler bei der eigenen Lokalisierung durch die Odometrie. Zusätzlich kann der Roboter mit einem <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Empf%C3%A4nger_%28GNSS%29">GPS-Empfänger</a> seine Position grob bestimmen. In der Auswertung der Sensoren wird zwar von einer guten <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Kalibrierung">Kalibrierung</a> ausgegangen, jedoch ist es Teil des probabilistischen Ansatzes, die erfassten Werte immer mit einer <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Verteilungsfunktion_%28Stochastik%29">konservativen Fehlerverteilung</a> zu verarbeiten. Die Kamerabilder werden ebenso robust verarbeitet: Die Bilddaten werden nach einer Konvertierung in den <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/HSV-Farbraum">HSV-Farbraum</a> zunächst auf eine konstante Helligkeit gebracht, um Schatteneffekte zu reduzieren. Dann werden alle weniger farbigen Pixel als befahrbarer Weg markiert, und die Anzahl der befahrbaren Pixel pro Spalte in ein <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Histogramm">Histogramm</a> zusammengeführt. Jeder Wert in dem Histogramm wird nun als Güte bzw. der Wahrscheinlichkeit für Fahrbahn in diese Richtung gewertet. Die GPS-Position wird zur Lokalisierung in der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/OpenStreetMap">Open Street Map</a> verwendet, wo nach <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Navigationssystem">Berechnung einer Route</a> die aktuelle Zielfahrtrichtung bestimmt wird. Die eigentliche Entscheidungsfindung erfolgt dann auf Basis der verschiedenen Sensordaten durch die Berechnung von <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Erwartungswert">Erwartungswerten</a> in Abhängigkeit von einer möglichen Fahrtrichtung. Genauer betrachtet werden für jeden Sensor <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Optimierung_%28Mathematik%29">Zielfunktionen</a> über den erwarteten <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Nutzenfunktion">Nutzen</a> unter Annahme des Fahrens in eine bestimmte Richtung berechnet, und anschließend der von der Fahrtrichtung abhängige Erwartungswert unter Annahme von Sensorungenauigkeiten und Fahrungenauigkeiten bestimmt. Im Falle der gewünschten Fahrtrichtung aus den GPS- und Kartendaten wird eine sehr breite <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung">Normalverteilung</a> angesetzt, weil auch abweichende Richtungen noch einen Gewinn darstellen können, wenn sie zumindest etwas in die richtige Richtung gehen. Aus jedem Sensor ergibt sich pro Fahrtrichtung ein erwarteter Teilnutzen, und aus allen Teilnutzen wird der Gesamtnutzen als Produkt berechnet: Dadurch werden Teilnutzen von 0 sofort als Gesamtnutzen 0 gewertet, ansonsten aber <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrisches_Mittel">geometrisches Mittel</a> über die Teilnutzen gebildet. Die gewählte Fahrrichtung ergibt sich dann aus der Richtung, unter der sich das Gesamtmaximum des Gesamtnutzens ergibt. Die Verarbeitung der Sensordaten erfolgt typischerweise in der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Abtastrate">Geschwindigkeit, in der die Sensoren die Umgebung abtasten</a>. In der Bildverarbeitung wird dies besonders durch die effizienten Routinen der verwendeten <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/OpenCV">OpenCV</a>-Bibliothek möglich. So sind bis zu 30 Entscheidungen in der Sekunde möglich, jedoch können die Motoren die Entscheidungen nur deutlich langsamer umsetzen. Es wurden auch weitere Verfahren zur Entscheidungsfindung getestet, wie die Verwendung von <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Clusteranalyse">Clusteranalyse</a> oder die Erstellung von <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Voronoi-Diagramm">Voronio-Diagrammen</a>. Doch zeigte die robuste Entscheidungsfindung über Erwartungswerte bei der Navigation im urbanen Gebiet ihre Vorteile. Die beschriebene Entscheidungsfindung bezieht sich dabei bisher nur auf die Fahrtrichtung- die Fahrtgeschwindigkeit wird bisher nur von der freien Wegstrecke in Fahrtrichtung bestimmt. Dadurch verfolgt der Roboter im Normalfalle seine Ziele in Normgeschwindigkeit von 0.5-1m/s (er <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/VW_K%C3%A4fer#Der_K.C3.A4fer_in_der_Werbung">läuft und läuft und läuft</a>), bremst aber, sobald er in die Gefahr gerät, sonst einen Menschen oder sich selbst zu beschädigen. Dadurch folgt der Roboter den <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Robotergesetze">Robotergesetzen von Asimov</a>. Die Kommunikation im Roboter erfolgt über verschiedene Netze- der Lidar-Sensor wird beispielsweise über <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Ethernet">Ethernet</a> angesprochen, die Entscheidungsfindung spricht mit den Hauptroutinen in der Recheneinheit über eine <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Transmission_Control_Protocol/Internet_Protocol">TCP-Verbindung</a>, die Kommunikation von der Recheneinheit zum Masterboard erfolgt über <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Universal_Serial_Bus">USB</a> als <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Universal_Asynchronous_Receiver_Transmitter">serielle Schnittstelle (UART)</a>, und das Masterboard gibt seine Steuerbefehle über einen <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Controller_Area_Network">CAN-Bus</a> an Motoren und Servos weiter. Der Wettbewerb der <a href="http://robotika.cz/competitions/robotour/2015/en">Robotour 2015</a> fand in Tschechien in der Innenstadt von <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/P%C3%ADsek">Pisek</a> statt. Nach einer Qualifikation vor Ort gab es nach einer Testrunde eine erste Wettkampfrunde, in der die Roboter eine Lieferung von einem Parkplatz durch die gesamte Innenstadt über festgelegte Wegpunkte letztlich zu einem Restaurant bringen sollen. Obwohl der Testlauf noch erfolgreich war, litt der Roboter Beteigeuze der Gruppe in den ersten zwei Segmenten unter Abstürzen und lag damit auf dem letzten Platz. Nachdem der Fehler gefunden war, erreichte der Roboter im dritten Lauf als einziger das Segmentziel; und blieb im vierten Lauf zwar am Hintereingang des Restaurants hängen, war aber auch da gegenüber allen anderen Kandidaten bei weitem am nächsten am Ziel, und <a href="http://robotika.cz/competitions/robotour/2015/results/en">gewann so den Wettbewerb</a>. Für einen Einstieg in die Robotik bieten sich Systeme wie <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Lego_Mindstorms">Lego Mindstorms</a> oder andere <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Roboterbaukasten">Roboterbaukästen</a> an, aber auch Programmierspiele, wie sie Michael auch auf der GPN angeboten hat: <a href="https://github.com/Programmierspiele">https://github.com/Programmierspiele</a>. <h1>Literatur und weiterführende Informationen</h1> <ul><li> <a href="https://media.ccc.de/v/gpn16-7621-probabilistische_robotik">M. Fürst: Probabilistische Robotik- Interessen eines Roboters als Nutzen formulieren und verarbeiten</a>, Vortrag auf der Gulasch Programmier-Nacht GPN16, 2016.</li><li> <a href="http://wordpress.kamaro-engineering.de/wp-content/uploads/2016/04/RobotourImageProcessing_mini.pdf">M. Fürst: Detecting Drivable Regions in Monocular Images</a>, Robotour 2015, Autonomous Robot in Parks and Urban Regions, 2015.</li><li> <a href="http://wordpress.kamaro-engineering.de/ekf-slam-erklaert-wie-sieht-ein-roboter-die-welt/">EKF-SLAM erklärt: Wie sieht ein Roboter die Welt?</a></li><li> <a href="http://wordpress.kamaro-engineering.de/robotour-2015-das-geheimnis-wird-gelueftet/">Robotour 2015 Vorgehensweise bei Kamaro</a></li></ul> <h1>GPN16 Special</h1> <ul><li> <a href="http://modellansatz.de/incredible-proof-machine">J. Breitner: Incredible Proof Machine</a>, Gespräch mit S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 78, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. <a href="http://modellansatz.de/incredible-proof-machine">http://modellansatz.de/incredible-proof-machine</a></li></ul>

Modellansatz

Modellansatz 095

Einen fahrbaren Roboter zu bauen- das ist schon eine echte Herausforderung. Um diesem aber auch noch beizubringen autonom Aufgaben zu lösen, bedienten sich Michael Fürst und sein Team der Mathematik: Im Rahmen der Gulasch Programmier-Nacht (GPN16) des Entropia e.V. in der Hochschule für Gestaltung (HfG) und dem Zentrum für Kunst und Medien (ZKM) in Karlsruhe berichtete er über die Verfahren der Probabilistischen Robotik (Video) und welche Erfahrungen sie damit machen konnten- und erzählt uns im Gespräch mit Sebastian Ritterbusch davon. Michael Fürst studiert Informatik am Karlsruher Institut für Technologie (KIT) und befasst sich im Team Informatik der Hochschulgruppe Kamaro Engineering speziell mit robusten probabilistischen Methoden zur Entscheidungsfindung. Der aktuelle Roboter Beteigeuze der Hochschulgruppe ist die zweite Generation und wurde dafür ausgelegt, Aufgaben in der Überwachung und Bewirtschaftung von Maisfeldern oder der Navigation im urbanen Umfeld zu erfüllen. Die Hochschulgruppe gibt es seit 3 Jahren und besteht aus 30-45 Mitgliedern. Sie ist eingebettet in das Teilinstitut Mobile Arbeitsmaschinen (MOBIMA) am Institut für Fahrzeugsystemtechnik (FAST) am KIT mit dessen Unterstützung und Drittspenden sich die Hochschulgruppe finanziert. Die interdisziplinäre Hochschulgruppe besteht aus vier Teams: Das Organisationsteam, das Mechanik-Team, das Elektrotechnik-Team und das Informatik-Team. Die Gruppe organisiert sich auch als Verein mit Vorstand und einer Leitung in jedem Team, um mit einer flachen Hierarchie jedem die Möglichkeit zu bieten sich in das Projekt einzubringen. Auf der einen Seite will die Gruppe die autonome Robotik voranzubringen und allen Teammitgliedern gleichzeitig auch die Möglichkeit zu bieten, praktisches Wissen und Erfahrungen neben dem oft theoretischem Studium zu erlangen. Das Team nimmt dazu regelmäßig an verschiedenen internationalen Wettbewerben teil, wie dem Field Robot Event, dem SICK Robot Day oder der Robotour. Technisch basiert die Software-Lösung des Roboters inzwischen auf dem Robot Operating System (ROS), mit dem auf einer Ubuntu-Plattform auf einem im Roboter eingebauten Computer in Java, Python oder C++ die gestellten Aufgaben bearbeitet werden. Mit 40kg Gewicht ist der Roboter für seine Größe kein Leichtgewicht und kann daher nicht beliebig Batterien transportieren, so dass dem Lademanagement eine besondere Rolle zufällt. Die gewählte Größe ermöglicht gerade bei der Feldarbeit einen nicht-invasiven Ansatz, der im Vergleich zu anderen Varianten, wie der automatischen Steuerung von Traktoren, die Pflanzen nicht schädigt. Der Roboter erfasst seine Umwelt mit einer Vielzahl von Sensoren: Die Lidar-Sensoren zur Entfernungsmessung in verschiedenen Richtungen sind dabei besonders wichtig, und sie messen bis zu 50mal pro Sekunde. Sie bestimmen die Entfernungen zur Umgebung des Roboters in einer Ebene bis 16m in einer Auflösung von bis zu drei Messpunkten pro Winkel-Grad (...)

Probabilistische Robotik

<a href="http://egg.epfl.ch/~nmonod/">Nicolas Monod</a> teaches at the <a href="https://www.epfl.ch/">École polytechnique fédérale</a> in Lausanne and leads the <a href="http://egg.epfl.ch/">Ergodic and Geometric Group Theory</a> group there. In May 2016 he was invited to give the <a href="https://dmv.mathematik.de/index.php/aktivitaeten/gauss-vorlesung">Gauß lecture</a> of the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/German_Mathematical_Society">German Mathematical Society (DMV)</a> at the <a href="https://tu-dresden.de/?set_language=en">Technical University</a> in <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Dresden"> Dresden</a>. He presented 100 Jahre Zweisamkeit – The Banach-Tarski Paradox. The morning after his lecture we met to talk about <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Paradox">paradoxes</a> and hidden assumptions our mind makes in struggling with geometrical representations and measures. A very well-known game is <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Tangram">Tangram</a>. Here a <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Square">square</a> is divided into seven pieces (which all are <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Polygon">polygons</a>). These pieces can be rearranged by moving them around on the table, e.g.. The task for the player is to form given shapes using the seven pieces – like a cat etc.. Of course the Tangram cat looks more like a flat <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Origami">Origami</a>-cat. But we could take the Tangram idea and use thousands or millions of little pieces to build a much more realistic cat with them – as with pixels on a screen. In three dimensions one can play a similar game with pieces of a cube. This could lead to a <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Lego">LEGO</a>-like three-dimensional cat for example. In this traditional Tangram game, there is no fundamental difference between the versions in dimension two and three. But in 1914 it was shown that given a three-dimensional ball, there exists a decomposition of this ball into a finite number of subsets, which can then be rearranged to yield two identical copies of the original ball. This sounds like a magical trick – or more scientifically said – like a paradoxical situation. It is now known under the name <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Banach%E2%80%93Tarski_paradox">Banach-Tarski paradox</a>. In his lecture, Nicolas Monod dealt with the question: Why are we so surprised about this result and think of it as paradoxical? One reason is the fact that we think to know deeply what we understand as volume and expect it to be preserved under rearrangements (like in the Tangram game, e.g.).Then the impact of the Banach-Tarski paradox is similar for our understanding of volume to the shift in understanding the relation between time and space through <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Theory_of_relativity"> Einstein's relativity theory</a> (which is from about the same time). In short the answer is: In our every day concept of volume we trust in too many good properties of it. It was <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Felix_Hausdorff"> Felix Hausdorff</a> who looked at the axioms which should be valid for any measure (such as volume). It should be independent of the point in space where we measure (or the coordinate system) and if we divide objects, it should add up properly. In our understanding there is a third hidden property: The concept "volume" must make sense for every subset of space we choose to measure. Unfortunately, it is a big problem to assign a volume to any given object and Hausdorff showed that all three properties cannot all be true at the same time in three space dimensions. Couriously, they can be satisfied in two dimensions but not in three. Of course, we would like to understand why there is such a big difference between two and three space dimensions, that the naive concept of volume breaks down by going over to the third dimension. To see that let us consider motions. Any motion can be decomposed into <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Translation_%28geometry%29#Translations_in_physics">translations</a> (i.e. gliding) and <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_%28mathematics%29">rotations</a> around an arbitrarily chosen common center. In two dimensions the order in which one performs several rotations around the same center does not matter since one can freely interchange all rotations and obtains the same result. In three dimensions this is not possible – in general the outcomes after interchanging the order of several rotations will be different. This break of the symmetry ruins the good properties of the naive concept of volume. Serious consequences of the Banach-Tarski paradox are not that obvious. Noone really duplicated a ball in real life. But measure theory is the basis of the whole <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Probability_theory">probability theory</a> and its countless applications. There, we have to understand several counter-intuitive concepts to have the right understanding of probabilities and risk. More anecdotally, an idea of <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Bruno_Augenstein">Bruno Augenstein</a> is that in particle physics certain transformations are reminiscent of the Banach-Tarski phenomenon. Nicolas Monod really enjoys the beauty and the liberty of mathematics. One does not have to believe anything without a proof. In his opinion, mathematics is the language of natural sciences and he considers himself as a linguist of this language. This means in particular to have a closer look at our thought processes in order to investigate both the richness and the limitations of our models of the universe. References:<ul><li> <a href="http://gdz.sub.uni-goettingen.de/download/PPN235181684_0075/PPN235181684_0075___LOG_0033.pdf">F. Hausdorff: Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen</a>. Math. Ann. 75 (3), 428–433, 1914.</li><li> <a href="http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm6/fm6127.pdf">S. Banach and A.Tarski: Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes</a>, Fundamenta Mathematicae 6, 244–277, 1924.</li><li> <a href="http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm13/fm1316.pdf"> J. von Neumann: Zur allgemeinen Theorie des Maßes</a> Fundamenta Mathematicae 13, 73–116, 1929.</li><li> S. Wagon: The Banach–Tarski Paradox. Cambridge University Press, 1994.</li><li> <a href="http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0960077996000550">B.W. Augenstein: Links Between Physics and Set Theory</a>, Chaos, Solitons and Fractals, 7 (11), 1761–1798, 1996.</li><li> <a href="http://www.pnas.org/content/110/12/4524"> N. Monod: Groups of piecewise projective homeomorphisms</a>, PNAS 110 (12), 4524-4527, 2013.</li><li> <a href="https://www.youtube.com/watch?v=s86-Z-CbaHA">Vsauce-Video on the Banach-Tarksi Paradox</a></li></ul>

Modellansatz 094

Nicolas Monod teaches at the École polytechnique fédérale in Lausanne and leads the Ergodic and Geometric Group Theory group there. In May 2016 he was invited to give the Gauß lecture of the German Mathematical Society (DMV) at the Technical University in Dresden. He presented 100 Jahre Zweisamkeit – The Banach-Tarski Paradox. The morning after his lecture we met to talk about paradoxes and hidden assumptions our mind makes in struggling with geometrical representations and measures. A very well-known game is Tangram. Here a square is divided into seven pieces (which all are polygons). These pieces can be rearranged by moving them around on the table, e.g.. The task for the player is to form given shapes using the seven pieces – like a cat etc.. Of course the Tangram cat looks more like a flat Origami-cat. But we could take the Tangram idea and use thousands or millions of little pieces to build a much more realistic cat with them – as with pixels on a screen. In three dimensions one can play a similar game with pieces of a cube. This could lead to a LEGO-like three-dimensional cat for example. In this traditional Tangram game, there is no fundamental difference between the versions in dimension two and three. But in 1914 it was shown that given a three-dimensional ball, there exists a decomposition of this ball into a finite number of subsets, which can then be rearranged to yield two identical copies of the original ball. This sounds like a magical trick – or more scientifically said – like a paradoxical situation. It is now known under the name Banach-Tarski paradox. In his lecture, Nicolas Monod dealt with the question: Why are we so surprised about this result and think of it as paradoxical? One reason is the fact that we think to know deeply what we understand as volume and expect it to be preserved under rearrangements (like in the Tangram game, e.g.).Then the impact of the Banach-Tarski paradox is similar for our understanding of volume to the shift in understanding the relation between time and space through Einstein's relativity theory (which is from about the same time). In short the answer is: In our every day concept of volume we trust in too many good properties of it. It was Felix Hausdorff who looked at the axioms which should be valid for any measure (such as volume). It should be independent of the point in space where we measure (or the coordinate system) and if we divide objects, it should add up properly. In our understanding there is a third hidden property: The concept "volume" must make sense for every subset of space we choose to measure. Unfortunately, it is a big problem to assign a volume to any given object and Hausdorff showed that all three properties cannot all be true at the same time in three space dimensions. Couriously, they can be satisfied in two dimensions but not in three. (...)

Banach-Tarski Paradox

<a href="https://www.ifv.kit.edu/21_158.php">Peter Vortisch</a> bekleidet seit 2010 eine Professur für Verkehrswesen am Karlsruher Institut für Technologie (KIT) und ist Leiter des Instituts für Verkehrswesen. Wir haben über die Entwicklung der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Verkehrsmodell_%28Verkehrsplanung%29">Modellierung von Verkehr</a> gesprochen und dabei den Schwerpunkt zunächst auf die Anfangszeit gelegt, in der sich die in der Forschung geborene Idee Schritt für Schritt in ein Softwareprodukt entwickelte und wo und warum sich die Idee und das Produkt durchsetzen konnten. Peter Vortisch hat in Karlsruhe eigentlich Informatik studiert und kam zum Verkehrswesen zunächst als wissenschaftliche Hilfskraft. Er hat dann bald mit an den ersten Simulationen programmiert. Solche Simulationen wurden damals auf Großrechnern durchgeführt, von denen es nur wenige gab. Die Forschungen und theoretischen wie praktischen Überlegungen wurden im wesentlichen von Professor Wiedemann vorangetrieben. Seine Karlsruher Gruppe war die erste, die das in Deutschland erfolgreich erprobte und schließlich als Standard eingeführt hat. Es gab damals Forschungsprojekte z.B. zur Wirkung von <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Zul%C3%A4ssige_H%C3%B6chstgeschwindigkeit">Tempolimits</a> im Auftrag des <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Bundesministerium_f%C3%BCr_Verkehr_und_digitale_Infrastruktur"> Verkehrsministeriums</a>. In der Zwischenzeit entwickelte sich die Rechentechnik weiter und mit dem Siegeszug des <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Personal_Computer">PCs</a> wanderte die Simulation vom Rechenzentrum auf die Schreibtische. Damals war es möglich, auf so einem Rechner ein Modell mit etwa 20 Fahrzeugen in Echtzeit zu simulieren - heut sind die Rechner so viel schneller, dass mehrere 100.000 Fahrzeuge möglich sind. Aber auch mit so wenigen Fahrzeugen war es ein wichtiger Schritt hin zur Kommerzialisierung der Verkehrsmodelle. In den USA gab es damals z.B. ein öffentlich subventioniertes Produkt für Verkehrsplaner, was einen durchschlagenden Erfolg hatte und die Simulation in allen Büros etablierte. In Karlsruhe entwickelte sich ein <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Ableger_%28Wirtschaft%29">Spin off</a> aus dem Institut, die <a href="http://vision-traffic.ptvgroup.com/de/home/">Firma ptv</a> entwickelte das <a href="http://vision-traffic.ptvgroup.com/de/produkte/ptv-vissim/">Produkt</a> und die Vermarktung der Verkehrssimultion zunächst in Deutschland. Seither besteht eine enge Zusammenarbeit mit dem Institut für Verkehrswesen. Im Zuge dieser Professionalisierung wurde die Verwendung des Produktes durch Verkehrsingenieure der neue Standard. Es gab zwei große deutsche Unternehmen, die die Entwicklung der Software stark beschleunigt haben. Zunächst die Firma <a href="http://www.siemens.com/entry/de/de/ingenuity-for-life/?stc=decg100232&amp;s_kwcid=AL!462!3!105731860931!e!!g!!siemens&amp;ef_id=Ve7zQQAAAfMjzaUJ:20160414142646:s#chapter-introduction">SIEMENS</a> weil sie die Wirkung von <a href="https://www.youtube.com/watch?v=1WEzUJ4Q69w"> Ampelsteuerungen</a> besser vorhersehen wollte. U.a. auch im Zusammenhang mit der Grün-Anforderung durch den <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%96ffentlicher_Personennahverkehr">ÖPNV</a>. Vor dem Aufbau auf einer echter Kreuzung sollte die Simulation auf dem Rechner beweisen, dass auch der gewünschte Effekt durch die Ampelsteuerung erreicht werden würde. Das wurde schließlich sogar Teil der SIEMENS Software Verkehrsplanung. Verkehrsplaner in den Städten haben in dieser Zeit weitergehende Ideen noch nicht so gut angenommen. Dafür war dann die Firma <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Volkswagen_AG">Volkswagen</a> ein Vorreiter. Sie hat sich eigentlich für Abgasemissionen interessiert, wofür man Temperaturverläufe der Motoren braucht. Es wurde daraus die Aufgabe abgeleitet, für eine ganze Stadt den Verkehr über den Tag hinweg zu simulieren (inkl. parken). Sie haben sich in großem Umfang finanziell an den Entwicklungsarbeiten beteiligt. Prototyp wurde die Stadt <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Braunschweig">Braunschweig</a>. Ohne die heute selbstverständlich vorliegenden Daten zu Straßen und Kreuzungen war das ein sehr aufwändiges Vorhaben. Außerdem brauchte man neue Verfahren, die entscheiden, welche Wege die Fahrzeuge in der Stadt zurücklegend. Ein wichtiges neues Verfahren hierfür wurde die Dynamische Umlegung. Diese neue Fähigkeit des Programms hat zu einer deutlich weiteren Verbreitung geführt, denn es war nun ein wirklich professionelles Softwareprodukt auf dem Markt in Deutschland vorhanden. Der Funktionsumfang des ptv-Produktes war schließlich größer als das des USA-Standards. Da dort Verkehrssimulation aber schon Usus war, war es einfach mit dem noch besseren Produkt in den US-Markt einzusteigen. Ein weiterer wichtiger Markt war auch Großbritannien, da dort traditionell bei Planungen viel modelliert wird ("Mutterland der Modellierung"). Dort war der Einstieg geschafft, als sich <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Transport_for_London">Transport for London</a> entschied, mit dem ptv-Produkt zu arbeiten. <h1>Podcasts und Videos</h1> <ul><li> <a href="https://www.youtube.com/user/ptvvision">PTV Youtube-Kanal</a></li><li> <a href="http://modellansatz.de/verkehrswesen">U. Leyn: Verkehrswesen</a>, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 88, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. <a href="http://modellansatz.de/verkehrswesen">http://modellansatz.de/verkehrswesen</a></li><li> <a href="http://modellansatz.de/oepnv">K.Nökel: ÖPNV</a>, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 91, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. <a href="http://modellansatz.de/oepnv">http://modellansatz.de/oepnv</a></li></ul>

Modellansatz 093

Peter Vortisch bekleidet seit 2010 eine Professur für Verkehrswesen am Karlsruher Institut für Technologie (KIT) und ist Leiter des Instituts für Verkehrswesen. Wir haben über die Entwicklung der Modellierung von Verkehr gesprochen und dabei den Schwerpunkt zunächst auf die Anfangszeit gelegt, in der sich die in der Forschung geborene Idee Schritt für Schritt in ein Softwareprodukt entwickelte und wo und warum sich die Idee und das Produkt durchsetzen konnten. Peter Vortisch hat in Karlsruhe eigentlich Informatik studiert und kam zum Verkehrswesen zunächst als wissenschaftliche Hilfskraft. Er hat dann bald mit an den ersten Simulationen programmiert. Solche Simulationen wurden damals auf Großrechnern durchgeführt, von denen es nur wenige gab. Die Forschungen und theoretischen wie praktischen Überlegungen wurden im wesentlichen von Professor Wiedemann vorangetrieben. Seine Karlsruher Gruppe war die erste, die das in Deutschland erfolgreich erprobte und schließlich als Standard eingeführt hat. Es gab damals Forschungsprojekte z.B. zur Wirkung von Tempolimits im Auftrag des Verkehrsministeriums. In der Zwischenzeit entwickelte sich die Rechentechnik weiter und mit dem Siegeszug des PCs wanderte die Simulation vom Rechenzentrum auf die Schreibtische. Damals war es möglich, auf so einem Rechner ein Modell mit etwa 20 Fahrzeugen in Echtzeit zu simulieren - heut sind die Rechner so viel schneller, dass mehrere 100.000 Fahrzeuge möglich sind. Aber auch mit so wenigen Fahrzeugen war es ein wichtiger Schritt hin zur Kommerzialisierung der Verkehrsmodelle. In den USA gab es damals z.B. ein öffentlich subventioniertes Produkt für Verkehrsplaner, was einen durchschlagenden Erfolg hatte und die Simulation in allen Büros etablierte. In Karlsruhe entwickelte sich ein Spin off aus dem Institut, die Firma ptv entwickelte das Produkt und die Vermarktung der Verkehrssimultion zunächst in Deutschland. Seither besteht eine enge Zusammenarbeit mit dem Institut für Verkehrswesen. Im Zuge dieser Professionalisierung wurde die Verwendung des Produktes durch Verkehrsingenieure der neue Standard. Es gab zwei große deutsche Unternehmen, die die Entwicklung der Software stark beschleunigt haben. Zunächst die Firma SIEMENS weil sie die Wirkung von Ampelsteuerungen besser vorhersehen wollte. U.a. auch im Zusammenhang mit der Grün-Anforderung durch den ÖPNV. Vor dem Aufbau auf einer echter Kreuzung sollte die Simulation auf dem Rechner beweisen, dass auch der gewünschte Effekt durch die Ampelsteuerung erreicht werden würde. Das wurde schließlich sogar Teil der SIEMENS Software Verkehrsplanung. Verkehrsplaner in den Städten haben in dieser Zeit weitergehende Ideen noch nicht so gut angenommen. Dafür war dann die Firma Volkswagen ein Vorreiter. Sie hat sich eigentlich für Abgasemissionen interessiert, wofür man Temperaturverläufe der Motoren braucht. Es wurde daraus die Aufgabe abgeleitet, für eine ganze Stadt den Verkehr über den Tag hinweg zu simulieren (inkl. parken). (...)

Verkehrsmodellierung I

This is the second of four conversations Gudrun had during the <a href="https://sites.google.com/site/bamc2016oxford/">British Applied Mathematics Colloquium</a> which took place 5th – 8th of April 2016 in Oxford. <a href="http://www.ucl.ac.uk/~ucahhwi/">Helen Wilson</a> always wanted to do maths and had imagined herself becoming a mathematician from a very young age. But after graduation she did not have any road map ready in her mind. So she applied for jobs which - due to a recession - did not exist. Today she considers herself lucky for that since she took a Master's course instead (at Cambridge University), which hooked her to mathematical research in the field of <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Viscoelasticity">viscoelastic</a> fluids. She stayed for a PhD and after that for postdoctoral work in the States and then did lecturing at Leeds University. <a href="http://iris.ucl.ac.uk/iris/browse/profile?upi=HWILS67">Today she is a Reader in the Department of Mathematics</a> at <a href="https://www.ucl.ac.uk/">University College London</a>. So what are viscoelastic fluids? If we consider everyday fluids like water or honey, it is a safe assumption that their <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Viscosity">viscosity</a> does not change much - it is a material constant. Those fluids are called <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Newtonian_fluid">Newtonian fluids</a>. All other fluids, i.e. fluids with non-constant viscosity or even more complex behaviours, are called non-Newtonian and viscoelastic fluids are a large group among them. Already the name suggests, that viscoelastic fluids combine viscous and elastic behaviour. <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Elasticity_%28physics%29">Elastic</a> effects in fluids often stem from clusters of particles or long <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Polymer">polymers</a> in the fluid, which align with the flow. It takes them a while to come back when the flow pattern changes. We can consider that as keeping a memory of what happened before. This behaviour can be observed, e.g., when stirring tinned tomato soup and then waiting for it to go to rest again. Shortly before it finally enters the rest state one sees it springing back a bit before coming to a halt. This is a motion necessary to complete the relaxation of the soup. Another surprising behaviour is the so-called <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Weissenberg_effect">Weissenberg effect</a>, where in a rotation of elastic fluid the stretched out polymer chains drag the fluid into the center of the rotation. This leads to a peak in the center, instead of a funnel which we expect from experiences stirring tea or coffee. The big challenge with all non-Newtonian fluids is that we do not have equations which we know are the right model. It is mostly guess work and we definitely have to be content with approximations. And so it is a compromise of fitting what we can model and measure to the easiest predictions possible. Of course, slow flow often can be considered to be Newtonian whatever the material is. The simplest models then take the so-called retarded fluid assumption, i.e. the elastic properties are considered to be only weak. Then, one can expand around the Newtonian model as a base state. The first non-linear model which is constructed in that way is that of <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Second-order_fluid">second-order fluids</a>. They have two more parameters than the Newtonian model, which are called normal stress coefficients. The next step leads to third-order fluids etc. In practice no higher than third-order fluids are investigated. Of course there are a plethora of interesting questions connected to complex fluids. The main question in the work of Helen Wilson is the stability of the flow of those fluids in channels, i.e. how does it react to small perturbations? Do they vanish in time or could they build up to completely new flow patterns? In 1999, she published results of her PhD thesis and predicted a new type of instability for a <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Shear_thinning">shear-thinning</a> material model. It was to her great joy when in 2013 experimentalists found flow behaviour which could be explained by her predicted instability. More precisely, in the 2013 experiments a dilute polymer solution was sent through a microchannel. The material model for the fluid is <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Shear_thinning">shear thinning</a> as in Helen Wilson's thesis. They observed oscillations from side to side of the channel and surprising noise in the maximum flow rate. This could only be explained by an instability which they did not know about at that moment. In a microchannel <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Inertia">inertia</a> is negligible and the very low <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Reynolds_number">Reynolds number</a> of <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$10%5E%7B-4%7D$&amp;sig=e07e17e1b7b752a859d899105234f246" alt="10^{-4}" title="10^{-4}" style="vertical-align: middle" width="26" height="12" /> suggested that the instability must be caused by the non-Newtonian material properties since for Newtonian fluids instabilities can only be observed if the flow configuration exeeds a critical Reynolds number. Fortunately, the answer was found in the 1999 paper. Of course, even for the easiest non-linear models one arrives at highly non-linear equations. In order to analyse stability of solutions to them one firstly needs to know the corresponding steady flow. Fortunately, if starting with the easiest non-linear models in a channel one can still find the steady flow as an analytic solution with paper and pencil since one arrives at a 1D <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinary_differential_equation">ODE</a>, which is independent of time and one of the two space variables. The next question then is: How does it respond to small perturbation? The classical procedure is to linearize around the steady flow which leads to a linear problem to solve in order to know the stability properties. The basic (steady) flow allows for <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform">Fourier transformation</a> which leads to a problem with two scalar parameters - one real and one complex. The general structure is an <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalues_and_eigenvectors">eigenvalue problem</a> which can only be solved numerically. After we know the eigenvalues we know about the (so-called linear) <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_stability">stability of the solution</a>. An even more interesting research area is so-called non-linear stability. But it is still an open field of research since it has to keep the non-linear terms. The difference between the two strategies (i.e. linear and non-linear stability) is that the linear theory predicts instability to the smallest perturbations but the non-linear theory describes what happens after finite-amplitude instability has begun, and can find larger instability regions. Sometimes (but unfortunately quite rarely) both theories find the same point and we get a complete picture of when a stable region changes into an unstable one. One other really interesting field of research for Helen Wilson is to find better constitutive relations. Especially since the often used <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Power-law_fluid">power law</a> has inbuilt unphysical behaviour (which means it is probably too simple). For example, taking a power law with negative exponent says that In the middle of the flow there is a singularity (we would divide by zero) and perturbations are not able to cross the center line of a channel. Also, it is unphysical that according to the usual models the shear-thinning fluid should be instantly back to a state of high viscosity after switching off the force. For example most ketchup gets liquid enough to serve it only when we shake it. But it is not instantly thick after the shaking stops - it takes a moment to solidify. This behaviour is called <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Thixotropy">thixotropy</a>. <h1>Literature and additional material</h1> <ul><li> <a href="https://www.youtube.com/watch?v=eT2H91huOA8">H. Wilson: UCL Lunch Hour Lectures</a>, Feb. 2016.</li><li> <a href="http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0377025799000129">H.J. Wilson and J.M. Rallison: Instability of channel flow of a shear-thinning White–Metzner fluid</a>, Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics 87 (1999) 75–96.</li><li> <a href="http://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.114.028302">Hugues Bodiguel, Julien Beaumont, Anaïs Machado, Laetitia Martinie, Hamid Kellay, and Annie Colin: Flow Enhancement due to Elastic Turbulence in Channel Flows of Shear Thinning Fluids</a>, Physical Review Letters 114 (2015) 028302.</li><li> <a href="http://sciencelearn.org.nz/Science-Stories/Strange-Liquids/Non-Newtonian-fluids">Non-Newtonian Fluids Explained</a>, Science Learning.</li></ul>

Modellansatz 092

This is the second of four conversations Gudrun had during the British Applied Mathematics Colloquium which took place 5th – 8th of April 2016 in Oxford. Helen Wilson always wanted to do maths and had imagined herself becoming a mathematician from a very young age. But after graduation she did not have any road map ready in her mind. So she applied for jobs which - due to a recession - did not exist. Today she considers herself lucky for that since she took a Master's course instead (at Cambridge University), which hooked her to mathematical research in the field of viscoelastic fluids. She stayed for a PhD and after that for postdoctoral work in the States and then did lecturing at Leeds University. Today she is a Reader in the Department of Mathematics at University College London. So what are viscoelastic fluids? If we consider everyday fluids like water or honey, it is a safe assumption that their viscosity does not change much - it is a material constant. Those fluids are called Newtonian fluids. All other fluids, i.e. fluids with non-constant viscosity or even more complex behaviours, are called non-Newtonian and viscoelastic fluids are a large group among them. Already the name suggests, that viscoelastic fluids combine viscous and elastic behaviour. Elastic effects in fluids often stem from clusters of particles or long polymers in the fluid, which align with the flow. It takes them a while to come back when the flow pattern changes. We can consider that as keeping a memory of what happened before. This behaviour can be observed, e.g., when stirring tinned tomato soup and then waiting for it to go to rest again. Shortly before it finally enters the rest state one sees it springing back a bit before coming to a halt. This is a motion necessary to complete the relaxation of the soup. Another surprising behaviour is the so-called Weissenberg effect, where in a rotation of elastic fluid the stretched out polymer chains drag the fluid into the center of the rotation. This leads to a peak in the center, instead of a funnel which we expect from experiences stirring tea or coffee. The big challenge with all non-Newtonian fluids is that we do not have equations which we know are the right model. It is mostly guess work and we definitely have to be content with approximations. And so it is a compromise of fitting what we can model and measure to the easiest predictions possible. Of course, slow flow often can be considered to be Newtonian whatever the material is. The simplest models then take the so-called retarded fluid assumption, i.e. the elastic properties are considered to be only weak. Then, one can expand around the Newtonian model as a base state. The first non-linear model which is constructed in that way is that of second-order fluids. They have two more parameters than the Newtonian model, which are called normal stress coefficients. (...)

Viscoelastic Fluids

<a href="http://newsroom.ptvgroup.com/uploads/tx_ptvpress/2015-12-16_Klaus-Noekel_PTVGroup_300dpi.jpg">Klaus Nökel</a> arbeitet in der Firma <a href="http://www.ptvgroup.com/de/willkommen-bei-der-ptv-group/">ptvgroup</a> an der Verkehrsmodellierung. Er war und ist an vielen Aspekten der Entwicklung der ptv-Software beteiligt. Einer seiner Schwerpunkte sind Modelle für den öffentlichen Nahverkehr - kurz ÖPNV. Oft kann man nur mit geeigneten Modellen und Simulationen den für Fördergelder erforderlichen Nachweis über einen zu erwartenden Nutzen von Baumaßnahmen erbringen. In Karlsruhe ist der Tunnel für die Straßenbahnen (in Karlsruhe kurz <a href="http://www.diekombiloesung.de/startseite.html">UStrab</a> genannt) ein prominentes Beispiel einer solchen Großbaustelle. Die wichtigste Fragen zum erwarteten Nutzen, ist wie sich die Reisezeit verkürzt: Der Kosten-Nutzen-Quotient sollte hier natürlich möglichst klein sein. Die gesamten Baukosten sind dabei relativ einfach zu ermitteln. Die Nutzen-Seite ist dagegen nicht so einfach zu schätzen. Man braucht dafür ja Zahlen darüber, was für die Fahrgäste (quantifizierbar) besser wird- insbesondere im Bezug auf Zeiteinsparung. Um diese Frage beantworten zu können, muss für alle Einwohner eine <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Routenplaner">Routenplanung</a> für jeden Tag durchgeführt werden. In Bezug auf ÖPNV sind dies insbesondere die Mobliltätsentscheidungen zwischen Weg zu Fuß, mit dem Auto oder Fahrrad und dem ÖPNV. Das betrifft vor allem die Wege zur Arbeit, zu Freizeitaktivitäten und zum Einkaufen. Die Wohn- und Arbeitsorte liegen hier über längere Zeit fest - alle anderen Größen sind jedoch variabel und Entscheidungen wo man beispielsweise einkaufen geht, können sich mit besserer Erreichbarkeit verändern. Hier muss aufgrund vorliegender Informationen zu Wegen in der Stadt die Wahl des Verkehrsmittels modelliert werden und welche Route mit welchem Verkehrsmittel typischerweise gewählt wird. Die Frage ist dann, ob es zu Verschiebungen in der Verkehrsmittelwahl kommen wird, nachdem sich die Infrastruktur geändert hat (wie z.B. durch den Tunnel bei uns in Karlsruhe). Die Angebotsseite ist vergleichsweise einfach zu beschreiben: Verkehrsnetz(e) wie Straßen und Liniennetz des ÖPNV mit zugehörigem Fahrplan sind bekannte Daten. Die Kenntnisse über die Nachfrage sind komplex und setzen sich aus verschiedenen Anteilen zusammen. Ein gut verstandener Teil hier ist der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Sozialstruktur#Standard-Soziodemographische_Merkmale_zur_Beschreibung_der_Sozialstruktur">soziodemographische</a> z.B. ob ein Auto zur Verfügung oder nicht. Typischerweise haben junge Leute auf dem Weg zur Schule oder in die Ausbildung kein Auto zur Verfügung. Ebenso kann man gut beschreiben, wo gewohnt, gearbeitet und typischerweise eingekauft wird. Die Frage, welche Wege zurückgelegt werden, wird nicht wirklich gezählt oder genau ermittelt, sondern modelliert. Dabei sind viele Fragen nicht eindeutig beantwortbar. Manches sind auch ganz persönliche Vorlieben, so wie verschiedene Personen höhere Wegekosten gegenüber höherer Wegezeit sehr unterschiedlich gewichten. Eine typische Datenbeschaffungsmethode ist bisher, Menschen über einen gewissen Zeitraum Tagebuch zu ihren Mobilitätsentscheidungen führen zu lassen. Zusätzlich zu den so dokumentierten und hochgerechneten Entscheidungen müssen für das Modell als Vergleich auch noch mögliche Alternativen zu diesen Entscheidungen mit berechnet werden (inklusive Zeit- und Geldaufwand). Als mathematische Methode bietet sich ein <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Choice_Experiment">Discrete Choice Modell</a> an, denn es geht um endlich viele Alternativen zwischen denen gewählt wird. Es gibt darin einige objektive Anteile der persönlichen Nutzenfunktion und einen unbeobachtbaren Teil der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Nutzenfunktion">Nutzenfunktion</a>, der üblicherweise durch eine <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsfunktion">Wahrscheinlichkeitsverteilung</a> im Modell realisiert werden kann und muss. <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Statistik">Statistik</a> insbesondere die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Sch%C3%A4tztheorie">Schätztheorie</a> hilft bei der Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen aus vorliegenden Entscheidungen. Das Gewicht für das "Rauschen" ist eine Unbekannte im Modell. Je nach Standort für den das Modell entwickelt wird, unterscheidet sich das tatsächlich. In den letzten Jahren hat sich die Anzahl der Wahlmöglichkeiten für Mobilität durch verschiedene Sharing-Modelle außerdem stark erweitert, wie z.B. durch <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Carsharing">Carsharing</a> oder Fahrrad-Leihe, die inzwischen auch niederschwellig und sehr flexibel geworden sind. Vor allem in Kombination mit herkömmlichen Transportmitteln liegt ein großes Potential, das gerade erschlossen wird (z.B. haben zur Zeit etwa 600 Städte in der Welt ein Leihfahrrad-System). Es wäre einfacher, wenn die Benutzung noch klarer standardisiert wäre und eine Benutzerführung so einfach wie in einer typischen App erfolgte. Sinnvoll und wünschenswert wären natürlich ausführliche Vorher-nachher-Untersuchungen, um die Güte der Vorhersagen der Modelle zu prüfen und auch zu verbessern. Bisher war das meist zu teuer, aber das ändert sich gerade, weil Datenmengen aus Smartphones nutzbar und einfach auswertbar werden. Zum Glück gibt es hier keine Berührung der Privatsphäre, weil nur anonyme Angaben aus großen Mengen von Bewegungsprofilen gebraucht werden aus denen keine Rückschlüsse auf einzelne Personen möglich sind. Die Städte versuchen für ihre Einwohner die Erreichbarkeits-Gerechtigkeit zu verbessern. Hier vereinfachen die neuen Verkehrsmittel potentiell das Problem der letzten Meile lösen zu helfen. Das Verhalten der Verkehrsteilnehmer ändert sich auch gerade in prinzipieller Weise durch die Verfügbarkeit von online-Informationen zum Verkehr (einerseits per Smartphone, andererseits durch Anzeigen an den Haltestellen). Hat man sich früher eine Variante zu Hause überlegt und so gut es ging anschließend abgearbeitet (unterwegs hatte man dabei nur beschränkt Möglichkeiten mit Verspätungen und verpassten Verbindungen fertig zu werden), so reagieren heute Fahrgäste anders, weil sie unterwegs mehr Informationen haben. Hier braucht man tatsächlich auch neue Modelle und mehr Rechenpower. Eine weitere Entwicklung ist es, im Modell zu berücksichtigen, dass Fahrgäste Entscheidungen auch nach erwartetem Komfort treffen. So sind volle Bahnen für viele abschreckend. Das könnte man im Modell noch relativ einfach berücksichtigen. Wenn man aber einbauen will, dass es eine gute Strategie ist, erst in der "falschen" Richtung zu fahren, um an einer früheren Station in die Linie einzusteigen, damit man tatsächlich auch mitkommt und nicht wegen einer überfüllten Bahn an der Haltestelle zurückbleiben muss, vergrößert das die Menge der sinnvollen Routen erheblich. <h1>Literatur und Zusatzinformationen</h1><ul><li> <a href="https://books.google.de/books/about/Grundlagen_der_Verkehrs_und_Siedlungspla.html?id=-ngYAPYTbqQC&amp;redir_esc=y">H. Knoflacher: Grundlagen der Verkehrs- und Siedlungsplanung: Verkehrsplanung</a>, Böhlau, Wien, 2007</li><li> <a href="https://www.deutsche-digitale-bibliothek.de/item/HQELPEGM5ZYDDL2R3AQS7MVH2NHAF2VW">M. Fellendorf e.a.: Trends in der ÖPNV-Planung: 9. Sommerakademie</a>, Tagungsband, Graz, 5.September 2011</li><li> <a href="https://books.google.de/books?id=DDmFCwAAQBAJ&amp;pg=PA29&amp;lpg=PA29&amp;dq=Modelling+Public+Transport+Passenger+Flows+in+the+Era+of+Intelligent+Transport+Systems&amp;source=bl&amp;ots=y3tIdlF2-2&amp;sig=Nv2Tnd1My28LAwdTXlvEHQGm1go&amp;hl=de&amp;sa=X&amp;ved=0ahUKEwjOxcbm4KzMAhVkL8AKHU7NBNYQ6AEIODAE#v=onepage&amp;q=Modelling%20Public%20Transport%20Passenger%20Flows%20in%20the%20Era%20of%20Intelligent%20Transport%20Systems&amp;f=false">G. Gentile &amp; K. Noekel (Eds): Modelling Public Transport Passenger Flows in the Era of Intelligent Transport Systems</a>, COST Action TU1004 (TransITS), <a href="http://www.springer.com/in/book/9783319250809">Springer</a>, 2016</li><li> <a href="https://sites.google.com/site/costtransits/documents">Dokumente zu TransITS Cost Action</a></li></ul> <h1>Podcasts und Videos</h1> <ul><li> <a href="https://www.youtube.com/user/ptvvision">PTV Youtube-Kanal</a></li><li> <a href="http://modellansatz.de/verkehrswesen">U. Leyn: Verkehrswesen</a>, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 88, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. <a href="http://modellansatz.de/verkehrswesen">http://modellansatz.de/verkehrswesen</a></li></ul>

Modellansatz 091

Klaus Nökel arbeitet in der Firma ptvgroup an der Verkehrsmodellierung. Er war und ist an vielen Aspekten der Entwicklung der ptv-Software beteiligt. Einer seiner Schwerpunkte sind Modelle für den öffentlichen Nahverkehr - kurz ÖPNV. Oft kann man nur mit geeigneten Modellen und Simulationen den für Fördergelder erforderlichen Nachweis über einen zu erwartenden Nutzen von Baumaßnahmen erbringen. In Karlsruhe ist der Tunnel für die Straßenbahnen (in Karlsruhe kurz UStrab genannt) ein prominentes Beispiel einer solchen Großbaustelle. Die wichtigste Fragen zum erwarteten Nutzen, ist wie sich die Reisezeit verkürzt: Der Kosten-Nutzen-Quotient sollte hier natürlich möglichst klein sein. Die gesamten Baukosten sind dabei relativ einfach zu ermitteln. Die Nutzen-Seite ist dagegen nicht so einfach zu schätzen. Man braucht dafür ja Zahlen darüber, was für die Fahrgäste (quantifizierbar) besser wird- insbesondere im Bezug auf Zeiteinsparung. Um diese Frage beantworten zu können, muss für alle Einwohner eine Routenplanung für jeden Tag durchgeführt werden. In Bezug auf ÖPNV sind dies insbesondere die Mobliltätsentscheidungen zwischen Weg zu Fuß, mit dem Auto oder Fahrrad und dem ÖPNV. Das betrifft vor allem die Wege zur Arbeit, zu Freizeitaktivitäten und zum Einkaufen. Die Wohn- und Arbeitsorte liegen hier über längere Zeit fest - alle anderen Größen sind jedoch variabel und Entscheidungen wo man beispielsweise einkaufen geht, können sich mit besserer Erreichbarkeit verändern. Hier muss aufgrund vorliegender Informationen zu Wegen in der Stadt die Wahl des Verkehrsmittels modelliert werden und welche Route mit welchem Verkehrsmittel typischerweise gewählt wird. Die Frage ist dann, ob es zu Verschiebungen in der Verkehrsmittelwahl kommen wird, nachdem sich die Infrastruktur geändert hat (wie z.B. durch den Tunnel bei uns in Karlsruhe). Die Angebotsseite ist vergleichsweise einfach zu beschreiben: Verkehrsnetz(e) wie Straßen und Liniennetz des ÖPNV mit zugehörigem Fahrplan sind bekannte Daten. Die Kenntnisse über die Nachfrage sind komplex und setzen sich aus verschiedenen Anteilen zusammen. Ein gut verstandener Teil hier ist der soziodemographische z.B. ob ein Auto zur Verfügung oder nicht. Typischerweise haben junge Leute auf dem Weg zur Schule oder in die Ausbildung kein Auto zur Verfügung. Ebenso kann man gut beschreiben, wo gewohnt, gearbeitet und typischerweise eingekauft wird. Die Frage, welche Wege zurückgelegt werden, wird nicht wirklich gezählt oder genau ermittelt, sondern modelliert. Dabei sind viele Fragen nicht eindeutig beantwortbar. Manches sind auch ganz persönliche Vorlieben, so wie verschiedene Personen höhere Wegekosten gegenüber höherer Wegezeit sehr unterschiedlich gewichten. Eine typische Datenbeschaffungsmethode ist bisher, Menschen über einen gewissen Zeitraum Tagebuch zu ihren Mobilitätsentscheidungen führen zu lassen. (...)

ÖPNV

Dr. Tobias Kretz arbeitet in der Firma <a href="http://www.ptvgroup.com/de/willkommen-bei-der-ptv-group/">PTV Group</a> in Karlsruhe an der Modellierung und Simulation von Fußgängerströmen. Er studierte <a href="http://www.physik.kit.edu/Studium/">Physik</a> an der <a href="http://www.kit.edu/">Universität Karlsruhe</a> und behandelte in seiner Diplomarbeit Teilchen-Zerfallsprozesse. Anschließend führte ihn die Suche nach interessanten Anwendungen physikalischer Konzepte zur Arbeitsgruppe Physik von Transport und Verkehr an der <a href="https://www.uni-due.de/">Universität Duisburg-Essen</a>. Dort promovierte er im Themenfeld der Fußgängersimulation bei <a href="https://www.uni-due.de/zlv/portrait/schreckenberg.php">Prof. Schreckenberg</a>. Damit war er genau der Experte, den die ptv suchte, als sie sich entschied, die Verkehrssimulations-Software im Haus um den Aspekt der Fußgängersimulation zu erweitern. Eine erste für Karlsruhe interessante Anwendung der neuen Software <a href="http://vision-traffic.ptvgroup.com/de/produkte/ptv-viswalk/">VISWALK</a> war die <a href="https://www.youtube.com/watch?v=0II8JPtmTWo">Simulation</a> der Großveranstaltung <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Das_Fest_%28Karlsruhe%29">Das Fest</a> hier in Karlsruhe. Die Simulation von Fußgängerströmen ist eine noch junge Disziplin. Sie entwickelte sich zunächst für <a href="http://www.nature.com/nature/journal/v407/n6803/abs/407487a0.html">Evakuierungs- und Notfall-Szenarien</a>. Heute dient die Fußgängersimulationssoftware beispielsweise der Planung in großen Bahnhöfen. Denn hängt die Frage, ob man einen Anschlußzug kann, nicht auch von der Problematik ab, dass man dabei von anderen Fahrgästen behindert wird? Außerdem ist die Untersuchung der von Effizienz von Laufwegen sehr hilfreich in der Planung von Bauvorhaben. In der Fußgängersimulation werden verschiedene Methoden aus der Mathematik und Physik benutzt. In der Arbeitsgruppe von Herrn Schreckenberg waren es vor allem <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Zellul%C3%A4rer_Automat">Zellularautomaten</a>. Im nun vorhandenen Modul VISWALK wurde bei der ptv vor allem auf das <a href="https://vimeo.com/21067729">Social force Modell</a> gesetzt, das auf einem <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Newtonsche_Gesetze">Newtonschen Ansatz</a> (also dem Zusammenhang von Kraft und Beschleunigung) beruht und auf eine Beschreibung durch <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialgleichung">Differentialgleichungen</a> für die einzelnen Fußgänger führt. Dieses System muss <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Numerische_Mathematik">numerisch</a> gelöst werden. Die schrittweise Lösung entspricht dabei der zeitlichen Entwicklung der Bewegung. Die Grundidee beim Social Force Modell ist, dass man sich vorstellt, dass die am Fußgänger angreifende Kräfte seine Beschleunigung (inklusive der Richtung) verändern und damit seine Bewegung bestimmen. Das einfachste Modell ist der Wunsch das Ziel zu erreichen (driving force), denn es genügt dafür eine zum gewünschten Ziel ziehende starke Kraft. Dabei muss man aber anderen Fußgängern und Hindernissen ausweichen. Das Ausweichen kann man aber leider nicht in genau ein Modell (also genau ein erwartetes Verhalten) übersetzen; es gibt dazu einfach zu viele Einflussfaktoren. Physikalisch werden sie daher als abstoßende Kräfte im Nahfeld von anderen Fußgängern und Hindernissen modelliert. Wichtige Fragen, die im Algorithmus zu berücksichtigen sind, wären beispielsweise, wie nah geht ein typischer Fußgänger typischerweise an anderen Fußgängern vorbei geht, und welche Umwege typischerweise am attraktivsten erscheinen. Aus eigener Erfahrung kennt man den inneren Kampf, wie man mit Gruppen, die sozusagen als ein weiches Hindernis im Weg stehen, umgeht. Hindurchdrängeln vermeidet man oft. Das muss auch der Algorithmus so tun, wenn er menschliches Verhalten nachbilden soll. So kann man hier die Dichte der Gruppe in eine "Härte" des Hindernisses übersetzen. Je nachdem wie dicht gepackt der Raum ist, werden solche Entscheidungen aber auch unterschiedlich ausfallen. Berechnet wird natürlich stets die Bewegung des Schwerpunkts des Fußgängers. Für die visuelle Umsetzung im Programm wird das entsprechend graphisch aufbereitet, was natürlich auch einen gewissen Rechenaufwand verursacht. Das Modell selbst ist zeitkontinuierlich und so wird die Genauigkeit durch die für das numerische Verfahren gewählte Zeitschrittweite bestimmt. Etwa 20.000 Personen können zur Zeit in Echtzeit simuliert werden. Leider ist es im Programm bisher nahezu unmöglich zu berücksichtigen, wie sich Menschen in zusammen gehörenden Zweier- oder Dreier-Gruppen bewegen. Zum Glück ist das beispielsweise in der Simulation von Berufspendlern auf einem Bahnhof ein vernachlässigbares Phänomen. Ein weiterer Aspekt ist, dass die Ergebnisse der intern komplexen Simulation sich schließlich für den Verkehrsplaner in wenig komplexen Zahlenwerten spiegeln (wie in Dichten). Dabei muss auch eine Balance gefunden werden zwischen Komplexität des Modells und der Bedienbarkeit durch einen Verkehrsplaner im Arbeitsalltag. Zu einfache Modelle - wie solche, die nur Dichten von Personen berücksichtigen (sogenannte Makromodelle) - können eventuell nicht mehr wiedergeben, dass es in Korridoren gegenläufige Bewegungen gibt, was jedoch ein zentraler Aspekt der tatsächlichen Fußgängerbewegung ist. Daten zur <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Kalibrierung">Kalibrierung</a> dieser Modelle sind nicht so einfach zu erheben. Eine Möglichkeit ist die Auswertung von Videos (z.B. von Überwachungskameras). Dabei weiß man natürlich nichts über den Hintergrund der beobachteten Personen (Alter, Größe, Dringlichkeit des Ortswechsels). In Laborexperimenten sind diese Informationen verfügbar, aber es bleibt immer eine künstliche Umgebung, die die Realitäts-Nähe der Ergebnisse potentiell gefährdet. Ein noch ganz neuer dritter Weg ist in Zusammenarbeit mit der Arbeitsgruppe von <a href="http://isas.uka.de/User:Hanebeck">Prof. Hanebeck</a> am KIT die Beobachtung einer jeweils einzelnen echten Person in einer virtueller Umgebung am Computer. Wir unterhielten uns ausführlich über die Begleitung des Umbaus eines Straßenabschnitts in <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Stra%C3%9Fburg">Straßburg</a>. In dieser Stadt wurde ein grundlegender <a href="http://www.strasbourg.eu/developpement-rayonnement/transports-et-infrastructures/exemplarite-strasbourg/strasbourg-ville-en-marche">Plan piéton</a> beschlossen, durch den sich in den Jahren 2011-2020 die Situation für alle Verkehrsteilnehmer in der Innenstadt verändern soll. Die ptv hat konkret die Umgestaltung der Brücke Pont Kuss durch <a href="https://www.youtube.com/watch?v=YzPYwfHe0VU">Simulationen</a> begleitet. Da die Brücke auf dem direkten Weg vom Hauptbahnhof in die historische Innenstadt liegt, ist das Fußgängeraufkommen dort besonders hoch und wurde zur Untermauerung der Notwendigkeit eines Umbaus sorgfältig gezählt. Obwohl aus den Daten klar hervorging, dass die Verteilung des öffentlichen Raums hier dringend geändert werden sollte (mehr Platz für Fußgänger, weniger Spuren für PKW) konnte darüber hinaus die Simulation zeigen, dass durch die Einengung der Fahrspuren kein zu großer Nachteil für den Autoverkehr entsteht. In der städtischen Verkehrsplanung können Schwerpunkte (wie so ein Fußgängerplan in Straßburg) häufig durch Personen in der Verwaltung stark beeinflusst werden. Die faire Verteilung von öffentlichem Raum wird uns aber in der Zukunft noch sehr stark beschäftigen. Hier ist auch die Frage der Behandlung von Radfahrern im Stadtverkehr ein Modellierungs-Problem mit vielen offenen Fragen. Die Verwendung von Simulationen in kritischen bzw. Gefahren-Situationen ist auch nicht trivial. So hat es sich als unrealistisch erwiesen, im Zeitraffer vorausberechnete Situationen als Hilfestellung für Entscheidungen zu benutzen. Man braucht in solchen Situationen Ergebnisse, die in wenigen Augenblicken gute Ratschläge geben, wie Fußgängerströme geleitet werden sollten. Das geht zum Glück häufig über Makromodelle, die nur die Dichten beachten. Dies sind einfach genug analysierbare und dabei aussagekräftige Größen in einer Krisensituation. Neue Aufgaben für die Verbesserung von Fußgänger-Simulationen stellen sich jedes Jahr. Ein wichtiger Aspekt ist im Moment, dass die Software-Umsetzung sehr viel stärker parallelisiert werden muss, um leistungsstärker werden zu können. <h1>Literatur und weiterführende Informationen</h1> <ul><li> <a href="http://www.nature.com/nature/journal/v407/n6803/abs/407487a0.html">D. Helbing, I. Farkas, T. Vicsek: Simulating dynamical features of escape panic,</a> Nature 407 (2000) 487-490. </li><li> <a href="http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0378437101001418">C. Burstedde e.a.: Simulation of pedestrian dynamics using a two-dimensional cellular automaton,</a> Physica A: Statistical Mechanics and its Applications 295 3–4 (2001) 507–525.</li><li> <a href="https://trid.trb.org/view.aspx?id=340098">P.G. Gipps: Simulation of pedestrian traffic in buildings,</a> Schriftenreihe Institut für Verkehrswesen Universität Karlsruhe (1987).</li><li> <a href="https://scholar.google.de/citations?view_op=view_citation&amp;hl=de&amp;user=2V50d90AAAAJ&amp;sortby=pubdate&amp;citation_for_view=2V50d90AAAAJ:mB3voiENLucC">T. Kretz, F. Reutenauer, F. Schubert: Multi-Modal Simulation-Based Planning For Pedestrians,</a> 92nd Annual Meeting of the Transportation Research Board (2013).</li><li> <a href="https://scholar.google.de/citations?view_op=view_citation&amp;hl=de&amp;user=2V50d90AAAAJ&amp;sortby=pubdate&amp;citation_for_view=2V50d90AAAAJ:k_IJM867U9cC">J. Bamberger e.a.: Crowd Research at School: Crossing Flows,</a> Traffic and Granular Flow (2013) 137-144, Springer-Verlag.</li><li> <a href="https://scholar.google.de/citations?view_op=view_citation&amp;hl=de&amp;user=2V50d90AAAAJ&amp;sortby=pubdate&amp;citation_for_view=2V50d90AAAAJ:YFjsv_pBGBYC">T. Kretz: A Link to Practice – a Reply to Urs Walter's Opening Presentation at PED 2012,</a> Transportation Research Procedia, Special Issue PED 2014, 177–182, Elsevier Verlag.</li></ul> <h1>Podcasts und Videos</h1> <ul><li> <a href="https://www.youtube.com/user/ptvvision">PTV Youtube-Kanal</a></li><li> <a href="http://modellansatz.de/fussgaenger">H. Benner: Fußgänger</a>, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 43, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2015. <a href="http://modellansatz.de/fussgaenger">http://modellansatz.de/fussgaenger</a></li><li> <a href="http://modellansatz.de/verkehrswesen">U. Leyn: Verkehrswesen</a>, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 88, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. <a href="http://modellansatz.de/verkehrswesen">http://modellansatz.de/verkehrswesen</a></li><li> <a href="http://modellansatz.de/unfallvorhersage">M. Petersen: Unfallvorhersage</a>, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 29, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014. <a href="http://modellansatz.de/unfallvorhersage">http://modellansatz.de/unfallvorhersage</a></li></ul>

Modellansatz 090

Dr. Tobias Kretz arbeitet in der Firma PTV Group in Karlsruhe an der Modellierung und Simulation von Fußgängerströmen. Er studierte Physik an der Universität Karlsruhe und behandelte in seiner Diplomarbeit Teilchen-Zerfallsprozesse. Anschließend führte ihn die Suche nach interessanten Anwendungen physikalischer Konzepte zur Arbeitsgruppe Physik von Transport und Verkehr an der Universität Duisburg-Essen. Dort promovierte er im Themenfeld der Fußgängersimulation bei Prof. Schreckenberg. Damit war er genau der Experte, den die ptv suchte, als sie sich entschied, die Verkehrssimulations-Software im Haus um den Aspekt der Fußgängersimulation zu erweitern. Eine erste für Karlsruhe interessante Anwendung der neuen Software VISWALK war die Simulation der Großveranstaltung Das Fest hier in Karlsruhe. Die Simulation von Fußgängerströmen ist eine noch junge Disziplin. Sie entwickelte sich zunächst für Evakuierungs- und Notfall-Szenarien. Heute dient die Fußgängersimulationssoftware beispielsweise der Planung in großen Bahnhöfen. Denn hängt die Frage, ob man einen Anschlußzug kann, nicht auch von der Problematik ab, dass man dabei von anderen Fahrgästen behindert wird? Außerdem ist die Untersuchung der von Effizienz von Laufwegen sehr hilfreich in der Planung von Bauvorhaben. In der Fußgängersimulation werden verschiedene Methoden aus der Mathematik und Physik benutzt. In der Arbeitsgruppe von Herrn Schreckenberg waren es vor allem Zellularautomaten. Im nun vorhandenen Modul VISWALK wurde bei der ptv vor allem auf das Social force Modell gesetzt, das auf einem Newtonschen Ansatz (also dem Zusammenhang von Kraft und Beschleunigung) beruht und auf eine Beschreibung durch Differentialgleichungen für die einzelnen Fußgänger führt. Dieses System muss numerisch gelöst werden. Die schrittweise Lösung entspricht dabei der zeitlichen Entwicklung der Bewegung. Die Grundidee beim Social Force Modell ist, dass man sich vorstellt, dass die am Fußgänger angreifende Kräfte seine Beschleunigung (inklusive der Richtung) verändern und damit seine Bewegung bestimmen. Das einfachste Modell ist der Wunsch das Ziel zu erreichen (driving force), denn es genügt dafür eine zum gewünschten Ziel ziehende starke Kraft. Dabei muss man aber anderen Fußgängern und Hindernissen ausweichen. Das Ausweichen kann man aber leider nicht in genau ein Modell (also genau ein erwartetes Verhalten) übersetzen; es gibt dazu einfach zu viele Einflussfaktoren. Physikalisch werden sie daher als abstoßende Kräfte im Nahfeld von anderen Fußgängern und Hindernissen modelliert. Wichtige Fragen, die im Algorithmus zu berücksichtigen sind, wären beispielsweise, wie nah geht ein typischer Fußgänger typischerweise an anderen Fußgängern vorbei geht, und welche Umwege typischerweise am attraktivsten erscheinen. Aus eigener Erfahrung kennt man den inneren Kampf, wie man mit Gruppen, die sozusagen als ein weiches Hindernis im Weg stehen, umgeht. Hindurchdrängeln vermeidet man oft. (...)

Fußgängermodelle

This is the first of four conversation Gudrun had during the <a href="https://sites.google.com/site/bamc2016oxford/">British Applied Mathematics Colloquium</a> which took place 5th – 8th of April 2016 in Oxford. <a href="http://www.personal.reading.ac.uk/~wp030929">Josie Dodd</a> finished her <a href="http://www.met.reading.ac.uk/pg-taught/">Master's</a> in Mathematical and Numerical Modelling of the Atmosphere and Oceans at the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/University_of_Reading">University of Reading</a>. In her PhD project she is working in the <a href="http://www.reading.ac.uk/maths-and-stats/research/mbresearch/maths-mbresearch-home.aspx"> Mathematical Biology Group</a> inside the <a href="http://www.reading.ac.uk/maths-and-stats/">Department of Mathematics and Statistics</a> in Reading. In this group she develops models that describe plant and canopy growth of the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Vigna_subterranea">Bambara Groundnut</a> - especially the plant interaction when grown as part of a crop. The project is interdisciplinary and interaction with biologists is encouraged by the funding entity. Why is this project so interesting? In general, the experimental effort to understand crop growth is very costly and takes a lot of time. So it is a great benefit to have cheaper and faster computer experiments. The project studies the Bambara Groundnut since it is a candidate for adding to our food supply in the future. It is an remarkably robust crop, draught tolerant and nitrogent inriching, which means the production of yield does not depend on fertilizer. The typical plant grows 150 days per year. The study will find results for which verfication and paramater estimations from actual green house data is available. On the other hand, all experience on the modelling side will be transferable to other plants up to a certain degree. The construction of the mathematical model includes finding equations which are simple enough but cover the main processes as well as numerical schemes which solve them effectively. At the moment, temperature and solar radiation are the main input to the model. In the future, it should include rain as well. Another important parameter is the placement of the plants - especially in asking for arrangements which maximize the yield. Analyzing the available data from the experimental partners leads to three nonlinear <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinary_differential_equation">ODEs</a> for each plant. Also, the leave production has a <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution">Gaussian distribution</a> relationship with time and temperature. The results then enter the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Biomass">biomass</a> equation. The growth process of the plant is characterized by a change of the rate of change over time. This is a property of the plant that leads to nonlinearity in the equations. Nevertheless, the model has to stay as simple as possible, while firstly, bridging the gap to complicated and more precise models, and secondly, staying interpretable to make people able to use it and understand its behaviour as non-mathematicians. This is the main group for which the models should be a useful tool. So far, the model for interaction with neighbouring plants is the computational more costly part, where - of course - geometric consideration of overlapping have to enter the model. Though it does not yet consider many plants (since green house sized experimental data are available) the model scales well to a big number of plants due to its inherent symmetries. Since at the moment the optimizaition of the arrangements of plants has a priority - a lot of standardization and simplifying assumptions are applied. So for the future more parameters such as the input of water should be included, and it would be nice to have more scales. Such additional scales would be to include the roots system or other biological processes inside the plant. Of course, the green house is well controlled and available field data are less precise due to the difficulty of measurements in the field. During her work on the project and as a tutor Josie Dodd found out that she really likes to do computer programming. Since it is so applicable to many things theses skills open a lot of doors. Therefore, she would encourage everybody to give it a try. <h1>Literature and additional material</h1> <ul><li> <a href="http://www.cropsforthefuture.org/Crops_For_the_Future-@-LandingArticle.aspx#sthash.ve3mT5wn.dpbs;">Crops for the Future website</a></li><li> <a href="http://eprints.nottingham.ac.uk/10840/1/Asha-Karunaratne-PhDthesis.pdf">Asha Sajeewani Karunaratne: Modelling the response of Bambara groundnut (Vigna subterranea (L.) Verdc) for abiotic stress</a>, PhD thesis, University of Nottingham (2009).</li><li> <a href="http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0168192310000948">A.S. Karunaratne e.a.: Modelling the canopy development of bambara groundnut</a>, Agricultural and Forest Meteorology 150, (7–8) 2010, 1007–1015.</li></ul>

Modellansatz 089

This is the first of four conversation Gudrun had during the British Applied Mathematics Colloquium which took place 5th – 8th of April 2016 in Oxford. Josie Dodd finished her Master's in Mathematical and Numerical Modelling of the Atmosphere and Oceans at the University of Reading. In her PhD project she is working in the Mathematical Biology Group inside the Department of Mathematics and Statistics in Reading. In this group she develops models that describe plant and canopy growth of the Bambara Groundnut - especially the plant interaction when grown as part of a crop. The project is interdisciplinary and interaction with biologists is encouraged by the funding entity. Why is this project so interesting? In general, the experimental effort to understand crop growth is very costly and takes a lot of time. So it is a great benefit to have cheaper and faster computer experiments. The project studies the Bambara Groundnut since it is a candidate for adding to our food supply in the future. It is an remarkably robust crop, draught tolerant and nitrogent inriching, which means the production of yield does not depend on fertilizer. The typical plant grows 150 days per year. The study will find results for which verfication and paramater estimations from actual green house data is available. On the other hand, all experience on the modelling side will be transferable to other plants up to a certain degree. The construction of the mathematical model includes finding equations which are simple enough but cover the main processes as well as numerical schemes which solve them effectively. At the moment, temperature and solar radiation are the main input to the model. In the future, it should include rain as well. Another important parameter is the placement of the plants - especially in asking for arrangements which maximize the yield. Analyzing the available data from the experimental partners leads to three nonlinear ODEs for each plant. Also, the leave production has a Gaussian distribution relationship with time and temperature. The results then enter the biomass equation. The growth process of the plant is characterized by a change of the rate of change over time. This is a property of the plant that leads to nonlinearity in the equations. Nevertheless, the model has to stay as simple as possible, while firstly, bridging the gap to complicated and more precise models, and secondly, staying interpretable to make people able to use it and understand its behaviour as non-mathematicians. This is the main group for which the models should be a useful tool. So far, the model for interaction with neighbouring plants is the computational more costly part, where - of course - geometric consideration of overlapping have to enter the model. Though it does not yet consider many plants (since green house sized experimental data are available) the model scales well to a big number of plants due to its inherent symmetries. (...)

Crop Growth

Im Gespräch mit <a href="https://www.ifv.kit.edu/21_157.php">Ulrike Leyn</a> wollten wir den Blick auf Aufgaben im heutigen Verkehrswesen richten. Wir begannen die Unterhaltung damit, zu erkunden, auf welchem Weg Ulrike Leyn zum Verkehrswesen gekommen ist und schließlich für das Thema Feuer gefangen hat. Am Anfang stand wohl ihre Entscheidung für das Studienfach <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaftsingenieurwesen">Wirtschaftsingenieurwesen</a> aus dem einfachen und sehr nachvollziehbaren Grund, sich damit thematisch nicht so stark festlegen zu müssen und im Anschluss sehr viele auch sehr verschiedenartige Möglichkeiten des beruflichen Einstiegs zu haben. Im Wirtschaftsingenieurwesen gibt es je nach Universität verschiedene Ausbildungsstrategien. An einigen muss man sich zu Beginn auf eine Ingenieurdisziplin festlegen, die dann mit ökonomischen Fächern kombiniert wird. In Karlsruhe ist die Ausbildung jedoch ingenieurtechnisch sehr breit angelegt. Es werden also Grundlagen für sehr verschiedene Ingenieurwissenschaften im Studium gelehrt und erst in der Vertiefung erfolgt eine Spezialisierung nach eigener Neigung. Außerdem ist auch der Anteil zwischen ökonomisch ausgerichteten und ingenieurstechnischen Fächern am Karlsruher Institut für Technologie (KIT) je nach persönlicher Wahl stark variabel. Das waren zwei Aspekte, die Ulrike Leyn darin bestärkten in Karlsruhe zu studieren. Für sie war es schließlich die Wahl der Fächerkombination 'Grundlagen der Raum- und Infrastrukturplanung', die zum ersten Schritt in die Richtung Verkehrwsesen wurde. Die Interdisziplinarität des Themas hat sie von Anfang an sehr angesprochen. Deshalb schrieb sie schließlich auch ihre Diplomarbeit am <a href="https://www.ifv.kit.edu/">Institut für Verkehrswesen</a>. Direkt im Anschluss begann sie, als wissenschaftliche Mitarbeiterin am Institut zu arbeiten. In ihrer jetzigen Tätigkeit im Verkehrswesen kann Ulrike Leyn vor allem ausnutzen, dass sie im Studium gelernt hat, sich in sehr viele verschiedene Probleme selbstständig einzuarbeiten. Außerdem erwies sich ihre Tätigkeit als Tutorin der Vorlesung Programmieren in Java als sehr hilfreich, um Simulationen anzupassen und automatisiert auszuwerten. In Karlsruhe am KIT ist Verkehrswesen als Teil des Bauingenieurwesens an der <a href="http://www.bgu.kit.edu/">KIT-Fakultät für Bauingenieur-, Geo- und Umweltwissenschaften</a> etabiliert. Inzwischen gibt es auch einen eigenen Master-Studiengang <a href="http://www.bgu.kit.edu/mob_infra_msc.php">Mobilität und Infrastruktur</a>. Neben der Möglichkeit als Ingenieurs-Vertiefung im Wirtschaftsingenieurwesen (und der technischen VWL) kann es auch als Zusatzfach in Informatik, Physik oder Wirtschaftsmathematik gewählt werden oder als technisches Fach im <a href="http://www.math.kit.edu/lehre/seite/ma-tema/">Master Technomathematik</a>. Die <a href="https://www.ifv.kit.edu/28.php">Lehrangebote</a> des Instituts erstrecken sich über mehrere Bereiche. Das Projekt, an dem Ulrike Leyn für lange Zeit gearbeitet hat und das gerade abgeschlossen wurde, soll die Möglichkeit bieten, Verkehrs-Simulation auf Computern so zu verwenden, dass man sie einfacher als Ergänzung bzw. Ersatz der Richtlinien im <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Handbuch_f%C3%BCr_die_Bemessung_von_Stra%C3%9Fenverkehrsanlagen">Handbuch für die Bemessung von Straßenverkehrsanlagen (HBS)</a> einsetzen kann. Diese Richtlinie hilft die Qualitätsstufe von Anlagen einzuschätzen. Allerdings - insbesondere bei Nicht-Standard-Situationen ist es heute schon üblich, statt der stark vereinfachenden Rechnungen nach dieser Richtlinie, Simulationen zu benutzen. Denn die Voraussetzungen für die Anwendung der Richtlinien sind nur dann gegeben, wenn auch vorher Richtlinen-getreu gebaut wurde für Normalverkehrssituationen. Ein Schwerpunkt der Untersuchungen waren Autobahnen, wo z.B. Ein- und Ausfahrten und starke Anstiege besondere Herausforderungen an die Modellierung stellen. Das Ziel war kurz gesagt das Finden von Parametern, bei denen die durch Simulation erzeugten Ergebnisse denen nach der Richtlinie berechneten entsprechen. Das klingt einfacher als es ist. Ein generelles Problem ist beispielsweise, dass es häufig nicht genug verlässliche Verkehrsdaten gibt bzw. die Güte der Daten nicht offensichtlich ist. Trotzdem soll mit den so gefundenen Einstellungen der Realität möglichst gut entsprechende Simulationen möglich werden - sogar falls keine Daten vorhanden sind - wenn man nun mit den Einstellungen arbeitet, die im Projekt gefunden wurden. Die Parameter sind zugeschnitten auf die Situation auf deutschen Autobahnen (also auch ohne Tempolimit). Der Einfluss verschieden großer Anteile von Schwerverkehr auf der Autobahn wurde untersucht und als etwas vereinfachender Standard dann 10% gewählt. Es gibt neben Standard-LKWs auch längere Zugverbände, die dann mehr Platz brauchen. Das wird auch beim Einfädeln relevant. Bei der Bewertung der Güte der Modelle werden vor allem Endergebnisse von Simulationen für festgelegte makroskopische Größen wie z.B. die Kapazität der Strecke (nämlich typischerweise etwa 2000 PKW-Einheiten pro Fahrstreifen pro Stunde) zugrunde gelegt. Das Messen der Kapazität ist aber gar nicht so einfach, weil man eigentlich nur konkrete Fahrzeuganzahlen pro Zeit- oder Raumeinheit der Simulation oder der Realität entnehmen kann. Die Kapazität ist die Obergrenze für realisierbare Dichten, also das, was kurz vor dem Zusammenbrechen des Verkehrs als maximaler Zustand vorliegt. Eine Verkehrssimulation zum zusammenbrechen zu bringen ist aber nicht so einfach, weil es nicht vorgesehen ist. Verkehrswesen hat viele sehr unterschiedliche Aspekte. Sie reichen von sehr technisch motivierten Arbeitsbildern zu mehr soziologisch geprägten. Letztere sind z.B. Fragen, warum Wege zurückgelegt werden, wie Verkehrsmittel ausgewählt werden und Veränderungen hierbei. Außerdem sind u.a. autonomes Fahren und Elektromobilität neue und spannende Themen. <h1>Literatur und weiterführende Informationen</h1> <ul><li> <a href="http://www.ifv.kit.edu/Forschung_Bast_HBS.php">HBS-konforme Simulation des Verkehrsablaufs auf Autobahnen</a></li><li> <a href="http://www.wiwi.kit.edu/studienProg.php">Informationen für Studieninteressierte Wirtschaftswissenschaften am KIT</a></li><li> <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Handbuch_f%C3%BCr_die_Bemessung_von_Stra%C3%9Fenverkehrsanlagen">Handbuch für die Bemessung von Straßenverkehrsanlagen</a> </li></ul> <h1>Podcasts</h1> <ul><li> <a href="http://modellansatz.de/klothoiden">G.Heller: Klothoiden</a>, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 50, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2015. <a href="http://modellansatz.de/klothoiden">http://modellansatz.de/klothoiden</a></li><li> <a href="http://modellansatz.de/fussgaenger">H.Benner: Fußgänger</a>, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 43, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2015. <a href="http://modellansatz.de/fussgaenger">http://modellansatz.de/fussgaenger</a></li><li> <a href="http://modellansatz.de/logistik">L. Osovtsova: Logistik und Big Data</a>, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 33, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014. <a href="http://modellansatz.de/logistik">http://modellansatz.de/logistik</a></li><li> <a href="http://modellansatz.de/unfallvorhersage">M. Petersen: Unfallvorhersage</a>, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 29, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014. <a href="http://modellansatz.de/unfallvorhersage">http://modellansatz.de/unfallvorhersage</a></li><li> <a href="http://modellansatz.de/laermschutz">T. Arens: Lärmschutz</a>, Gespräch mit S. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 16, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014. <a href="http://modellansatz.de/laermschutz">http://modellansatz.de/laermschutz</a></li></ul>

Modellansatz 088

Im Gespräch mit Ulrike Leyn wollten wir den Blick auf Aufgaben im heutigen Verkehrswesen richten. Wir begannen die Unterhaltung damit, zu erkunden, auf welchem Weg Ulrike Leyn zum Verkehrswesen gekommen ist und schließlich für das Thema Feuer gefangen hat. Am Anfang stand wohl ihre Entscheidung für das Studienfach Wirtschaftsingenieurwesen aus dem einfachen und sehr nachvollziehbaren Grund, sich damit thematisch nicht so stark festlegen zu müssen und im Anschluss sehr viele auch sehr verschiedenartige Möglichkeiten des beruflichen Einstiegs zu haben. Im Wirtschaftsingenieurwesen gibt es je nach Universität verschiedene Ausbildungsstrategien. An einigen muss man sich zu Beginn auf eine Ingenieurdisziplin festlegen, die dann mit ökonomischen Fächern kombiniert wird. In Karlsruhe ist die Ausbildung jedoch ingenieurtechnisch sehr breit angelegt. Es werden also Grundlagen für sehr verschiedene Ingenieurwissenschaften im Studium gelehrt und erst in der Vertiefung erfolgt eine Spezialisierung nach eigener Neigung. Außerdem ist auch der Anteil zwischen ökonomisch ausgerichteten und ingenieurstechnischen Fächern am Karlsruher Institut für Technologie (KIT) je nach persönlicher Wahl stark variabel. Das waren zwei Aspekte, die Ulrike Leyn darin bestärkten in Karlsruhe zu studieren. Für sie war es schließlich die Wahl der Fächerkombination 'Grundlagen der Raum- und Infrastrukturplanung', die zum ersten Schritt in die Richtung Verkehrwsesen wurde. Die Interdisziplinarität des Themas hat sie von Anfang an sehr angesprochen. Deshalb schrieb sie schließlich auch ihre Diplomarbeit am Institut für Verkehrswesen. Direkt im Anschluss begann sie, als wissenschaftliche Mitarbeiterin am Institut zu arbeiten. In ihrer jetzigen Tätigkeit im Verkehrswesen kann Ulrike Leyn vor allem ausnutzen, dass sie im Studium gelernt hat, sich in sehr viele verschiedene Probleme selbstständig einzuarbeiten. Außerdem erwies sich ihre Tätigkeit als Tutorin der Vorlesung Programmieren in Java als sehr hilfreich, um Simulationen anzupassen und automatisiert auszuwerten. In Karlsruhe am KIT ist Verkehrswesen als Teil des Bauingenieurwesens an der KIT-Fakultät für Bauingenieur-, Geo- und Umweltwissenschaften etabiliert. Inzwischen gibt es auch einen eigenen Master-Studiengang Mobilität und Infrastruktur. Neben der Möglichkeit als Ingenieurs-Vertiefung im Wirtschaftsingenieurwesen (und der technischen VWL) kann es auch als Zusatzfach in Informatik, Physik oder Wirtschaftsmathematik gewählt werden oder als technisches Fach im Master Technomathematik. Die Lehrangebote des Instituts erstrecken sich über mehrere Bereiche. Das Projekt, an dem Ulrike Leyn für lange Zeit gearbeitet hat und das gerade abgeschlossen wurde, soll die Möglichkeit bieten, Verkehrs-Simulation auf Computern so zu verwenden, dass man sie einfacher als Ergänzung bzw. Ersatz der Richtlinien im Handbuch für die Bemessung von Straßenverkehrsanlagen (HBS) einsetzen kann. (...)

Verkehrswesen

Sebastian Ziesche hat bei <a href="http://www.math.uni-tuebingen.de/user/zerner/">Martin Zerner</a> an der <a href="https://www.uni-tuebingen.de/">Universität in Tübingen</a> <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Perkolationstheorie">Perkolationstheorie</a> kennen gelernt und sich von der Faszination seines akademischen Lehrers anstecken lassen. Er hat nach dem Diplom in Karlsruhe in der Arbeitsgruppe von <a href="http://www.math.kit.edu/stoch/~last/">Günther Last</a> das Vorhaben verfolgt, die Perkolationsmethoden auf zufällige <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Parkettierung">Mosaike</a> zu erweitern und darüber zu promovieren. Dieses Projekt hat er Anfang 2016 erfolgreich abgeschlossen. Perkolation ist ein Modell der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Statistische_Physik">statistischen Physik</a> zur Modellierung <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Theorie_Por%C3%B6ser_Medien">poröser Strukturen</a> mit Hilfe von <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Stochastischer_Prozess">Zufallsprozessen</a>. Es geht dabei vor allem um die Quantifizierung von <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Permeabilit%C3%A4t_%28Festk%C3%B6rper%29">Durchlässigkeit</a>. Als einfachstes Beispiel kann man sich ein regelmäßiges <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Gitter_%28Geometrie%29">Gitter</a> z.B. in der Ebene oder im Raum vorstellen, in dem jeder Knoten zufällig und unabhängig von allen anderen Knoten mit Wahrscheinlichkeit 1-p entfernt wird. Eine wichtige Frage ist, wie groß <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Zusammenhang_%28Graphentheorie%29">Zusammenhangskomponenten</a> in so einer Struktur sein können. Dieses Modell hat nur einen Parameter (mit welcher Wahrscheinlichkeit p verbleibt ein Knoten im Gitter oder nicht) um verschiedene Strukturen unterscheidbar zu machen. Untersuchte Eigenschaften der Zusammenhangskomponeten bzw. Cluster sind Fragen nach deren <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Durchmesser">Durchmesser</a> oder <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Volumen">Volumen</a>. In der Regel eignet sich das Zählen von Knoten gut als Entfernungsmaß. Insbesondere die Frage, ob Cluster unendlich groß sein können erweist sich als interessant. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es unendlich große Cluster gibt, hängt von dem Parameter p ab und ist entweder 0 (unwahrscheinlich) oder 1 (d.h. fast sicher). Das liegt daran, dass nach <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Kolmogorowsches_Null-Eins-Gesetz">dem Null-Eins-Gesetz von Kolmogorov</a> Ereignisse, die nicht vom Zustand endlich vieler Knoten abhängen, nur die Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 haben können. Nach Überschreiten eines gewissen (sogenannten kritischen) Parameters wird also die Wahrscheinlichkeit, dass es einen unendlich großes Cluster gibt, von 0 auf 1 springen. Das Verhalten im ebenen Fall ist deutlich besser verstanden und zeigt im Dreiecks-Gitter eine gewisse Dualität, da immer entweder die vorhandenen oder die gelöschten Knoten einen unendlich großen Cluster bilden (außer im kritischen Fall). Im drei-dimensionalen Fall hingegen könnten unendlich große Cluster in beiden Mengen gleichzeitig existieren, falls der kritische Parameter kleiner als 1/2 ist. Mathematisch ist das gar nicht so einfach zu untersuchen. Ein typisches Verfahren ist es, Würfel der Kantenlänge n als Repräsentanten in allen möglichst vielen Realisierungen zu simulieren (die uns verfügbare Rechenleistung begrenzt dabei die Anzahl simulierbarer Realisierungen) und aus den so gewonnenen Strukturbeobachtungen auf das unendlich große Gebiet zu schließen. Die Perkolationstheorie fragt anders herum auch nach lokalen Konsequenzen aus dem Wissen um die Existenz unendlich großer Cluster. Die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Korrelationsungleichung#Die_FKG-Ungleichung">FKG-Ungleichung</a> ist hier in beiden Richtungen (von lokal nach global und umgekehrt) ein Hauptwerkzeug. Sebastian Ziesche hat die Perkolationstheorie, die auf <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Gitter_%28Geometrie%29">Gittern</a> verstanden ist, auf zufällige <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Graphentheorie">Graphen</a> erweitert. In einem zweistufigen Prozess wird also zunächst ein zufälliges Gitter erzeugt, das dann ausgedünnt wird. Ein Beispiel ist ein <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Voronoi-Diagramm">Voronoi-Mosaik</a>. Die Methoden der klassischen Perkolationstheorie müssen durch Methoden ergänzt werden, die die besonderen geometrische Eigenschaften ausnutzen. In unserem Gespräch unterhielten wir uns außerdem darüber, wie wichtig es ist, dass Wissenschaftler den richtigen Rahmen finden, um junge Leute für ihre Themen zu begeistern und dass die Arbeit am Promotionsprojekt durchaus nicht geradlinig ist sondern von (postiven wie negativen) Überraschungen geprägt ist. Vieles lässt sich zu Beginn nicht absehen. <h1>Literatur und weiterführende Informationen</h1><ul><li> <a href="http://www.springer.com/in/book/9783540649021">G.R. Grimmett: Perkolation</a>, Springer, 1999.</li><li> <a href="http://eu.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471986356.htm">A. Okabe et al.: Spatial Tessellations: Concepts and Applications of Voronoi Diagrams</a>, 2nd Ed., Wiley, 2000.</li></ul> <h1>Podcasts</h1><ul><li> <a href="http://modellansatz.de/metallschaum">A. August: Metallschaum</a>, Gespräch mit S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 37, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014. <a href="http://modellansatz.de/metallschaum">http://modellansatz.de/metallschaum</a></li></ul>

Modellansatz 087

Sebastian Ziesche hat bei Martin Zerner an der Universität in Tübingen Perkolationstheorie kennen gelernt und sich von der Faszination seines akademischen Lehrers anstecken lassen. Er hat nach dem Diplom in Karlsruhe in der Arbeitsgruppe von Günther Last das Vorhaben verfolgt, die Perkolationsmethoden auf zufällige Mosaike zu erweitern und darüber zu promovieren. Dieses Projekt hat er Anfang 2016 erfolgreich abgeschlossen. Perkolation ist ein Modell der statistischen Physik zur Modellierung poröser Strukturen mit Hilfe von Zufallsprozessen. Es geht dabei vor allem um die Quantifizierung von Durchlässigkeit. Als einfachstes Beispiel kann man sich ein regelmäßiges Gitter z.B. in der Ebene oder im Raum vorstellen, in dem jeder Knoten zufällig und unabhängig von allen anderen Knoten mit Wahrscheinlichkeit 1-p entfernt wird. Eine wichtige Frage ist, wie groß Zusammenhangskomponenten in so einer Struktur sein können. Dieses Modell hat nur einen Parameter (mit welcher Wahrscheinlichkeit p verbleibt ein Knoten im Gitter oder nicht) um verschiedene Strukturen unterscheidbar zu machen. Untersuchte Eigenschaften der Zusammenhangskomponeten bzw. Cluster sind Fragen nach deren Durchmesser oder Volumen. In der Regel eignet sich das Zählen von Knoten gut als Entfernungsmaß. Insbesondere die Frage, ob Cluster unendlich groß sein können erweist sich als interessant. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es unendlich große Cluster gibt, hängt von dem Parameter p ab und ist entweder 0 (unwahrscheinlich) oder 1 (d.h. fast sicher). Das liegt daran, dass nach dem Null-Eins-Gesetz von Kolmogorov Ereignisse, die nicht vom Zustand endlich vieler Knoten abhängen, nur die Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 haben können. Nach Überschreiten eines gewissen (sogenannten kritischen) Parameters wird also die Wahrscheinlichkeit, dass es einen unendlich großes Cluster gibt, von 0 auf 1 springen. Das Verhalten im ebenen Fall ist deutlich besser verstanden und zeigt im Dreiecks-Gitter eine gewisse Dualität, da immer entweder die vorhandenen oder die gelöschten Knoten einen unendlich großen Cluster bilden (außer im kritischen Fall). Im drei-dimensionalen Fall hingegen könnten unendlich große Cluster in beiden Mengen gleichzeitig existieren, falls der kritische Parameter kleiner als 1/2 ist. Mathematisch ist das gar nicht so einfach zu untersuchen. Ein typisches Verfahren ist es, Würfel der Kantenlänge n als Repräsentanten in allen möglichst vielen Realisierungen zu simulieren (die uns verfügbare Rechenleistung begrenzt dabei die Anzahl simulierbarer Realisierungen) und aus den so gewonnenen Strukturbeobachtungen auf das unendlich große Gebiet zu schließen. Die Perkolationstheorie fragt anders herum auch nach lokalen Konsequenzen aus dem Wissen um die Existenz unendlich großer Cluster. Die FKG-Ungleichung ist hier in beiden Richtungen (von lokal nach global und umgekehrt) ein Hauptwerkzeug. (...)

Perkolation

<a href="http://www.sam.math.ethz.ch/~mays/">Sandra May</a> works at the <a href="https://www.math.ethz.ch/sam">Seminar for Applied Mathematics</a> at <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/ETH_Zurich">ETH Zurich</a> and visited Karlsruhe for a talk at the <a href="http://www.waves.kit.edu/">CRC Wave phenomena</a>. Her research is in numerical analysis, more specifically in numerical methods for solving <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Partial_differential_equation">PDEs</a>. The focus is on <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_partial_differential_equation">hyperbolic PDEs</a> and systems of <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Conservation_law">conservation laws</a>. She is both interested in theoretical aspects (such as proving stability of a certain method) and practical aspects (such as working on high-performance implementations of algorithms). Sandra May graduated with a PhD in Mathematics from the <a href="https://www.cims.nyu.edu/">Courant Institute of Mathematical Sciences</a> (part of New York University) under the supervision of <a href="http://cims.nyu.edu/people/profiles/BERGER_Marsha.html">Marsha Berger</a>. She likes to look back on the multicultural working and learning experience there. We talked about the numerical treatment of complex geometries. The main problem is that it is difficult to <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Mesh_generation">automatically generate grids for computations on the computer</a> if the shape of the boundary is complex. Examples for such problems are the simulation of airflow around airplanes, trucks or racing cars. Typically, the approach for these flow simulations is to put the object in the middle of the grid. Appropriate far-field boundary conditions take care of the right setting of the finite computational domain on the outer boundary (which is cut from an infinite model). Typically in such simulations one is mainly interested in quantities close to the boundary of the object. Instead of using an unstructured or body-fitted grid, Sandra May is using a Cartesian embedded boundary approach for the grid generation: the object with complex geometry is cut out of a Cartesian background grid, resulting in so called cut cells where the grid intersects the object and Cartesian cells otherwise. This approach is fairly straightforward and fully automatic, even for very complex geometries. The price to pay comes in shape of the cut cells which need special treatment. One particular challenge is that the cut cells can become arbitrarily small since a priori their size is not bounded from below. Trying to eliminate cut cells that are too small leads to additional problems which conflict with the goal of a fully automatic grid generation in 3d, which is why Sandra May keeps these potentially very small cells and develops specific strategies instead. The biggest challenge caused by the small cut cells is the small cell problem: easy to implement (and therefore standard) <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Explicit_and_implicit_methods">explicit time stepping schemes</a> are only stable if a <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Courant%E2%80%93Friedrichs%E2%80%93Lewy_condition">CFL condition</a> is satisfied; this condition essentially couples the time step length to the spatial size of the cell. Therefore, for the very small cut cells one would need to choose tiny time steps, which is computationally not feasible. Instead, one would like to choose a time step appropriate for the Cartesian cells and use this same time step on cut cells as well. Sandra May and her co-workers have developed a mixed explicit implicit scheme for this purpose: to guarantee stability on cut cells, an implicit time stepping method is used on cut cells. This idea is similar to the approach of using implicit time stepping schemes for solving <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Stiff_equation">stiff</a> systems of ODEs. As implicit methods are computationally more expensive than explicit methods, the implicit scheme is only used where needed (namely on cut cells and their direct neighbors). In the remaining part of the grid (the vast majority of the grid cells), a standard explicit scheme is used. Of course, when using different schemes on different cells, one needs to think about a suitable way of coupling them. The mixed explicit implicit scheme has been developed in the context of <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Finite_volume_method">Finite Volume methods</a>. The coupling has been designed with the goals of mass conservation and stability and is based on using <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Flux">flux</a>es to couple the explicit and the implicit scheme. This way, mass conservation is guaranteed by construction (no mass is lost). In terms of stability of the scheme, it can be shown that using a second-order explicit scheme coupled to a first-order implicit scheme by flux bounding results in a <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Total_variation_diminishing">TVD</a> stable method. Numerical results for coupling a second-order explicit scheme to a second-order implicit scheme show second-order convergence in the L^1 norm and between first- and second-order convergence in the maximum norm along the surface of the object in two and three dimensions. We also talked about the general issue of handling shocks in numerical simulations properly: in general, solutions to nonlinear hyperbolic systems of conservation laws such as the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_equations_%28fluid_dynamics%29">Euler equations</a> contain shocks and contact discontinuities, which in one dimension express themselves as jumps in the solution. For a second-order finite volume method, typically slopes are reconstructed on each cell. If one reconstructed these slopes using e.g. central difference quotients in one dimension close to shocks, this would result in oscillations and/or unphysical results (like negative density). To avoid this, so called slope limiters are typically used. There are two main ingredients to a good slope limiter (which is applied after an initial polynomial based on interpolation has been generated): first, the algorithm (slope limiter) needs to detect whether the solution in this cell is close to a shock or whether the solution is smooth in the neighborhood of this cell. If the algorithm thinks that the solution is close to a shock, the algorithm reacts and adjusts the reconstruted polynomial appropriately. Otherwise, it sticks with the polynomial based on interpolation. One commonly used way in one dimension to identify whether one is close to a shock or not is to compare the values of a right-sided and a left-sided difference quotient. If they differ too much the solution is (probably) not smooth there. Good reliable limiters are really difficult to find. <h1>Literature and additional material</h1> <ul><li> <a href="http://www.sam.math.ethz.ch/sam_reports/reports_final/reports2015/2015-44_fp.pdf">S. May, M. Berger: An Explicit Implicit Scheme for Cut Cells in Embedded Boundary Meshes</a>, Preprint available as SAM report, number 2015-44, 2015.</li><li> <a href="http://www.springer.com/it/book/9783319056838">S. May, M. Berger: A mixed explicit implicit time stepping scheme for Cartesian embedded boundary meshes</a>, Finite Volumes for Complex Applications VII - Methods and Theoretical Aspects, pp. 393-400, Springer, 2014.</li><li> <a href="http://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/120875624">S. May, M. Berger: Two-dimensional slope limiters for finite volume schemes on non-coordinate-aligned meshes</a>, SIAM J. Sci. Comput. 35 (5) pp. A2163-A2187, 2013.</li></ul>

Modellansatz 086

Sandra May works at the Seminar for Applied Mathematics at ETH Zurich and visited Karlsruhe for a talk at the CRC Wave phenomena. Her research is in numerical analysis, more specifically in numerical methods for solving PDEs. The focus is on hyperbolic PDEs and systems of conservation laws. She is both interested in theoretical aspects (such as proving stability of a certain method) and practical aspects (such as working on high-performance implementations of algorithms). Sandra May graduated with a PhD in Mathematics from the Courant Institute of Mathematical Sciences (part of New York University) under the supervision of Marsha Berger. She likes to look back on the multicultural working and learning experience there. We talked about the numerical treatment of complex geometries. The main problem is that it is difficult to automatically generate grids for computations on the computer if the shape of the boundary is complex. Examples for such problems are the simulation of airflow around airplanes, trucks or racing cars. Typically, the approach for these flow simulations is to put the object in the middle of the grid. Appropriate far-field boundary conditions take care of the right setting of the finite computational domain on the outer boundary (which is cut from an infinite model). Typically in such simulations one is mainly interested in quantities close to the boundary of the object. Instead of using an unstructured or body-fitted grid, Sandra May is using a Cartesian embedded boundary approach for the grid generation: the object with complex geometry is cut out of a Cartesian background grid, resulting in so called cut cells where the grid intersects the object and Cartesian cells otherwise. This approach is fairly straightforward and fully automatic, even for very complex geometries. The price to pay comes in shape of the cut cells which need special treatment. One particular challenge is that the cut cells can become arbitrarily small since a priori their size is not bounded from below. Trying to eliminate cut cells that are too small leads to additional problems which conflict with the goal of a fully automatic grid generation in 3d, which is why Sandra May keeps these potentially very small cells and develops specific strategies instead. The biggest challenge caused by the small cut cells is the small cell problem: easy to implement (and therefore standard) explicit time stepping schemes are only stable if a CFL condition is satisfied; this condition essentially couples the time step length to the spatial size of the cell. Therefore, for the very small cut cells one would need to choose tiny time steps, which is computationally not feasible. Instead, one would like to choose a time step appropriate for the Cartesian cells and use this same time step on cut cells as well. (...)

Complex Geometries

Jens Babutzka hat Anfang 2016 seine Promotion an der KIT-Fakultät für Mathematik verteidigt. Das Gespräch dreht sich um einen Teil seiner Forschungsarbeit - dem Nachweis der Gültigkeit der sogenannten <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Helmholtz-Theorem">Helmholtz Zerlegung</a> im Kontext von Gebieten mit einer sich periodisch wiederholenden Geometrie. Das lässt sich für die Untersuchung von <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Photonischer_Kristall">photonischen Kristallen</a> ausnutzen unter der Wirkung einer Zeit-<a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingung#Harmonische_Schwingung">harmonischen</a> <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Wellengleichung">Wellengleichung</a>. Für die Untersuchung von partiellen Differentialgleichungen auf Lösbarkeit, Eindeutigkeit der Lösungen und deren Regularität gibt es verschiedene Grundwerkzeuge. Eines ist die Helmholtz Zerlegung. Falls sie in einem Raum möglich ist, kann man jedes Vektorfeld des Raumes eindeutig aufteilen in zwei Anteile: einen <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Gradientenfeld">Gradienten</a> und einen zweiten Teil, der unter der Anwendung der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Divergenz_eines_Vektorfeldes">Divergenz</a> das Ergebnis Null hat (man nennt das auch divergenzfrei). Wann immer Objekte miteinander <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarmultiplikation">skalar multipliziert</a> werden, von denen eines ein Gradient ist und das andere divergenzfrei, ist das Ergebnis Null. Anders ausgedrückt: sie stehen <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalit%C3%A4t">senkrecht</a> aufeinander. Die Untersuchung der partiellen Differentialgleichung lässt sich dann vereinfachen, indem eine <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Projektion_%28Lineare_Algebra%29">Projektion</a> auf den Teilraum der divergenzfreien Funktionen erfolgt und erst im Anschluss die Gradienten wieder "dazu" genommen, also gesondert behandelt werden. Da die Eigenschaft divergenzfrei auch physikalisch als Quellenfreiheit eine Bedeutung hat und alle Gradienten wirbelfrei sind, ist für verschiedene Anwendungsfälle sowohl mathematisch als auch physikalisch motivierbar, dass die Aufteilung im Rahmen der Helmholtz Zerlegung hilfreich ist. Im Kontext der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Str%C3%B6mungsmechanik">Strömungsmechanik</a> ist die Bedingung der Divergenzfreiheit gleichbedeutend mit <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Inkompressibles_Fluid">Inkompressibilität</a> des fließenden Materials (dh. Volumina ändern sich nicht beim Einwirken mechanischer Kräfte). Für das <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Maxwell-Gleichungen">Maxwell-System</a> kann es sowohl für das <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetismus">magnetische</a> als auch für das <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Elektrisches_Feld">elektrische Feld</a> Divergenzfreiheitsbedingungen geben. Ob die Helmholtz Zerlegung existiert, ist im Prinzip für viele Räume interessant. Grundbausteine für die Behandlung der partiellen Differentialgleichungen im Kontext der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Funktionalanalysis">Funktionalanalysis</a> sind die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Lp-Raum">Lebesgue-Räume</a> <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$L%5Eq%28%5COmega%29$&amp;sig=7824b0a2dc378b460d8a8a6791473a8f" alt="L^q(\Omega)" title="L^q(\Omega)" style="vertical-align: middle" width="33" height="14" />. Eine <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Distribution_%28Mathematik%29">(verallgemeinerte) Funktion</a> ist in <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$L%5Eq%28%5COmega%29$&amp;sig=7824b0a2dc378b460d8a8a6791473a8f" alt="L^q(\Omega)" title="L^q(\Omega)" style="vertical-align: middle" width="33" height="14" />, wenn das Integral (des Betrags) der q-ten Potenz der Funktion über Omega existiert. Eine Sonderrolle spielt hier der Fall <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$q%3D2$&amp;sig=efbb78bdff4ef8b5f885840128221b8c" alt="q=2" title="q=2" style="vertical-align: middle" width="32" height="12" />, weil dieser <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum">Raum ein Skalarprodukt</a> hat. Das gibt ihm eine sehr klare Struktur. Darüber hinaus ist er zu sich selbst <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum">dual</a>. Unter anderem führt das dazu, dass die Helmholtz Zerlegung in <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$L%5E2%28%5COmega%29$&amp;sig=57fde8823d25d4ff4911d16d059600c9" alt="L^2(\Omega)" title="L^2(\Omega)" style="vertical-align: middle" width="34" height="14" /> für beliebige Gebiete <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$%5COmega$&amp;sig=28de55c67872ee177f1dc3e726206300" alt="\Omega" title="\Omega" style="vertical-align: middle" width="10" height="9" /> mit genügend glattem Rand immer existiert. Wenn <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$q$&amp;sig=3e3840aa63e781acede64cf357279349" alt="q" title="q" style="vertical-align: middle" width="7" height="9" /> nicht <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$2$&amp;sig=ab78d797deeed141851a08ee81f849f4" alt="2" title="2" style="vertical-align: middle" width="7" height="9" /> ist, sind Gebiete <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$%5COmega$&amp;sig=28de55c67872ee177f1dc3e726206300" alt="\Omega" title="\Omega" style="vertical-align: middle" width="10" height="9" /> bekannt, in denen die Helmholtz Zerlegung existiert, aber auch Gegenbeispiele. Insbesondere bei der Behandlung von nichtlinearen Problemen reicht es aber häufig nicht, sich auf den Fall <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$q%3D2$&amp;sig=efbb78bdff4ef8b5f885840128221b8c" alt="q=2" title="q=2" style="vertical-align: middle" width="32" height="12" /> zu beschränken, sondern die Helmholtz Zerlegung für möglichst viele <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$q$&amp;sig=3e3840aa63e781acede64cf357279349" alt="q" title="q" style="vertical-align: middle" width="7" height="9" /> wird eine wesentliche Voraussetzung für die weitere Theorie. Das liegt u.a. an der dann verfügbaren <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Einbettung_%28Mathematik%29">Einbettung</a> in Räume mit punktweisen Eigenschaften. Jens Babutzka hat in seiner Promotion unter anderem bewiesen, dass die Helmholtz Zerlegung für <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$L%5Eq$&amp;sig=958f5128dba5782acb6bed4f878b19f3" alt="L^q" title="L^q" style="vertical-align: middle" width="14" height="9" />-Räume für die Gebiete mit einer sich periodisch wiederholenden Struktur gilt. Mathematisch muss er hierfür nachweisen, dass das <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Schwache_L%C3%B6sung">schwache</a> <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Neumann-Randbedingung#Das_Neumannproblem_2">Neumannproblem</a> immer eine (bis auf Konstanten) eindeutige Lösung hat in <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$L%5Eq$&amp;sig=958f5128dba5782acb6bed4f878b19f3" alt="L^q" title="L^q" style="vertical-align: middle" width="14" height="9" />. Dabei hilft ihm die periodische Struktur der Geometrie. Mithilfe eines erst kürzlich bewiesenen Theorems von <a href="http://digbib.ubka.uni-karlsruhe.de/volltexte/documents/2916825">Bernhard Barth</a> über <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Bloch_wave">Blochoperatoren</a> kann er das Problem auf eine Familie von Phasenoperatoren auf der (beschränkten) periodischen Zelle reduzieren. Falls diese Operatoren regulär genug sind, lassen sie sich fortsetzen von <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$L%5E2$&amp;sig=9a7bd24dad7cefb1990db53f44cd4b3b" alt="L^2" title="L^2" style="vertical-align: middle" width="14" height="11" /> auf <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$L%5Eq$&amp;sig=958f5128dba5782acb6bed4f878b19f3" alt="L^q" title="L^q" style="vertical-align: middle" width="14" height="9" />. Anschließend überprüft er, ob die so erzeugte Abbildung auch wirklich die Helmhotz Zerlegung ist. Hier ist ein wesentliches Hilfsmittel, dass unendlich glatte Funktionen mit kompaktem Träger dicht in den Teilräumen liegen. Außerdem ist die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Fourier-Analysis">Fouriertheorie</a> in der besonderen Form der Blochoperatoren hilfreich. Sie hilft später auch beim Auffinden des <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Spektrum_%28Operatortheorie%29">Spektrums</a> des betrachteten Wellenoperators. Für beschränkte Gebiete hängt es im Wesentlichen von der Glattheit des Randes ab, ob die Helmholtz Zerlegung in <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$L%5Eq$&amp;sig=958f5128dba5782acb6bed4f878b19f3" alt="L^q" title="L^q" style="vertical-align: middle" width="14" height="9" /> gilt. Das liegt u.a. daran, dass man in der Lage sein muss, eine eindeutige <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Normalenvektor">Normalenrichtung</a> für jeden Punkt des Randes zu finden. Für Knicke im Rand kann es hier Probleme geben, die dazu führen, dass das schwache Neumann Problem nur noch für <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$q$&amp;sig=3e3840aa63e781acede64cf357279349" alt="q" title="q" style="vertical-align: middle" width="7" height="9" /> in einem kleineren Intervallbereich <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$I$&amp;sig=983cc34c3aae5b0dd467fe7c0a00aebe" alt="I" title="I" style="vertical-align: middle" width="7" height="9" /> lösbar ist, und nicht mehr für alle <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$q$&amp;sig=3e3840aa63e781acede64cf357279349" alt="q" title="q" style="vertical-align: middle" width="7" height="9" /> zwischen <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$1$&amp;sig=c082b7fc5d168f6b9395c8979011fbfb" alt="1" title="1" style="vertical-align: middle" width="5" height="10" /> und <img src="http://www.math.kit.edu/latexpng.php?code=$%5Cinfty$&amp;sig=ddc0d58a73859519d2e91ec62a144dd3" alt="\infty" title="\infty" style="vertical-align: middle" width="14" height="7" /> wie das bei glattem Rand der Fall ist. <h1>Literatur und weiterführende Informationen</h1> <ul><li> <a href="http://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/S0036139995285236">A. Figotin and P. Kuchment: Band-Gap Structure of Spectra of Periodic Dielectric and Acoustic Media. II. Two-Dimensional Photonic Crystals</a>, SIAM J. Appl. Math., 56, 1561–1620, 1995. </li><li> <a href="http://www.springer.com/la/book/9780387096193">P. Galdi: An Introduction to the Mathematical Theory of the Navier-Stokes Equations - Steady-State Problems</a>, Springer, 2011.</li><li> <a href="http://digbib.ubka.uni-karlsruhe.de/volltexte/documents/2916825">B. Barth: The Bloch Transform on Lp-Spaces</a>, KIT-Dissertation, 2013. </li><li> <a href="http://www.springer.com/la/book/9783034801126">W. Dörlfer e.a: Photonic Crystals: Mathematical Analysis and Numerical Approximation</a>, Birkhäuser, 2011.</li><li> <a href="http://www.degruyter.com/view/j/crll.2012.2012.issue-669/CRELLE.2011.150/CRELLE.2011.150.xml">M. Geissert e.a.: Weak Neumann implies Stokes</a>, Journal für die reine und angewandte Mathematik 669, 75–100, 2012.</li><li> <a href="http://optoelectronics.eecs.berkeley.edu/">Quellen für physikalische Grundlagen</a></li><li> <a href="http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/phbl.19990550410/pdf">A. Birner e.a.: Photonische Kristalle</a>, Physikalische Blätter 55 (1999), 27-33, 1999.</li><li> <a href="http://sundoc.bibliothek.uni-halle.de/diss-online/04/04H153/t3.pdf">Photonische Kristalle</a> </li></ul>

Modellansatz 085

Jens Babutzka hat Anfang 2016 seine Promotion an der KIT-Fakultät für Mathematik verteidigt. Das Gespräch dreht sich um einen Teil seiner Forschungsarbeit - dem Nachweis der Gültigkeit der sogenannten Helmholtz Zerlegung im Kontext von Gebieten mit einer sich periodisch wiederholenden Geometrie. Das lässt sich für die Untersuchung von photonischen Kristallen ausnutzen unter der Wirkung einer Zeit-harmonischen Wellengleichung. Für die Untersuchung von partiellen Differentialgleichungen auf Lösbarkeit, Eindeutigkeit der Lösungen und deren Regularität gibt es verschiedene Grundwerkzeuge. Eines ist die Helmholtz Zerlegung. Falls sie in einem Raum möglich ist, kann man jedes Vektorfeld des Raumes eindeutig aufteilen in zwei Anteile: einen Gradienten und einen zweiten Teil, der unter der Anwendung der Divergenz das Ergebnis Null hat (man nennt das auch divergenzfrei). Wann immer Objekte miteinander skalar multipliziert werden, von denen eines ein Gradient ist und das andere divergenzfrei, ist das Ergebnis Null. Anders ausgedrückt: sie stehen senkrecht aufeinander. Die Untersuchung der partiellen Differentialgleichung lässt sich dann vereinfachen, indem eine Projektion auf den Teilraum der divergenzfreien Funktionen erfolgt und erst im Anschluss die Gradienten wieder "dazu" genommen, also gesondert behandelt werden. Da die Eigenschaft divergenzfrei auch physikalisch als Quellenfreiheit eine Bedeutung hat und alle Gradienten wirbelfrei sind, ist für verschiedene Anwendungsfälle sowohl mathematisch als auch physikalisch motivierbar, dass die Aufteilung im Rahmen der Helmholtz Zerlegung hilfreich ist. Im Kontext der Strömungsmechanik ist die Bedingung der Divergenzfreiheit gleichbedeutend mit Inkompressibilität des fließenden Materials (dh. Volumina ändern sich nicht beim Einwirken mechanischer Kräfte). Für das Maxwell-System kann es sowohl für das magnetische als auch für das elektrische Feld Divergenzfreiheitsbedingungen geben. Ob die Helmholtz Zerlegung existiert, ist im Prinzip für viele Räume interessant. Grundbausteine für die Behandlung der partiellen Differentialgleichungen im Kontext der Funktionalanalysis sind die Lebesgue-Räume L^q(\Omega). Eine (verallgemeinerte) Funktion ist in L^q(\Omega), wenn das Integral (des Betrags) der q-ten Potenz der Funktion über Omega existiert. Eine Sonderrolle spielt hier der Fall q=2, weil dieser Raum ein Skalarprodukt hat. Das gibt ihm eine sehr klare Struktur. Darüber hinaus ist er zu sich selbst dual. Unter anderem führt das dazu, dass die Helmholtz Zerlegung in L^2(\Omega) für beliebige Gebiete \Omega mit genügend glattem Rand immer existiert. Wenn q nicht 2 ist, sind Gebiete \Omega bekannt, in denen die Helmholtz Zerlegung existiert, aber auch Gegenbeispiele. Insbesondere bei der Behandlung von nichtlinearen Problemen reicht es aber häufig nicht, sich auf den Fall q=2 zu beschränken, sondern die Helmholtz Zerlegung für möglichst viele q wird eine wesentliche Voraussetzung für die weitere Theorie. (...)

Helmholtzzerlegung

Mathematik mit Kunst und Design erklären - das war ein Ziel des <a href="http://cookingthemath.tumblr.com/">Cooking Math-Projekts</a>. Robert Winkler forscht an der Fakultät für Mathematik zu numerischen Verfahren für schlecht gestellte Probleme. Das hilft z.B. <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Elektrische_Impedanz-Tomografie">Elektrische Impedanztomographie</a> genauer und schneller zu machen. Seine Teilnahme am Cooking Math Projektes hat uns zum jetzigen Zeitpunkt zusammengeführt. Die Aufgabenstellung der Elektrischen Impedanztomographie ist es, aus Messungen auf der Oberfläche eines Körpers Rückschlüsse auf die Zusammensetzung im Inneren zu ziehen. Dazu dient bei der Elektrische Impedanztomographie die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Elektrische_Leitf%C3%A4higkeit">elektrische Leitfähigkeit</a> im Innern, die Auswirkungen auf gemessene elektrische Potentiale an der Körperoberfläche hat. Aus physikalischen Zusammenhängen (hier <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Ohmsches_Gesetz">Ohmsches Gesetz</a> und <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Kirchhoffsche_Regeln">Kirchhoffsche Regeln</a>) lassen sich partielle Differentialgleichungen herleiten, die aus der Leitung im Innern die Oberflächenpotentiale berechenbar machen. Das nennt man Vorwärtsproblem. In der Praxis braucht man aber genau die andere Richtung - das sogenannte <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Inverses_Problem">inverse Problem</a> - denn man hat die Werte auf dem Rand gemessen und will unter den gleichen physikalischen Annahmen auf den Ablauf im Inneren schließen. Der Zusammenhang, der so modellhaft zwischen Leitfähigkeit und Potential am Rand entsteht, ist hochgradig nichtlinear. Außerdem ist er instabil, das heißt kleine Messfehler können dramatische Auswirkungen auf die Bestimmung der Leitfähigkeit haben. Daher müssen bei der numerischen Bearbeitung Verfahren gefunden werden, die die partielle Differentialgleichung numerisch lösen und dabei diese Nichtlinearität stabil behandeln können. Etabliert und sehr effektiv ist dabei das <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren">Newtonverfahren</a>. Es ist weithin bekannt zur Nullstellensuche bei Funktionen von einer Variablen. Die grundlegende Idee ist, dass man ausgehend von einem Punkt in der Nähe der Nullstelle den <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Tangente">Tangenten</a> an der Funktion folgt um sich schrittweise der Nullstelle zu nähern. Durch die Information, die in der Tangentenrichtung verschlüsselt ist, entsteht so ein Verfahren zweiter Ordnung, was in der Praxis heißt, dass sich nach kurzer Zeit in jedem Schritt die Zahl der gültigen Stellen verdoppelt. Großer Nachteil ist, dass das nur dann funktioniert, wenn man nahe genug an der Nullstelle startet (dh. in der Regel braucht man zuerst ein Verfahren, das schon eine gute erste Schätzung für die Nullstelle liefert). Außerdem gibt es Probleme, wenn die Nullstelle nicht einfach ist. Wenn man das Newtonverfahren zum finden von Optimalstellen nutzt (dort wo die Ableitung eine Nullstelle hat), kann es natürlich nur lokale Minima/Maxima finden und auch nur dasjenige, das am nächsten vom Startwert liegt. Im Kontext der inversen Probleme wird das Newtonverfahren auch eingesetzt. Hier muss natürlich vorher eine geeignete Verallgemeinerung gefunden werden, die so wie die Ableitungen im eindimensionalen Fall eine <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Linearisierung">Linearisierung</a> der Funktion in einer (kleinen) Umgebung des Punktes sind. Der Kontext, in dem das recht gut möglich ist, ist die schwache Formulierung der partiellen Differentialgleichung. Der passende Begriff ist dann die <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A9chet-Ableitung">Fréchet-Ableitung</a>. Betrachtet man das Problem mathematisch in einem Raum mit Skalarprodukt (<a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum">Hilbertraum</a>), kann die Linearisierung mit dem <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/CG-Verfahren">Verfahren der konjugierten Gradienten</a> behandelt werden. Dieses Verfahren findet besonders schnell eine gute Näherung an die gesuchte Lösung, indem es sich Eigenschaften des Skalarprodukts zunutze macht und die aktuelle Näherung schrittweise in besonders "effektive" Richtungen verbessert. Um das lineare Problem stabiler zu machen, nutzt man Regularisierungen und geht von vornherein davon aus, dass man durch Fehler in den Daten und im Modell ohnehin in der Genauigkeit eingeschränkt ist und in der numerischen Lösung nicht versuchen sollte, mehr Genauigkeit vorzutäuschen. Eine typische Regularisierung bei der Elektrische Impedanztomographie ist die Erwartung, dass die Leitfähigkeit stückweise konstant ist, weil jedes Material eine zugehörige Konstante besitzt. Im zugehörigen Cooking Math-Projekt soll der Modellerierungs- und Lösungsfindungsprozess visualisiert werden. Eine Idee hierfür ist das Spiel "Topfschlagen". <h1>Literatur und weiterführende Informationen</h1> <ul><li> <a href="http://www.math.kit.edu/iwrmm/seite/preprints/media/preprint%20nr.%2014-04.pdf">R. Winkler, A. Rieder: Model-Aware Newton-Type Inversion Scheme for Electrical Impedance Tomography</a>, Preprint 14/04 am Institut für Wissenschaftliches Rechnen und Mathematische Modellbildung, KIT, 2014. (Eingereicht zur Veröffentlichung in Inverse Problems 31, (2015) 045009).</li><li> <a href="http://link.springer.com/referencework/10.1007%2F978-0-387-92920-0">O. Scherzer: Handbook of Mathematical Methods in Imaging</a>, Springer Verlag, ISBN 978-0-387-92919-4, 2011.</li></ul> <h1>Podcasts</h1> <ul><li> <a href="http://modellansatz.de/impedanztomographie">S. Hollborn: Impedanztomographie</a>, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 68, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2015. <a href="http://modellansatz.de/impedanztomographie">http://modellansatz.de/impedanztomographie</a></li><li> <a href="http://modellansatz.de/cooking-math">J. Enders, C. Spatschek: Cooking Math</a>, Gespräch mit G. Thäter und S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 80, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. <a href="http://modellansatz.de/cooking-math">http://modellansatz.de/cooking-math</a></li><li> <a href="http://modellansatz.de/splitting">J. Eilinghoff: Splitting</a>, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 81, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. <a href="http://modellansatz.de/splitting">http://modellansatz.de/splitting</a></li><li> <a href="http://modellansatz.de/zeitintegration">P. Krämer: Zeitintegration</a>, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 82, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. <a href="http://modellansatz.de/zeitintegration">http://modellansatz.de/zeitintegration</a></li><li> <a href="http://modellansatz.de/dynamische-randbedingungen">D. Hipp: Dynamische Randbedingungen</a>, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 83, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. <a href="http://modellansatz.de/dynamische-randbedingungen">http://modellansatz.de/dynamische-randbedingungen</a></li></ul>

Modellansatz 084

Mathematik mit Kunst und Design erklären - das war ein Ziel des Cooking Math-Projekts. Robert Winkler forscht an der Fakultät für Mathematik zu numerischen Verfahren für schlecht gestellte Probleme. Das hilft z.B. Elektrische Impedanztomographie genauer und schneller zu machen. Seine Teilnahme am Cooking Math Projektes hat uns zum jetzigen Zeitpunkt zusammengeführt. Die Aufgabenstellung der Elektrischen Impedanztomographie ist es, aus Messungen auf der Oberfläche eines Körpers Rückschlüsse auf die Zusammensetzung im Inneren zu ziehen. Dazu dient bei der Elektrische Impedanztomographie die elektrische Leitfähigkeit im Innern, die Auswirkungen auf gemessene elektrische Potentiale an der Körperoberfläche hat. Aus physikalischen Zusammenhängen (hier Ohmsches Gesetz und Kirchhoffsche Regeln) lassen sich partielle Differentialgleichungen herleiten, die aus der Leitung im Innern die Oberflächenpotentiale berechenbar machen. Das nennt man Vorwärtsproblem. In der Praxis braucht man aber genau die andere Richtung - das sogenannte inverse Problem - denn man hat die Werte auf dem Rand gemessen und will unter den gleichen physikalischen Annahmen auf den Ablauf im Inneren schließen. Der Zusammenhang, der so modellhaft zwischen Leitfähigkeit und Potential am Rand entsteht, ist hochgradig nichtlinear. Außerdem ist er instabil, das heißt kleine Messfehler können dramatische Auswirkungen auf die Bestimmung der Leitfähigkeit haben. Daher müssen bei der numerischen Bearbeitung Verfahren gefunden werden, die die partielle Differentialgleichung numerisch lösen und dabei diese Nichtlinearität stabil behandeln können. Etabliert und sehr effektiv ist dabei das Newtonverfahren. Es ist weithin bekannt zur Nullstellensuche bei Funktionen von einer Variablen. Die grundlegende Idee ist, dass man ausgehend von einem Punkt in der Nähe der Nullstelle den Tangenten an der Funktion folgt um sich schrittweise der Nullstelle zu nähern. Durch die Information, die in der Tangentenrichtung verschlüsselt ist, entsteht so ein Verfahren zweiter Ordnung, was in der Praxis heißt, dass sich nach kurzer Zeit in jedem Schritt die Zahl der gültigen Stellen verdoppelt. Großer Nachteil ist, dass das nur dann funktioniert, wenn man nahe genug an der Nullstelle startet (dh. in der Regel braucht man zuerst ein Verfahren, das schon eine gute erste Schätzung für die Nullstelle liefert). Außerdem gibt es Probleme, wenn die Nullstelle nicht einfach ist. Wenn man das Newtonverfahren zum finden von Optimalstellen nutzt (dort wo die Ableitung eine Nullstelle hat), kann es natürlich nur lokale Minima/Maxima finden und auch nur dasjenige, das am nächsten vom Startwert liegt. Im Kontext der inversen Probleme wird das Newtonverfahren auch eingesetzt. Hier muss natürlich vorher eine geeignete Verallgemeinerung gefunden werden, die so wie die Ableitungen im eindimensionalen Fall eine Linearisierung der Funktion in einer (kleinen) Umgebung des Punktes sind. (...)

Newton-Verfahren

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